2025-2026学年第3章 勾股定理 单元练习苏科版（2024）八年级数学上学期 含答案

/第3章勾股定理一、单选题1．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（

）A．1，1，2 B．3，4，5C．5，12，13 D．7，24，252．如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（

）A．12 B．10 C．8 D．63．如图，在中，，点在边上，交于点，垂足为，则的长为（

）A．8 B． C．7 D．64．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（

）A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.85．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为（

）．A． B． C． D．6．如图，在边长为3的等边中，过点作垂直于的直线交的平分线于点，则点到边所在直线的距离为（

）A． B． C． D．7．如图，为等边三角形，点为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．8．已知，如图，在中，，D是的中点，点E在上，点F在，且，，则周长的最小值为（

）A．4 B． C． D．二、填空题9．如图，正方体的棱长为，已知点B与点C之间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短路程为cm．10．如图，校园内有一块长方形草坪，已知，，学校为了方便学生上学，从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着走比原来少走．11．如图，在中，点为的中点，为外的一动点并且满足，连若，则的最大值是．12．如图所示，中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则与的面积比为．13．如图，为等边三角形，相交于点P，于Q．若，，则AD的长是．三、解答题14．如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．

15．一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，其示意图如下图所示．小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度，小狗的高，小狗与小方的距离．求此时牵狗绳的长（绳子一直是直的）．16．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接．(1)试判断与是否全等，请说明理由；(2)求的度数；(3)求证：．17．如图，在中，，，点P是线段上的一个动点，过点B作交的延长线于点D，射线交直线AC于点E，连接．(1)若点P不与端点B，C重合，求证：；(2)求证：；(3)若点P在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系并说明理由．18．已知在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，．(1)如图1，，连接，则____________．(2)如图2，，取边中点，连接，当点从点运动到点过程中，直接写出线段长度的最小值____________；(3)如图3，四边形中，，连接，已知，求的长．参考答案1．A【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．【详解】解：A、，故不是勾股数，符合题意；B、，故是勾股数，不符合题意；C、，故是勾股数，不符合题意；D、，故是勾股数，不符合题意；故选：A．2．D【分析】本题考查的是角平分线性质，勾股定理，关键是掌握垂线段最短，勾股定理求出，当时，的值最小，然后根据角平分线的性质即可得到结果．【详解】在中，∵，，∴，当时，的值最小，∵是的平分线，，∴．∴的最小值为6．故选：D．3．B【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的面积等知识，运用等面积法求出DE的长是解题的关键．根据题意利用等腰三角形的性质可知是的垂直平分线，利用勾股定理求出的长，再利用等积法求出的长，再利用进行计算即可．【详解】解：，，是的垂直平分线，是的角平分线，，是的角平分线，，，在中，由勾股定理得：，，，，，故选：B．4．D【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可．【详解】解：作于点D，如图，∵，，∴，∴，∵当时，最小，∴，∴，解得，即的最小值是4.8．故选：D．5．A【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是由旋转得到相等的边．根据绕点顺时针旋转，得到，可得≌，，，从而得到为等边三角形，在中，利用勾股定理得到，即可解答．【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，得到，可得：≌，，，∴为等边三角形，∴，在中，，∴与的周长之和为：．故选：A．6．D【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，角平分线的性质以及直角三角形的性质，勾股定理．设点到边所在直线的距离为h，根据等边三角形的性质可得，再根据角平分线的性质以及直角三角形的性质可得，，然后根据勾股定理可得，即可求解．【详解】解：设点到边所在直线的距离为h，等边的边长为3，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，即点到边所在直线的距离为．故选：D7．D【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确得出点的运动轨迹在射线上是解题关键．先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得．【详解】解：∵点是边的中点，，∴，∵和都是等边三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴在点运动过程中，始终有，∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，此时，∴在中，，∴的最小值为，故选D．