专题02 圆锥曲线解析版

专题02圆锥曲线【清单01】椭圆1、椭圆的定义集合表示为：注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．2、椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率点和椭圆的关系切线方程（为切点）（为切点）对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得切点弦所在的直线方程焦点三角形面积①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是焦半径左焦半径：又焦半径：上焦半径：下焦半径：焦半径最大值，最小值通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）【清单02】双曲线1、双曲线的定义用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；（3）时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．2、双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为渐近线方程性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；点和双曲线的位置关系切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．【清单03】抛物线1、抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．2、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向图形标准方程范围，，，，焦点准线方程焦半径【清单04】抛物线的常用结论1、点与抛物线的关系（1）在抛物线内（含焦点）．（2）在抛物线上．（3）在抛物线外．2、焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．3、的几何意义为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．4、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）．（2）．（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．5、抛物线的弦若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则（1）弦长公式：（2）6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）（1）焦点为，准线为（2）焦点为，准线为7、切线方程抛物线的切线方程为，为切点8、抛物线的通径过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．9、焦点弦的常考性质已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；（2），（3）；（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上【清单04】直线与圆锥曲线的位置关系1、直线和曲线联立1）、椭圆与直线相交于两点，设，，椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，2）、抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，2、根的判别式和韦达定理与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．与C相离；与C相切；与C相交．3、弦长公式设，根据两点距离公式．1）、若在直线上，代入化简，得；2）、若所在直线方程为，代入化简，得3）、构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．注意：（1）上述表达式中，当为，时，；（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．4、已知弦的中点，研究的斜率和方程1）、是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，所以，两式相减得所以即，故2）、运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．【考点题型一】椭圆、双曲线方程满足条件【例1】.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】依题意，解得或故选：D【变式1-1】.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】B【详解】若方程表示双曲线，则，得.故选：B【变式1-2】.已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】的离心率为时，当焦点在轴时，，解得，当焦点在轴时，，解得，故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件，故选：B【变式1-3】.（多选）已知曲线，则下列结论正确的是（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线，其渐近线方程为D．若，则是两条直线【答案】AD【详解】A选项，若，则,故曲线C:,即，表示椭圆，其焦点在y轴上，A正确；B选项，若，，则曲线C:，即，表示半径为的圆，B错误；C选项，若，不妨设,则曲线C:，即，表示焦点在x轴上的双曲线，则，故渐近线方程为,即，C错误；D选项，若，曲线C：，即，即，则C是两条直线，D正确.故选：AD.【变式1-4】.（多选）已知曲线，下列说法正确的是（

）A．若，则是圆，其半径为B．若，，则是两条直线C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为【答案】AB【详解】对于A，，，则是圆，半径为，故A正确；对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确；对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误；对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误；故选：AB．【考点题型二】焦点三角形的应用【例2】.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆E交于点A，B．直线l为椭圆E在点A处的切线，点B关于l的对称点为M．由椭圆的光学性质知，，A，M三点共线．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图．因为点B关于l的对称点为M，则．因为，且，所以，所以，可得，则，所以，故．故选：B．【变式2-1】.若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【详解】由方程可知：，由椭圆的定义可知．故选：D．【变式2-2】.已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（

）A．10 B．13 C．14 D．16【答案】D【详解】由题意可知：，则，所以的周长为.故选：D.【变式2-3】.若椭圆与双曲线（，，，均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【详解】由曲线方程及其对称性，不妨设在第一象限，分别为左右焦点，则，所以，即.故选：B.【变式2-4】.已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如下图所示：不妨取渐近线，则左焦点F−c,0到渐近线距离；又，于是，可得,故离心率，因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得，又Aa,0，则，所以直线的方程为，联立双曲线方程整理可得；易知是该方程的一个实数根，另一根即为；所以，可得，于是轴，又因为所以．故选：B【考点题型三】离心率【例3】.已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】取线段的中点为，点分别为边,上的切点，如图所示：则，∵，∴，∴,,三点共线，，，则点为边上的切点，∴.∴，∵，则，∴，∴，又，则，∴，则.故选：D.【变式3-1】.已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】椭圆长轴的两顶点为，设，则由题设可得即，故，故即，故，故选：B【变式3-2】.已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，，与轴的交点为，．由且，得①，又，所以，故②，联立①②消去得：，又，所以，因，所以有，所以，故，所以，解得离心率，故选：C．【变式3-3】.已知双曲线的焦点为，以为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且有，则双曲线的离心率（

