2025-2026学年第二章 《一元二次方程》大单元教学设计北师大版九年级数学上学期 含答案

/第二章一元二次方程第一部分单元主题及内容阐述​本单元核心主题为“一元二次方程的概念、解法及实际应用”，是初中代数领域“方程与不等式”板块的重要内容，主要围绕“认识方程—掌握解法—解决问题”的逻辑展开，具体内容分为以下四部分：​一元二次方程的概念：从生活中的实际问题（如面积计算、增长率问题）入手，通过列方程引出“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”这一核心定义，明确一元二次方程的一般形式，并学会判断方程是否为一元二次方程、将方程化为一般形式及确定系数的值（注意符号问题，一元二次方程的解法：这是本单元的核心内容，教材依次介绍四种解法，形成梯度递进的学习路径：​直接开平方法：通过平方根的定义直接求解，为后续配方法奠定基础；​配方法：通过“移项—化二次项系数为1—配方（两边加一次项系数一半的平方）—开方”的步骤，将一般一元二次方程转化为可直接开方的形式，突出“转化思想”，同时也是推导求根公式的关键；​公式法：基于配方法推导得出一元二次方程的求根公式Δ为根的判别式），明确公式适用所有一元二次方程，需掌握判别式与根的关系Δ>0有两个不相等实根、Δ=0有两个相等实根、Δ<0无实根）；​因式分解法：一元二次方程的实际应用：结合生活场景设计四类典型问题，强化知识的应用价值：​增长率/降低率问题：面积问题；利润问题；数字问题：如“一个两位数，十位数字比个位数字大2，且个位数字与十位数字的积是24，求这个两位数”，通过设个位/十位数字列方程。​单元综合与拓展：通过“回顾与思考”“复习题”整合全章知识，梳理四种解法的适用场景（如直接开平方法适用于特殊形式、因式分解法适用于可分解的方程、公式法适用于所有方程），并渗透“分类讨论”（如根据判别式判断根的情况）、“转化”（将二次方程降次为一次方程）等数学思想。​第二部分课标对本单元的要求​依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本单元对应“数与代数”领域“方程与不等式”主题，具体要求如下：​知识技能层面​理解一元二次方程的概念，能准确判断方程是否为一元二次方程，会将其化为一般形式并确定系数​掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能根据方程特点选择合适的方法求解；​理解根的判别式的意义，能运用判别式判断一元二次方程根的情况；​能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程，求解并检验解的合理性（如实际问题中边长、销量等需为正数）。​数学思考层面​经历“实际问题—建立方程—求解方程—检验应用”的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的重要模型；​在推导配方法、求根公式的过程中，发展逻辑推理能力（如通过等式性质推导配方步骤）；对比四种解法的适用条件与优缺点（如因式分解法简便但适用范围窄，公式法通用但计算量大），培养分类讨论与优化选择的思维；​结合根的判别式分析根的情况，体会“数形结合”（如二次函数与一元二次方程的联系，为后续学习铺垫）与“代数推理”的思想。​问题解决层面​能从实际问题中抽象出一元二次方程模型，解决增长率、面积、利润等典型问题，提升“数学建模”能力；​面对复杂方程（如含有括号、分母的一元二次方程），能先化简再选择解法，培养“化繁为简”的问题转化能力；​求解后能结合实际情境检验解的意义（如舍去负数解），养成“解题需严谨”的习惯；​能与同伴合作分析复杂实际问题（如多人合作设计利润方案），通过交流梳理解题思路。​情感态度层面​通过用一元二次方程解决生活中的真实问题（如计算小区绿化面积、制定商品定价方案），感受数学的实用性，增强学习兴趣；​在推导求根公式、攻克复杂应用题的过程中，培养克服困难的毅力与自信心；​体会代数解法的逻辑性与简洁性（如因式分解法的快速求解），感受数学的严谨之美；​通过对比不同解法的优劣，培养“优化选择”的意识，形成科学的思维方式。​第三部分单元教材分析​1.教材地位与作用​本单元处于北师大版九年级上册“特殊的平行四边形”之后、“旋转”之前，是初中代数方程体系的关键收尾章节，具有承前启后的核心价值：​承前：是对七年级“一元一次方程”、八年级“二元一次方程组”“分式方程”的延伸，延续“方程建模”的核心思路，同时需运用有理数、整式运算、因式分解等前期知识（如因式分解法需掌握十字相乘法、提取公因式法），强化代数运算与逻辑推理的结合；​启后：为后续“二次函数”（如二次函数与一元二次方程的关系、求二次函数与坐标轴的交点）、“圆”（如圆的方程相关计算）、“统计与概率”（如用方程分析数据关系）等内容奠定基础，同时培养的“建模思想”“转化思想”是高中学习一元二次不等式、二次曲线的重要能力储备。​2.教材内容编排特点​北师大版教材对本单元的编排遵循“学生认知规律”与“代数知识逻辑”，呈现以下鲜明特点：​从实际到抽象，强化建模意识：教材开篇通过“梯子下滑”“草坪面积计算”等生活场景引入，让学生在解决实际问题的过程中自然接触一元二次方程，再归纳出概念，避免“直接定义”的枯燥，凸显“方程源于生活”的本质；​解法梯度递进，兼顾基础与能力：四种解法的编排遵循“特殊到一般、简单到复杂”的顺序——先学针对特殊方程的直接开平方法，再学通用但步骤多的配方法，进而推导适用于所有方程的公式法，最后补充简便的因式分解法，符合学生“先易后难”的接受节奏；​重视过程推导，培养推理能力：教材对配方法、求根公式的推导过程详细拆解（如配方法分4步讲解，求根公式推导标注每一步的依据），引导学生理解“为什么这么做”，而非单纯记忆步骤；​注重方法对比与应用分层：每学一种解法后，教材通过“做一做”“议一议”让学生对比不同解法（如“用配方法和公式法解同一个方程，哪种更简便？”），帮助学生建立“按需选法”的意识；习题设置分为“基础题”（如直接解方程）、“中档题”（如结合判别式判断根的情况）、“综合题”（如实际应用与方程结合），满足不同层次学生的需求；​渗透跨知识联系：教材在“读一读”栏目介绍“一元二次方程的历史”，在“复习题”中设计与几何（如矩形面积）、统计（如增长率数据）结合的题目，体现数学知识的整体性，为后续跨领域学习铺垫。​3.教材重难点分析​重点：一元二次方程的概念及一般形式；配方法、公式法、因式分解法的解题步骤；根的判别式的意义及应用；列一元二次方程解决实际问题（尤其是增长率、面积、利润问题）；​难点：配方法的解题步骤（尤其是“化二次项系数为1”“配方时两边加一次项系数一半的平方”容易出错）；求根公式的推导过程（涉及复杂的代数变形，学生易混淆符号）；根的判别式与根的关系的灵活应用（如结合二次项系数不为0的条件综合判断）；实际问题中等量关系的建立（如利润问题中“销量随售价变化”的关系梳理，易漏乘、错设未知数）；实际问题解的检验与取舍（如忽略边长为正数、增长率在合理范围等实际约束）。2.1认识一元二次方程（1）教学目标 1、经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。 2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。