专题01直线和圆的方程原卷版

专题01直线和圆的方程【清单01】直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为（2）倾斜角的取值范围2、直线的斜率设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）倾斜角与斜率的关系当时，直线平行于轴或与轴重合；当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大；3、过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，，则（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°【清单02】直线的方程1、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于轴的直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用2、线段中点坐标公式若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．3、两直线的夹角公式若直线与直线的夹角为，则.【清单03】两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一个为0，另一个不存在．【清单04】三种距离1、两点间的距离平面上两点的距离公式为．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离2、点到直线的距离点到直线的距离特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离3、两条平行线间的距离已知是两条平行线，求间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设，则与之间的距离注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．【清单05】圆的方程1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是2、点与圆的位置关系判断（1）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．（2）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．【清单06】直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心到直线的距离，则：直线与圆相交，交于两点，；直线与圆相切；直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由，消元得到一元二次方程，判别式为，则：直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离．【清单07】圆与圆的位置关系用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：两圆相交；两圆外切；两圆相离两圆内切；两圆内含（时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210【清单08】直线与圆常用结论1、直线1）、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有可得对称点的坐标为2）、点关于直线对称点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．3）、常见的一些特殊的对称点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于点的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．4）、平行直线系与已知直线平行的直线系方程（为参数）．5）、垂直直线系与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．6）、过两直线交点的直线系过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．2、圆1）、关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．【考点题型一】直线的斜率和直线的关系【例1】.若如图中的直线的斜率分别为，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】.若直线：与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-2】.已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（

）A． B．C． D．【变式1-3】.设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-4】.（多选）设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（

）A．若，则或-1B．若，则C．恒过定点D．被圆C截得的弦长最小值为4【考点题型二】直线的方程及距离问题【例2】.已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或【变式2-1】.已知直线与相交于点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．【变式2-2】.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．【变式2-3】.（多选）下列命题正确的有（

）A．两平行线间的距离为2B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条C．直线的方向向量可以是D．直线与直线平行，则或2【变式2-4】.以下结论：①在空间，若，则四点必共面；②在平面直角坐标系中，到点的距离为1，到点的距离为2的直线有且仅有2条；③在平面直角坐标系中，已知点到直线的距离相等，则；④在平面直角坐标系中，，点满足，则点的轨迹方程为，设此轨迹为C，在轨迹C上存在点，使得；其中说法正确的序号是.【考点题型三】直线的方程【例3】.已知的三个顶点分别为，，，求：(1)边所在直线的方程；(2)边上中线AD所在直线的方程；(3)边的垂直平分线DE的方程【变式3-1】.已知为实数，设直线．(1)若，求的值；(2)若，求与的距离．【变式3-2】.已知的三个顶点，，，(1)边所在直线的方程(2)边上的中线所在直线的方程.(3)的面积【变式3-3】.如图，在菱形中，.(1)求所在直线的方程；(2)求所在直线的倾斜角；(3)求所在直线的方程.【考点题型四】圆的方程【例4】.已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（

）A． B． C． D．【变式4-1】.已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【变式4-2】.已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式4-3】.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为．【变式4-4】.已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点．(1)求直线的方程；(2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．【考点题型五】直线与圆的位置关系【例5】.已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程：(2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程.【变式5-1】.已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（

）A．B．C． D．【变式5-2】.已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式5-3】.（多选）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（

）A．点到的最大距离为8B．若被圆所截得的弦长最大，则C．若为圆的切线，则的取值为0或D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3【变式5-4】.（多选）已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（

）A．直线l恒过定点B．若圆C关于直线l对称，则k=1C．若直线l与圆C相切，则D．当k=1时，取y轴上一点，则的最小值为【变式5-5】.已知直线与圆交于，两点，且.(1)求实数的值；(2)若点为直线上的动点，求的面积.【变式5-6】.已知圆过原点和点，圆心在轴上.(1)求圆的方程；(2)直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；(3)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程.【考点题型六】圆与圆的位置关系【例6】.（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（

）A．当时，圆与圆有2条公切线B．当时，是圆与圆的一条公切线C．当时，圆与圆相离D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为【变式6-1】.已知圆，圆，则圆的位置关系为（）A．内含 B．外切 C．内切 D．相交【变式6-2】.（多选）点P在圆上，点Q在圆上，则（

）A．的最小值为0B．的最大值为7C．两个圆心所在直线的斜率为D．两个圆的公共弦所在直线的方程为【变式6-3】.在平面直角坐标系中，已知圆和圆．(1)求圆O与圆C的外公切线的长；(2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设．①求的值；②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．【变式6-4】.已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为.(1)求的方程；(2)过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点.①求四边形面积的最大值；②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点.课后检测1．已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要2．直线和的位置关系是（

）A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合3．点到直线的距离为（

）A． B．2 C． D．14．平行线与间的距离为（

）A． B． C． D．5．已知直线与.若，则（

）A． B．1 C． D．26．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（

）A．11 B．12 C．13 D．147．已知圆与圆外切，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．48．直线与圆的位置关系是（）A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离9．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（

）A．B．C． D．10.（多选）已知直线，直线，则（

）A．当时，与的交点为B．直线恒过点C．若，则D．存在，使11．（多选）已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是（

）A．切线长最小值为B．四边形的面积最小值为C．最小时，弦所在的直线方程为D．弦长的最小值为12．在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为．(1)求点C坐标；(2)求直线BC的方程．13．已知关于的方程.(1)若方程表示圆，求m的取值范围；(2)若圆与圆外切，求的值；(3)若圆与直线相交于两点，且，求的值.14．已知圆C：，直线l：是圆E与圆