）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】如图，，由，得，所以，得，故，又，即，得，由，得，即双曲线的离心率为.故选：D【变式3-4】.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率A． B． C． D．【答案】D【详解】由双曲线的定义可知得因为，，设，则，，，为直角三角形，，即，，故选：D【变式3-5】.已知双曲线E的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与双曲线E的一条渐近线交于A，B两点，若OB=3OA，则双曲线E的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】A【详解】令点，双曲线E的渐近线方程为，由对称性不妨取直线AB:bx−ay=0，取中点，连接，则，|FC|=bca2由OB=3OA，得|OC|=|AB|=2b，在中，c则a2=c所以双曲线E的离心率.故选：A【变式3-6】.（多选）已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】BC【详解】因为双曲线的渐近线方程为，则的右焦点到的距离，即，因为，则，又因为，则，可得，又因为与直线无公共点，则，所以的离心率．故选：BC．【变式3-7】.（多选）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，,且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（

）

A．B．若，则C．若，则的最小值为2D．【答案】AD【详解】A.由题意可知，，，得，故A正确；B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为，根据余弦定理，，整理为，而，故B错误；C.若，则，则，则，，当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误；D.在椭圆中，，，整理为，在双曲线中，，整理为，所以，即，而，则，故D正确.故选：AD【变式3-8】.（多选）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（

）A． B．C． D．的最小值为【答案】BD【详解】由题意可得，故A错误．可设是第一象限的点，，，由椭圆及双曲线的定义可得，解得．因为，所以在中，由余弦定理可得，化为．又，则，故B正确．由，可得，即有，即，故C错误．，当且仅当时，取等号，即的最小值为，故D正确．故选：BD．【考点题型四】双曲线的渐近线【例4】.若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】根据题意可知，即可得，且，即；因此可得，可得；再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为.故选：B【变式4-1】.已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（

）A． B．2 C．2或 D．2或【答案】D【详解】当焦点在x轴上时，可得，则；当焦点在y轴上时，可得，则.综上，双曲线的离心率为2或.故选：D.【变式4-2】.（多选）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（

）A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为B．双曲线C的离心率为C．直线与的斜率之积为D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2【答案】BCD【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为，从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误；对于B，双曲线C的离心率为，故B正确；对于C，显然异于，不妨设，注意到都在双曲线上面，且，所以直线与的斜率之积为，故C正确；对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，，而点到直线的距离是，故D正确.故选：BCD.【变式4-3】.（多选）已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（

）A．直线的斜率为B．直线是的一条渐近线C．若，则的离心率为D．若，则的渐近线方程为【答案】ABD【详解】对于A，根据题意，，设直线，又因为直线与圆相切于点，所以，A正确；对于B，根据题意可知，可得，所以直线是的一条渐近线，B正确；对于C，若，根据题意，联立，解得，同理联立，解得，由于，故，即，化简得，则的离心率为，C错误；对于D，设，依题意知，则，故，得，故，代入，得，所以，则，得，则的渐近线方程为，D正确；故选：ABD【变式4-4】.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于一条渐近线的直线l，分别交两渐近线于A，B两点，且A，B分别在第一、四象限，若，则该双曲线的离心率为．【答案】【详解】由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即，由点到直线距离公式可知：，又，，∵，即，设，则，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化简可得：，即，由双曲线离心率公式可知.故答案为：.【考点题型五】抛物线【例5】.设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为，由抛物线定义可知2，又，所以，解得，故，所以为原点，从而.故选：D.【变式5-1】.已知F为抛物线的焦点，点M在C上，且，则点M到y轴的距离为（