重点：认识产生一元二次方程知识的必要性难点：列方程的探索过程【教学过程】一、学前准备：什么叫方程？2、什么叫一元一次方程？二、问题探究：探究一：根据题意，列出方程1、艺术设计一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？8m如果设所求的宽度为xm,你能列出怎样的方程?8m5m5m2、梯子移动一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？如果设梯子底端滑动xm，你能列出怎样的方程？探究二：1、上述两个方程有什么共同特点？2、你还能写出具备上述特征的方程吗？综上有：一元二次方程的定义：一元二次方程的一般式：三、课堂检测：（一）、判断题（是一无二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）1.5x2+1=0（）2.3x2++1=0（）3.4x2=ax(其中a为常数)（）4.2x2+3x=0（）5.=2x（）6.=2x（）（二）、填空题.1.方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.2.如果方程ax2+5=(x+2)(x－1)是关于x的一元二次方程，则a__________.3.关于x的方程(m－4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程。四、学习体会：五、课后作业第2课时一元二次方程的解及其估算教学目标 1、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解．。 2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。重点：探索一元二次方程的解或近似解难点：培养学生的估算意识和能力教学过程一、温故而知新1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：_________________________.2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。(1)2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)-EQEQ\R(,3)x2=0问题探究：探索1：上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。地毯花边的宽x(m)，满足方程(8―2x)(5―2x)=18也就是：2x2―13x+11=0你能估算出地毯花边的宽度x吗？（1）x可能小于0吗？说说你的理由；_____________________________.（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表x00.511.522.52x2-13x+11（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。探索2：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2+72=102，也就是x2+12x―15=0（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（2）x的整数部分是_____？十分位是_______？x0x2+12x-15所以___<x<___进一步计算xx2+12x-15所以___<x<___因此x的整数部分是___,十分位是___.当堂训练：完成课本34页随堂练习四、课后作业2.2用配方法求解一元二次方程（1）教学目标1．会用开平方法解形如（x＋m）2＝n(n≥0)的方程；理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．2．经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型,增强学生运用数学的意识和能力．3．体会转化的数学思想方法．重点：利用配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程通过配方转化为（x＋m）2＝n(n≥0)的形式．知识链接：求一元二次方程的近似解一、【自学感知】在上一节的问题中，梯子底端滑动的距离x（m）满足方程x2+12x-15=0.我们已经求出了x的近似值，你能求出它的精确值吗？二、合作交流活动一：你能解哪些特殊的一元二次方程？你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？x2=5，2x2+3=5，x2+2x+1=5，(x+6)2+72=102你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流。活动二：做一做：填上适当的数，使下列等式成立（1）x2+12x+=(x+6)2 （2）x2―4x+=(x―)2 （3）x2+8x+=(x+)2 在上面等式的左边，常数项和一次项有什么关系解一元二次方程的思路是什么？活动三：例1、解方程：x2+8x-9=0你能用语言总结配方法吗？

课本37页随堂练习课时作业：2.2用配方法求解一元二次方程（2）教学目标 1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．2．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤．教学重点 用配方法求解一元二次方程．教学难点 理解配方法．教学方法 讲练结合法教学过程一、复习：1、什么叫配方法？2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。3、解方程：（1）x2+4x+3=0 （2）x2―4x+2=0 二、新授：1、例题讲析：例3：解方程：3x2+8x―3=0 分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。解：两边都除以3，得：x2+EQ\F(8,3)x―1=0移项，得：x2+EQ\F(8,3)x=1配方，得：x2+EQ\F(8,3)x+(EQ\F(4,3))2=1+(EQ\F(4,3))2 （方程两边都加上一次项系数一半的平方）(x+EQ\F(4,3))2=(EQ\F(5,3))2 即：x+EQ\F(4,3)=±EQ\F(5,3) 所以x1=EQ\F(1,3)，x2=―32、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。（4）用直接开平方法求出方程的根。3、做一做：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t―5t2小球何时能达到10m高？三、巩固：练习：P39随堂练习四、小结：用配方法解一元二次方程的步骤。（1）化二次项系数为1；（2）移项；（3）配方：（4）求根。