2025-2026学年第3章 对圆的进一步认识3.1～3.3 重点例题与习题 青岛版数学九年级上学期 含答案

/2025～2026学年青岛版九年级上册数学回归教材系列——教材重点例题与习题范围：青岛版九年级上册数学第3章对圆的进一步认识3.1--3.31.如图，⊙O的半径OA与弦BC垂直，AD=2cm，BC=8

2.如图，在⊙O中，AC⌢=BC⌢，M与N分别是OA与

3.如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点P。已知AB=CD=8

4.如图，AB为半圆的直径，点O是圆心，E与F分别是OA，OB的中点。过点E，F作ME⊥AB，NF⊥AB，分别与半圆交于点M，N，垂足为点E，F

5.如图，在⊙O中，AB与CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是点E，F，OE，OF分别叫做弦

(1)已知∠AOB=∠COD(2)已知OE=OF，求证：AB=CD，(3)你能用文字语言把上述结论表述出来吗？6.1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱近似于圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37.02m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.23m。求桥拱所在圆的半径(精确到

7.如图，OA，OC是⊙O中两条垂直的半径，D是⊙O上的一点。连接AD并延长与OC的延长线相交于点B，∠B=25°。求AD

8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，求证：

9.判断下列命题是真命题还是假命题：(1)经过任意两点可以作无数个圆；(2)任意一个三角形都有且只有一个外接圆；(3)任意一个圆都有且只有一个内接三角形；(4)三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心；(5)三角形的外心到三角形各边的距离相等。10.用反证法证明：三角形的三个内角中，至少有一个内角不小于60°。11.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径。求∠ADB和

12.如图，D是△ABC的外接圆上的一点。AD平分△ABC的外角∠EAC，求证：

13.如图，在⊙O中，AB⌢与AC⌢的中点分别为点E与F，弦EF与AB，AC分别相交于点P，Q。试判断

14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E。点F是AC⌢上的任意一点，延长AF交DC的延长线于点G，连接FC，FD

15.如图，BC是半圆O的直径，D，E是BC⌢的三等分点。BD，CE的延长线交于点A。

(1)判断△ADE与△(2)如果∠A的度数不变，D，E在BC⌢上移动，△ADE16.正方形ABCD内接于⊙O。

(1)如图，在AB⌢上取一点E，连接DE，AE，BE。在DE上截取点F，使DF=BE(2)在(1)的条件下，小莹还发现DE，BE，AE之间满足下列关系：DE−17.如图，在⊙O中，∠AOB=110°，点C是圆⊙O上与点A，B

18.如图，△ABC内接于⊙O，D，F分别是AC⌢与AB⌢上的点，BF⌢=DA⌢。连接AF并延长交CB求证：∠CAD=∠19.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=98°。求∠A

答案和解析1.【答案】解：如图所示，连接OC。设半径OC=则OD=(∵OA∴DC在Rt△ODC中，即r2=(r∴⊙O的半径为5

2.【答案】证明：∵M，N分别是OA，OB∴OM=1∴OM∵AC⌢=在△OMC和△OM=ON，∠MOC∴△OMC∴MC

3.【答案】解：如图所示，过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，连接∵OF⊥CD∴CF=DF∵CD∴CF∵OC=OB∴OF又∵∠OFP∴四边形FOEP是正方形。∴OE∵OB=5，∴OP

4.【答案】证明：如图所示，连接OM，AM，ON。∵ME垂直平分OA∴AM∴∠AOM同理，∠BON∴∠MON∴AM

5.【答案】【小题1】证明：∵OD=OC，∴∠∵∠AOB=∠COD∵∠OEB=∠OFD∴△OBE≌△ODF【小题2】证明：由题意知∠OFD∴在Rt△OFD和OF=OE，∴Rt△OFD∵OE⊥AB∴BE=1∴AB=CD∴∠AOB【小题3】解：结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

6.【答案】解

设桥拱所在圆的半径为R(m)。如图，用AB⌢表示桥拱，AB⌢的圆心为O。经过点O作弦AB的垂线，垂足为点D∵OC∴D是线段AB的中点，C是AB⌢的中点，∵AB=37.02，∴ADOD=在Rt△OA即R2

7.【答案】解

连接OD。由已知∠AOB=90°，则∠A∵OA∴∠ODA于是∠=180°−(65°+65°)=50°。∴AD⌢的度数为∵AC⌢的度数为∴=90°−50°=40°。

8.【答案】证法一：∵AB是⊙O的直径，弦∴AM垂直平分CD∴AC∴∠ACD证法二：∵AB是⊙O的直径，∴CM在△AMC和△∵∴△AMC∴∠ACD

9.【答案】【小题1】解：真命题；【小题2】真命题；【小题3】假命题；【小题4】真命题；【小题5】假命题。

10.【答案】已知：∠A，∠B，∠C求证：∠A，∠B，∠C证明：假设∠A，∠B，∠C∴∠A∴假设不成立。∴三角形的三个内角中，至少有一个内角不小于60°。

11.【答案】解：∵△ABC∴∠ABC∵∠C=∠ADB∵AD是⊙O的直径，∴∠CBD

12.【答案】证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB∵∠EAD+∠DAB∵AD平分∠EAC，∴∠DAC∵∠DAC∴∠DCB=∠DBC

13.【答案】解：△APQ证明：连接AE，AF，如图所示。∵AB⌢与AC⌢的中点分别为点E与F，∴∴∠F=∠1，∵∠APQ=∠1+∠E，∠∴△APQ

14.【答案】证法一：如图所示，连接AD。∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥∴∠ADC∵四边形ADCF是⊙O的内接四边形，∴∠∵∠GFC∴∠ADC∴∠GFC证法二：如图所示，连接AD，BD。∵AB是⊙∴∠ADB∴∠ADC∵CD∴∠BED∴∠BDE∴∠ADC∵∠B=∠AFD∵四边形ADCF是⊙O∴∠ADC∵∠GFC+∠AFC∴∠GFC

15.【答案】【小题1】解：△ADE与△证明：∵D，E是BC∴BD∴∠BOD∵OD=OE∴∠ODE同理，∠BDO=60°，∴∠ADE∴△ADE【小题2】△ADE的形状改变，△理由：∵∠A∴D，E在BC⌢上移动时，始终有∵∠BDO=∠B∴∠B∵∠B∴∠BOD+∠EOC∴△DOE∵∠B+∠DEC∴∠AED=∠B∵∠B与∠C都不一定为∴∠AED与∠ADE都不一定等于∴△ADE

16.【答案】【小题1】解：△ABE证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∵∠ABE=∠ADF∴△ABE【小题2】∵AD∴AD∴AD⌢的度数为360∵∠DAB=90°，∵△ABE≌△ADF∴∠BAE∴△EAF∵cos∴EF∵DF=BE∴DE

17.【答案】解

点C在⊙O(1)当点C在劣弧