）A．6 B．5 C．4 D．【答案】C【详解】由题意及抛物线定义，点M到C的准线的距离为6，所以点M到y轴的距离为.故选：C．【变式5-2】.已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【详解】抛物线的焦点为，准线为，当时，，因为，所以在抛物线内，过作于，则，所以，由图可知当三点共线时，最小，则最小值为.故选：D【变式5-3】.已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意作下图：，，垂直于轴，，，，，，又，，解得，故选：B．【变式5-4】.（多选）已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是．（

）A．若为线段中点，则的斜率为±2 B．若，则C．存在直线，使得 D．面积的最小值为2【答案】ABD【详解】抛物线的准线为，焦点.A项，如图，过点作轴，垂足为，设轴与准线交点为.若O为中点，则与全等，则，即与焦点重合，所以，代入方程，得.所以直线的斜率为，故A正确；B项，若，则，解得，所以，故B正确；C项，不妨设，则直线方程为，令，可得，所以，，所以，不可能，所以FP与FQ不垂直，故C错误；D项，由C项可得，则，当且仅当，即时等号成立，此时点坐标为，所以面积的最小值为2，故D正确.故选：ABD.【变式5-5】.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的准线方程是B．焦点到准线的距离为4C．若，则的最小值为3D．以线段为直径的圆与轴相切【答案】ACD【详解】A：抛物线的准线为，故A正确；B：焦点到准线距离为，故B错误；C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部，当直线垂直准线时取最小值，即为，故C正确；D：根据题意，可得抛物线的焦点为F1,0，设的中点为，可得，由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径，因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒故选：ACD【变式5-6】.(多选)已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，准线为，动点满足PE+PF=6，则（

）A．曲线与有两个不同的公共点 B．点的轨迹为椭圆C．的最大值为5 D．当点在上时，【答案】BC【详解】圆C1:x+22+y2=4的圆心为，半径为，抛物线对于A，曲线与联立方程组x+22+y2=4y2解得或（舍），所以曲线与有一个公共点，A错误；对于B，动点满足PE+PF=6，根据椭圆的定义可知点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，B正确；对于C，点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，所以PF的最大值为，C正确；对于D，点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，即点的轨迹方程为，点在上时，则点的坐标为−2,53或−2,−53，因为，所以故选：BC.【考点题型六】直线与圆锥曲线的位置关系【例6】.已知椭圆常数，点为坐标原点．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；(3)设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是定值，理由见解析【详解】（1）由椭圆方程为，则离心率，又所以；（2）由已知得又点是椭圆上任意一点，则，化简可得所以（3）法一：由已知可得，即，平方可得，又在椭圆上，所以，所以，化简可得设与的夹角为，则，则，所以的面积，故的面积为定值；方法二：由已知，即，①当直线斜率不存在时，，则，又在椭圆上，则，所以，此时；②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线与椭圆，得，则，，则，即，所以，点到直线的距离d=t1+k所以，所以的面积为定值．【变式6-1】.已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.(1)求椭圆的方程；(2)记直线，的斜率分别为、，求的值；(3)证明：直线过定点，并求该定点坐标.【答案】(1)(2)(3)证明见解析，【详解】（1）由已知得，，则，故椭圆的标准方程为；（2）法一：设，则圆的方程为：，圆过，代入圆的方程得，故；法二：设，圆半径为r，则圆方程为：，圆过，，由题意可设，则；（3）由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在，设直线，，则，需满足，则，，则，结合第一问知，即，即得，化简得，解得或，当时，直线PQ方程为，直线PQ过点A−2,0，不合题意，当时，直线PQ方程为，故直线PQ过定点；当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在，圆G方程为，令，则，此时不妨设，则的方程为，即，联立，得，解得或，即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点，故直线PQ过定点.【变式6-2】.已知双曲线经过点．(1)求的离心率；(2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由双曲线经过点，则有，解得，即双曲线的标准方程为，则，所以离心率，故的离心率为；（2）由（1）知的右焦点为，直线，设Mx1,y1，Nx2,y联立，得，由题可知，即，且，则，则直线的直线方程为，由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上，令，得当，且时，，所以直线过定点.【变式6-3】.已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，焦点F到渐近线的距离为，由实轴长是虚轴长的倍，得，所以双曲线的标准方程为.（2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为，当直线的斜率不存在时，的方程为，，，当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，由消去y得，由，得，由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标，同理得点的横坐标，则，而原点到直线的距离，因此，所以的面积为定值，且定值为.【变式6-4】.已知抛物线经过点．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为(2)证明见解析【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得，故抛物线方程为．其准线方程为（2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为.与抛物线方程联立可得．故．设，则，直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得．易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，圆的半径为，则圆的方程为．令，整理可得，解得，即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．【变式6-5】.抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形．(1)求拋物线的标准方程；(2)若点坐标为，证明：直线过定点；(3)若，求面积的最小值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)1【详解】（1）拋物线的准线方程为，所以且焦点在轴的非负半轴上，则，抛物线的标准方程为；（2）设点的坐标分别为，直线的方程为，联立得，显然，，因为构成一个以为直角顶点的直角三角形，，，，直线的方程为，当时，所以直线过定点；（3）由拋物线的对称性，不妨设，，三点的坐标分别为，且，不妨记直线的斜率为，且，则直线的斜率为，则，结合（*）得，（当且仅当时取得等号），（此时为坐标原点），即面积的最小值为.课后检测1.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（A．4 B．3 C．2 D．6【答案】C【详解】依题意，，由椭圆对称性，得线段互相平分于原点，则四边形为平行四边形，由椭圆的定义得，解得，所以椭圆的短半轴长.故选：C

