2025-2026学年第3章 勾股定理 练习题苏科版八年级数学上学期 含答案

/第3章勾股定理一、单选题1．如图，在中，，，点是上的一点，连接，当，时，的长为（

）A．6 B． C． D．102．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形，若，则小正方形与大正方形的边长之比为（

）A． B． C． D．3．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（

）A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、174．如图，将绕点A顺时针旋转到，点E和点C是对应点，若，，则的长是（

）A． B．2 C． D．45．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（

）A． B． C． D．6．如图，在中，，，，是边上一动点，将沿折叠，点落在处，设，当落在的内部时，的取值范围是（

）A． B． C． D．7．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知的周长等于14，正方形的边长是6，则正方形的面积为（

）A． B．8 C．20 D．8．如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E，点C、D、E恰好在一条直线上．若，，则的长为（

）A． B． C． D．二、填空题9．如图，四边形中，，E为射线上的动点，将线段绕A点顺时针旋转得到，则最小值．10．如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处．①的长为；②当是直角三角形时，的长为．11．如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，连接，则的长度为．12．如图，是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，，E、F分别是边、上，若，，则的面积为．13．如图，在中，，是边上的中线，，若在射线上存在点，满足，且，则．三、解答题14．已知：如图，，，垂足分别为N，M，，与相交于点P．(1)求证：；(2)若，，求的长．15．如图，在中，，，，D为的中点，过点D作交于点E，求的长．16．如图，在长方形中，．(1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长；(2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长；(3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长．17．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．(1)若点运动到的中点时，的值为_______；(2)若，求的长；(3)当为直角三角形时，求的值．18．如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则：(1)的度数是；线段，，之间的数量关系是；(2)如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．参考答案1．C【分析】本题考查了勾股定理，含的直角三角形的性质，在中，根据含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，在中，根据含的直角三角形的性质求出即可．【详解】解∶∵，，∴，又，∴，∴，∵，，∴，故选∶C．2．B【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案．【详解】解：根据题意得，，，∵，，设，则，．故选：B．3．B【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足（为最长边），则为直角三角形。需逐一验证各选项是否满足该条件，同时检查是否能构成三角形．【详解】选项A：最长边为5，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形；选项B：最长边为2，验证，与不相等，不满足勾股定理。虽然三边满足三角形存在条件（如），但无法构成直角三角形；选项C：最长边为，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形；选项D：最长边为17，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形；综上，选项B的三边不能组成直角三角形．故选：B．4．C【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．根据旋转的性质可得，，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，，∴，，在中，，故选：C．5．B【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题．根据题意可证，可得，，根据勾股定理可得，的长，再根据勾股定理可得的长，即可求的面积．【详解】解：是的平分线，于，，，，，，在中，，，，在中，．，∴，，，，在中，，的面积为．故选：B．6．D【分析】当时，点落在上时，此时，当落在上时，得到解答即可．本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．【详解】解：过点C作于点E，∵，，，∴，，∴当P与点E时重合时，点落在上时，此时，∴当落在上时，，，∴，∴，∴，∴，故选：D．7．B【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据勾股定理并结合已知可得出，，根据完全平方公式变形可求出，，即可求解．【详解】解：∵的周长等于14，正方形的边长是6，∴，，∴∴，由题意知：，∴，∴正方形的面积为8，故选：B．8．C【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长．【详解】解：由旋转得，，，∴是等腰直角三角形，，过点A作于点H，∴，∴，故选：C．9．【分析】将绕点顺时针旋转至，连接，可证得，从而得出，可得出，，从而得出，从而，故当点在处时，最小，从而，从而得出的最小值．【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，过点A作于点F，

，，，，，，∵，∴，，，，，∵，∴，∴，∴，，当点在处时，最小，即的长度，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．10．6或【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（1）先求出，，根据勾股定理求出结论；（2）根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）在直角三角形中，，，，，，；故答案为：；（2）∵点D是边上的一点，∴，∴当是直角三角形时，或，①当时，则，∵将沿折叠，使点C落在点E处，∴，∴，②当时，∵将沿折叠，使点C落在点E处，∴，∴，∴点E在上，如图，∴，∴，∵，∴，∴，综上所述，的长为6或，故答案为：6或．11．【分析】先由含30度角的直角三角形的性质得到，由三角形内角和定理可得，由旋转的性质得到，证明是等边三角形，得到，则可证明是等边三角形，得到．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，由旋转的性质可得，∴是等边三角形，∴，∴是等边三角形，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键．12．【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，连接，由题意可得，，，证明，得出，，即可推出为等腰直角三角形，求出，由勾股定理可得，从而可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，连接，，∵是等腰直角三角形，，D是斜边的中点，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．13．【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想．过点作，交于点，过点作，交于点，根据题意分两种情况进行讨论，①当点在的延长线上时，②当点在线段上时，注意两种情况的取舍，先利用三角中线的性质得出相等的线段，通过证明三角形全等得出相等的线段和角，假设出未知数，然后利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：①当点在的延长线上时，此时，令，如图，过点作，交于点，过点作，交于点，∴，∵是边上的中线，∴，又∵，∴，，又∵，∴，∴，∴，即，不符合，所以，此种情况不存在；②当点在线段上时，此时，令，点为线段中点，如图，过点作，交于点，过点作，交于点，同①得，，∴，，，又∵，，，∴，∴为等腰三角形，∵，∴，假设，则，，，∴，在中，由勾股定理得，，∴，在中，由勾股定理得，,即，解得，（负值已舍），，故答案为：．14．(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．（1）根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）由，可得，再根据勾股定理求出，即可求解．【详解】（1）证明：，，，在和中，，，．（2）解：，，，．15．．【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．先连接，根据线段垂直平分线的性质，可得，然后设，由勾股定理可得方程，继而求得答案．【详解】解：连接，∵D为的中点，，∴垂直平分，∴，∵，，，∴，设，则，在中，，即，解得：，即．16．(1)(2)(3)【分析】设，在中，根据，构建方程即可解决问题；首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题；【详解】（1）解：根据折叠的性质，得．因为四边形是长方形，所以．设，则，在Rt中，因为，所以，解得，所以．（2）因为四边形是长方形，所以．根据折叠的性质，得．又因为，所以．因为交于点，所以，所以，所以．设，则．在Rt中，因为，所以，解得，所以．（3）因为四边形是长方形，所以．根据折叠的性质，得，所以．又因为，所以，所以，所以．又因为，设，则，所以．在Rt中，，解得，所以．【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键．17．(1)1(2)(3)2或【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解．（2）由题知当时，，，在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长．（2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得．本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．【详解】（1）解：∵在中，，，，∴，若点运动到的中点，则，则．（2）解：由题知，如图，当时，，，在中，，∴，解得，∴．（3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即；如图②，当为直角时，，，在中，，在中，，