五、作业：课本P40习题2.41、22.3用公式法求解一元二次方程（1）教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0（2）4x2-3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为1，得：x2-x=-配方，得：x2-x+（）2=-+（）2（x-）2=x-=±x1=+==1x2=-+==（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x2-4x-1=0（2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．解：（1）a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0x=∴x1=，x2=（2）将方程化为一般形式3x2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0x=x1=2，x2=-（3）将方程化为一般形式3x2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴x=∴x1=，x2=（3）a=4，b=-3，c=1b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．三、巩固练习教材P43随堂练习四、应用拓展例．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①或②或③解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2m2=1m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x=x1=，x2=-因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意．②当m2+1=0，m不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业2.3用公式法求解一元二次方程（2）教学目标1、体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法2、会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力知识准备无盖的长方体是如何制作的？教学内容：一、情境创设一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。二、探索活动如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长×宽×高=容积”与“长=宽×2”。三、典型例题例1、一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4㎝的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知盒子的容积是400㎝，求原铁皮的边长。四．知识梳理谈谈用一元二次方程解决例1实际问题的方法。五、目标检测设计1．如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为（）．【设计意图】发现几何图形中隐蔽的相等关系．2．镇江)学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃．（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案．（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由．【设计意图】考查学生的审题能力及用一元二次方程模型解决简单的图形面积问题．2.4用因式分解法求解一元二次方程【学习目标】1、学习过程与方法：因式分解法是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”思想、“转化”思想,并了解这种转化思想在解方程中的应用。2、学习重点：用因式分解法解某些方程。【温故】1、（1）将一个多项式（特别是二次三项式）因式分解，有哪几种分解方法？（2）将下列多项式因式分解①3x2－4x②4x2－9y2③x2－6xy＋9y2④(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4【知新】1.自学课本P46P48[讨论]以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的？2、用分解因式法解方程例1、解下列方程（1）3x2－5x=0（2）x(x－2)＋x－2=0例2、用因式分解法解下列方程（1）5x2－2x－1/4=x2－2x＋3/4（2）x(x－3)－4(3－x)=0（3）(5－x)2－16=0（4）16(2x－1)2=25(x－2)2【达标】1解下列方程：（1）x2＋x=0（2）x2＋2√3x=0（3）3x2－6x=－3（4）4x2－121=0（5）3x(2x＋1)=4x＋2(6)(x－4)2=(5－2x)22把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。【拓展】选择合适的方法解一元二次方程（1）4（x－5）2=16（2）3x2＋2x－3=0（3）（x＋3）(x＋1)=5一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1、在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。2、通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。【学习重点】观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系【学习难点】对根与系数这一性质进行应用。【课标要求】能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理【提出问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？（1）x2－2x＝0；（2）x2＋3x－4＝0；（3）x2－5x＋6＝0【尝试探索，发现规律】1、完成如上表格。2、猜想一元二次方程的两个根的和与积和原来的方程有什么联系？小组交流。3、一般地，对于关于方程为已知常数，，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1•x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致。【知识应用】1、（1）不解方程，求方程两根的和两根的积：①②（2）已知方程的一个根是2，求它的另一个根及的值。（3）不解方程，求一元二次方程两个根的①平方和；②倒数和。【归纳小结】【作业】2.6应用一元二次方程（1）教学目标：１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。教学过程：情境问题问题1、一根长22cm的铁丝。（1）能否围成面积是30cm2的矩形？（2）能否围成面积是32cm2的矩形？并说明理由。问题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，用t（s）表