福建省泉州市晋江侨声中学、南安侨光中学两校2025-2026学年高二上学期12月联考二 数学

晋江侨声中学、南安侨光中学2025秋季高二年两校联考二数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等差数列中,,,则的公差为（）A.1 B.2 C.3D.42.若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（）A．B．C．D．3.四面体中，，，设，，，则（）A．B．C．D．4.已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为()A． B． C． D．5.已知实数满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．6.如图，在三棱锥中，平面，，点，分别为，的中点，，，则点到平面的距离是（）A. B． C．D．7.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于点A，B，且与的准线交于点，若且，则的值为（）A． B．2 C．3 D．48.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的2个红球和3个白球，从袋中一次性随机摸出2个球，则（）A．“摸到2个红球”与“摸到2个白球”是互斥事件B．“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”是对立事件C．“摸出的球颜色相同”的概率为D．“摸出的球中有红球”与“摸出的球中有白球”相互独立10.已知椭圆，双曲线，它们的离心率分别为，，则（）A．可能为等轴双曲线B．的焦距小于的焦距C．与恰有四个公共点D．11.直四棱柱的所有棱长都为4，，点P在四边形及其内部运动，且满足，则（

）．A．存在点P使得平面B．直线与平面所成的角为定值C．直线与所成角的范围为D．点P到平面的距离的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列的前n项和为,,,则.13.点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为.14.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与C交于M、N两点，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本题13分)在长方体中，底面为正方形，，，为中点，为中点.求证：平面；(2)求与平面成角的正弦值.16.（本题15分）如图所示，已知双曲线QUOTE与抛物线QUOTE有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.(1)写出抛物线QUOTE的焦点坐标和准线方程；(2)若双曲线QUOTE的渐近线为.(i)求双曲线的标准方程；(ii)求点M到双曲线QUOTE两个焦点的距离之和.17.（本题15分）设等差数列的公差为,且.令,记,分别为数列,的前项和,已知,(1)求,的通项公式;(2)若=QUOTE，数列的前项和为,求.18.（本题17分）如图，在四棱锥中，，．(1)证明：平面ABCD；(2)若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为．（ⅰ）求PF；（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．19.（本题17分）已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于、两点且不过原点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标；(3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围．

题号12345678答案BCABDBCD7.如图，设准线与轴的交点为，过作，过作，垂足分别为，则．根据抛物线定义知，，设，，因为，所以，即，得，所以，所以，因为，所以，即，解得．故选：C.8.设曲线C上任意一点为，由题意知，曲线C方程为：，其中，将点代入曲线方程，得：，则.故曲线C方程为：，其中.可得，当时，.因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值.故选：D.二、题号91011答案ABCBDABD9.记2个红球为A，B，3个白球为a，b，c，则任意摸出2个球，有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种，“摸到2个红球”有AB，“摸到2个白球”有ab，ac，bc，“至少摸到1个红球”有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，“摸出的球颜色相同”有AB，ab，ac，bc，“摸出的球中有白球”有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，A：“摸到2个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；B：“至少摸到1个红球”与“摸到2个白球”不可能同时发生，且必有一个发生，故是对立事件，故B正确；C：“摸出的球颜色相同”包含4种结果，故其概率为QUOTE，故C正确；D：设M＝“摸出的球中有红球”，N＝“摸出的球中有白球”，用古典概型的方法计算可知P(M)＝QUOTE，P(N)＝QUOTE，P(MN)＝QUOTE，显然P(MN)≠P(M)P(N)，故M，N不相互独立，故D错误．故选ABC.10.根据题意，因为，所以不可能为等轴双曲线，A错误；椭圆，半焦距，的焦距为，双曲线，半焦距，的焦距为，显然，B正确；因为椭圆中，双曲线中，则与只有和两个交点，C错误;，则，D正确.故选：BD11.由题设，棱柱底面是边长为4的菱形，且，则，根据直棱柱的结构特征知，关于平面对称且面，由，点P在四边形及其内部运动，则，所以的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆（含端点），如下图示，当与重合时，，即，面，面，所以平面，A对；由上分析知，直线与平面所成的角，即为半圆锥的母线与底面所成角，所以直线与平面所成的角为定值，B对；由，直线与所成角，即为直线与所成角，根据对称性，当从运动到半圆的最上方时，由最小逐渐增加到最大，即与重合时，最小为，显然不满足区间的最小值;C错令点P到平面的距离为，到直线的距离为且，而，，，由，则，整理可得，所以，D对.故选：ABD三、题号121314答案14.由题意可得，由解得和，即，易知直线经过点，由可得，故的外接圆圆心为的中点，即，又的内切圆圆心为，则由对称性可知，点在轴上，不妨设，易得直线的方程为，即，则点到直线的距离等于该点到直线的距离，即，解得或（不合题意，舍去），故得，故.四、15.（1）法1：取的中点,连接,,依题意可知：且,且所以且,四边形为平行四边形，故，………4分又平面,平面,所以平面.…………6分法2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，,,，，………………2分设平面的法向量，则，取，得，…………4分,又面，所以平面，……………6分（2）由（1），…………8分设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.…………………13分16.（1）因为抛物线QUOTE，所以抛物线QUOTE的焦点坐标为QUOTE，准线方程为QUOTE……………4分（2）(i)设双曲线的方程为则QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∴双曲线QUOTE的方程为QUOTE……………8分(ii)由QUOTE，可得QUOTE或QUOTE(舍去)所以QUOTE，……………10分由抛物线的定义可知QUOTE，…………………12分由双曲线的定义可知，点M到左焦点的距离为7，…………………14分∴点M到双曲线QUOTE两个焦点的距离之和为QUOTE.…………………15分17.(1)由,得,…………………1分则……………………3分又…………………5分所以即解得(舍去)…………7分所以………………9分则……………………10分(2)……12分……………14分…………15分18.（1）因为平面PAD，平面PAD，所以．又，平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD．……………………3分（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．（ⅰ），，，，，，设，则．设平面AEF的法向量为，则即，取，得，，所以是平面AEF的一个法向量，……………6分因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．……7分因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，所以，得，所以．……………9分（ⅱ）设，则．因为为平面AEGF的一个法向量，所以，所以，即，得，所以，．………11分，，，，，，因为M在平面PBC上，所以，所以．设平面MAD的法向量，则即，取得，所以是平面MAD的一个法向量，………………14分设EG与平面MAD所成角为，则因为，所以即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为．………………17分19.（1）由已知得，且，所以椭圆的标准方程为；…………3分（2）分类讨论：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立方程组消去得，则，，由，得，…………………6分由，得，即，化简得，从而，化简得，即，所以或（直线