8．C【分析】先根据等腰直角三角形的性质，证明,得到，设，则，得到，根据非负性，得时，取得最小值，得到当时，取得最小，且为，由周长的为，代入解答即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，实数的非负性应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，综合性比较强，有一定的难度．【详解】解：∵，D是的中点，，∴，，，∵，∴，∴,∵，∴,∴，根据勾股定理，得，设，则，∴，∵，∴，且当时，取得最小值，∴当时，，此时，∴当时，取得最小，且为，由周长为，∴周长的最小值为，故选：C．9．15【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，涉及到勾股定理，将正方体侧面展开，利用两点之间线段最短是解题的关键．要求正方体中两点之间的最短距离，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可．【详解】解：按照正面和右面展开，如下：∴，，∴；按照正面和下面展开，如下：∴，，∴，按照上面和右面展开，如下：∴，，∴，∴需要爬行的最短距离为．故答案为：15．10．40【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确利用勾股定理求出的长是解题的关键．利用勾股定理求出的长即可得到答案．【详解】解：由题意得，，∴，∴．∴学生沿着走比原来少走．故答案为：40．11．10【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，中位线，直角三角形斜边中线，根据三角形的三边关系得出三点共线时最大是解题关键．先利用勾股定理求出长度，再利用直角三角形斜边中线定理，进行求解即可．【详解】解：如图所示，当点在同一条直线上时，最大，∵，∴，∵，，点为的中点，∴，∴，故答案为：10．12．/【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，利用面积法求的长是解决本题的关键．过点作于点，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的性质可得的长，根据，可得的长，根据勾股定理可得的长，根据旋转的性质进一步可得的长，即可判断出面积比．【详解】过点作于点，如图所示：，，，∴，∵是斜边的中点，∴，，，即解得在中根据勾股定理，，根据旋转的性质，可得，∴为等腰三角形，∵，∴，∵与的高为，∴与的面积比为．故答案为．13．【分析】由已知条件，先证明，再证明，可得，最后利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30度的角的直角三角形的性质：巧妙借助三角形全等和直角三角形中30度的性质求解是正确解答本题的关键．14．见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明，得出，根据，，的面积分别为，和，梯形的面积为，得出，再化简即可．【详解】证明：∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵，，的面积分别为，和，梯形的面积为，∴，∴，化简，得．15．【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，则，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过点作于点，则，所以．在中，，所以，所以此时牵狗绳的长为．16．(1)，理由见解析(2)(3)证明见解析【分析】（）由，得到，进而利用定理即可求证；（）由等腰直角三角形的性质得，再根据全等三角形的性质即可求解；（）由等腰直角三角形的性质得到，由（）可得，进而由勾股定理得，又由全等三角形的性质得，等量代换即可求证；本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴；（3）证明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．17．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)或，理由见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．（1）根据直角三角形的性质可得，，由此即可得证；（2）过点作，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据勾股定理可得，由此即可得证；（3）分三种情况：①当时，过点作，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据勾股定理可得，由此即可得；②当时，延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据勾股定理可得，由此即可得；③当时，先根据等腰三角形的性质可得，再求出，则可得点重合，这与过点作交的延长线于点相矛盾，由此即可得．【详解】（1）证明：，，∴，，∴．（2）证明：如图，过点作，交于点，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，∴．（3）解：或，理由如下：①如图，当时，过点作，交于点，，∴，∵，∴，∴，又，，∴，由对顶角相等得：，∴，在和中，，∴，∴，，∴，又∵，∴．②如图，当时，延长至点，使得，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴．③当时，∵在中，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴点重合，这与过点作交的延长线于点相矛盾，舍去，综上，或．18．(1)(2)1(3)5【分析】（1）利用证明，结合全等三角形的性质可得，即可；（2）取中点，连接，结合全等三角形的性质易得，由“垂线段最短”的性质可知当时，最短，即此时最短，证明为等腰直角三角形，在中，设，利用勾股定理列方程并解得的值，即可获得答案；（3）过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，在中，设，利用勾股定理列方程并解得的值，易得，然后利用勾股定理求解即