福建省泉州市晋江侨声中学、南安侨光中学两校2025-2026学年高一上学期12月联考二 数学

2025-2026学年高一上学期两校12月联考二数学试题一、单选题1．命题“，有”的否定是（

）A．，有 B．，有C．，有 D．，有2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．4．已知，则（

）A． B． C． D．5．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．6．已知函数，且，则的值为（

）A．0 B．1 C． D．0或17．已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则（

）A．物理方向的男生多于物理方向的女生B．历史方向的女生多于历史方向的男生C．物理方向的女生多于历史方向的男生D．物理方向的男生多于历史方向的女生8．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．若终边上一点的坐标为，则B．若角为锐角，则为钝角C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为D．若，且，则10．若，，且，则下列说法正确的有（

）A．的最小值是B．的最大值是C．的最小值是D．的最小值是11．已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（

）A．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为B．若函数有四个零点，，，，则的取值范围为C．函数的零点个数为5个D．函数的零点个数为6个三、填空题12．若函数（，且）的图象恒过定点，则.13．幂函数为偶函数，且在上是减函数，则．14．已知，函数，满足，则，若存在，使得，则的取值范围是.四、解答题15．化简求值：(1)；(2).16．已知集合，(1)求集合；(2)当时，求；(3)若集合，求实数的取值范围.17．已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.(1)求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；(2)求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.18．设函数是定义在区间上的函数，若对区间中的任意两个实数，都有，则称为区间上的下凸函数（即凹函数）.(1)已知为下凸函数，若，求最大值.(2)求证：函数在是下凸函数（即凹函数）．(3)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请试着用凹函数的这种性质证明下面的不等式：．19．已知函数在某个区间上的单调性遵循“同增异减”的规律，具体如下：内层函数递增递增递减递减外层函数递增递减递增递减复合函数递增递减递减递增设函数（，且）．(1)若，求的值；(2)若对于任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围；(3)证明：．若函数满足，，函数一定是偶函数吗？请说明理由．

1．C根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”.故选：C.2．C根据对数有意义、根式有意义列不等式求解即可．【详解】因为函数，所以，解之可得，函数的定义域为．故选：C．3．C求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案.【详解】由题意知一元二次方程的两根为，要使得方程有一个正实根和一个负实根，需，结合选项知，只有，即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是，故选：C4．D根据条件，利用“齐次式”，即可求解.【详解】因为，则，故选：D.5．D先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；又当时，此时，由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D6．B根据分段函数解析式求出的值，再代入计算可得.【详解】因为且，所以或，解得或，当时，；当时，；综上可得的值为.故选：B7．C根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论.【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，所以，即，故物理方向的女生多于历史方向的男生.故选：C.8．D由函数的单调性结合，去求解即可.【详解】，定义域为R，令，则，则，即关于中心对称，当时，由解析式可知单调递增，对称性得：当时，单调递增，所以在上是增函数，又在上是增函数，所以在上是增函数，，所以则，即，由单调性可得：，解得：，所以不等式的解集为，故选：D9．ACD由终边上的点坐标及余弦函数的定义判断A；特殊角判断B；应用扇形的弧长、面积公式判断C；利用同角三角函数关系求已知角的正余弦值，进而求正切值判断D.【详解】A，由终边上的点，知，对；B，由锐角，则也是锐角，错；C，设扇形半径为，根据弧长公式有弧长，则，所以扇形面积为，对；D，由题设，则，又，则，结合，可得，所以，对.故选：ACD10．ACD利用基本不等式求最值，逐项判断即可.【详解】对A：因为，即（当且仅当即时取“”），故A项正确；对B：因为（当且仅当即时取“”），故B项错误；对C：因为，所以（当且仅当即时取“”），故C项正确；对D：由，所以，由B知：成立，故D项正确.故选：ACD11．BC由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围，即可判断A选项；由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围，判断B选项；由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数，判断D选项.【详解】∵函数为偶函数，即则函数关于对称，当时，，，∴函数的大致图像如下图，令，则，，，为方程的解,所以∴，即，∴，∴，由图可知，，∴，A选项错误；∵，∴，且∴，令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，∴，B选项正确；∵有两个零点或，∴时，或，当时，由函数图象可知，函数有3个零点，当时，由函数图象可知，函数有2个零点，∴函数存在5个零点，C选项正确；令，即，则或或，即；，即；，无解；，即；，无解；，即；故函数有4个零点，D选项错误.故选：BC12．由条件，结合对数函数性质列方程求，由此可得.【详解】因为函数的图象恒过定点，所以，，所以，，所以.故答案为：.13．3【解析】由幂函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m2-2m-3＜0，且m2-2m-3为偶数，m∈Z，且．解出即可．【详解】∵幂函数为偶函数，且在上是减函数，∴，且为偶数，，且.解得，，1，2，且,只有时满足为偶数.∴.故答案为：3.14．【详解】，得，所以，若，，得，此时，若，，此时，不成立，若，，得，此时，设，，在区间上单调递增，，所以的范围是综上可知，的取值范围是.故答案为：15．(1)(2)（1）利用诱导公式化简求得正确答案.（2）根据对数运算求得正确答案.【详解】（1）.（2）.16．(1)(2)(3).（1）通过确定函数的值域求出集合；（2）分别求出集合，进而求出即可（3）先将转化为，再求出实数的取值范围即可.【详解】（1）因为，所以，即，故；（2）当时，，故；（3）因为，所以，又因为，故，所以，综上，实数的取值范围是.17．(1)，或；(2)，取最小值时，取最大值时.（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式.（2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解.【详解】（1）函数定义域为，且在上单调，由函数在区间上的最大值与最小值之和为，得，即，解得，于是；，解，得或；解，即，得或，因此或，所以不等式的解集或.（2）由（1）知，，令，由，得，，当时，，此时；当时，，此时，所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时.18．(1)4(2)证明见解析(3)证明见解析（1）由凹函数的定义结合指数的运算求解即可；（2）由凹函数的定义证明即可；（3）由凹函数的定义结合基本不等式证明即可.【详解】（1）由为下凸函数，得因此，当且仅当时等号成立，则即，所以的最大值是4．（2），，，，是上的凹函数.（3）因为幂函数在内是凹函数．所以，即，当且仅当时，等号成立．又因为幂函数在内是增函数，所以．当且仅当时，等号成立．同理可证：，当且仅当时，等号成立．，当且仅当时，等号成立．三式相加得：，又，所以当且仅当时，等号成立．不等式得证．19．(1)47(2)(3)答案见解析【详解】（1），∴，即．两边平方得，．（2）∵且定义域为R，∴是定义在R上的偶函数，∴由，