2.平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为，所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且，，则，椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的方程为．故选：.3.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆形的左右顶点，由题意可得，则，阳光照射方向与地面的夹角为60°，即，则，，在中，，即，即，解得，而，故,.故选：B.3.已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（

）A． B．6 C．8 D．10【答案】B【详解】由题意知，，，，双曲线，点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，，故选：B.4.已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，由于，有4，可得，又由，可得，设，在中，由余弦定理有.在中，由余弦定理有.又由，有，可得，解得，所以双曲线的焦距为.故选：B.5.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设动圆的半径为r，则，，则，根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支．故选：C．6．设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，，可得，由双曲线定义可知，所以，，，由勾股定理可得，可得，故，故选:B.7．设双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】取为的中点，为右焦点，，，，在上的投影为，，，，，，，.故选：C8.（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（

）A．B．C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为D．的最大值为【答案】ABD【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零，所以，故A正确；对于B，因为，所以点在椭圆内，所以，故B正确；对于，设点的坐标分别为，则有，两式作差有，有，即直线的斜率为，故C错误；对于D，，当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号，所以的最大值为，故D正确.故选：ABD.9.（多选）已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的标准方程为B．椭圆上存在点，使得C．是椭圆上一点，若，则D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率【答案】AC【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率，所以，所以，所以椭圆，故A正确；对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，又因为方程组无解，故B错误；对于C，设，则，

在中，由余弦定理可得，因为，所以，所以，故C正确；对于D，显然直线斜率不为0，设直线，

由，整理得：恒成立，所以，依题意有，得，所以，即，同理可得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，解得，代入到，得，解得：，所以直线的斜率为：，故D错误.故选：AC.10.（多选）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．若，则的最小值为2D．【答案】ABD【详解】对于A，椭圆，双曲线，由椭圆､双曲线的定义可知，，解得，故A正确；对于B，令，由余弦定理得，当时，，即，因此，故B正确；当时，，即，有，而，则有，解得，故C错误；，，解得，而，因此，故D正确.故选：ABD.11.（多选）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（

）A．的准线方程为B．线段的长度的最小值为4C．存在唯一直线，使得为线段的中点D．以线段为直径的圆与的准线相切【答案】BCD【详解】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误；对于B，F1,0由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，，联立，消得，，则，所以，所以，时取等号，所以线段的长度的最小值为4，故B正确；对于C，由B选项得线段的中点坐标为，若点为线段的中点，则，解得，所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确；对于D，由C选项知线段的中点坐标为，则中点到准线的距离为，所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确.故选：BCD.12.已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为．【答案】【详解】设内切圆半径