2025年优化设计方法试题及答案

2025年优化设计方法试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在结构拓扑优化中，采用SIMP（SolidIsotropicMaterialwithPenalization）方法时，若惩罚指数p=3.5，则单元相对密度ρ=0.3对应的“有效弹性模量”与实体材料弹性模量E0的比值最接近A.0.027  B.0.081  C.0.105  D.0.343答案：B解析：E/E0=ρ^p=0.3^3.5≈0.081。2.多目标遗传算法NSGAIII采用参考点机制维持多样性，其参考点在高维目标空间的分布方式是A.单纯形格子点  B.超立方体均匀采样  C.拉丁超立方  D.Sobol序列答案：A3.在基于梯度的形状优化中，若采用连续伴随法求解灵敏度，则伴随方程的右端项与下列哪一项直接相关A.目标函数对状态变量的偏导  B.目标函数对设计变量的偏导C.约束函数对设计变量的偏导  D.状态方程残差对设计变量的偏导答案：A4.考虑增材制造悬垂角约束的拓扑优化，普遍采用的可微近似函数为A.tanh(α·(θ−θmax))  B.sigmoid(β·(θ−θmax))C.max(0,θ−θmax)  D.relu(θ−θmax)答案：B5.在Kriging代理模型中，若相关函数为高斯型，则其超参数θi越大，对应维度上的样本点相关性A.衰减越快  B.衰减越慢  C.不变  D.先增后减答案：A6.采用移动渐近线法（MMA）求解凸近似子问题时，渐近参数L与U的更新策略应满足A.L≤x≤U且L单调增、U单调减  B.L≤x≤U且L、U均单调增C.L≤x≤U且L、U围绕x振荡  D.L、U固定不变答案：C7.在鲁棒优化中，若采用六西格玛约束，则要求失效概率小于A.0.01  B.0.001  C.0.00034  D.0.000001答案：C8.对于深度学习驱动的生成式设计，若采用ConditionalVAE，其条件信息通常嵌入A.编码器输入层  B.潜变量先验  C.解码器输出层  D.判别器中间层答案：B9.在基于水平集的拓扑优化中，为抑制边界振荡，常引入的正则项为A.周长惩罚  B.体积守恒  C.弯曲能  D.面积约束答案：C10.若采用BayesianOptimization进行黑箱函数最小化，其采集函数ExpectedImprovement在已有最优点处的值A.恒为零  B.恒为负  C.恒为正  D.与预测方差成反比答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.以下哪些技术可有效缓解大规模拓扑优化中的“棋盘格”现象A.密度过滤  B.灵敏度过滤  C.高阶单元  D.周长约束  E.灰度惩罚答案：A、B、C、D12.在基于自适应网格的优化框架中，下列指标可作为网格细化准则A.目标函数梯度范数  B.约束违反度  C.后验误差估计  D.模型不确定性  E.设计变量变化率答案：A、C、D13.以下关于多保真优化（MultiFidelityOptimization）的叙述正确的有A.低保真模型可用于快速探索设计空间  B.高低保真差可用CoKriging建模C.低保真样本必须与高保真样本一一对应  D.可采用递归CoKriging实现三层以上保真融合E.低保真模型精度越高，总计算成本一定越低答案：A、B、D14.在基于深度强化学习的结构优化中，可作为状态变量的有A.单元密度场  B.位移场  C.目标函数历史  D.约束裕度  E.材料取向角答案：A、B、C、D15.以下哪些方法可用于处理优化问题中的非概率不确定性A.区间分析  B.凸模型  C.证据理论  D.模糊集  E.蒙特卡洛模拟答案：A、B、C、D三、填空题（每空2分，共20分）16.在SIMP拓扑优化中，为防止网格依赖性，常用投影过滤技术，其阈值公式为ρ̃=(tanh(β·η)+tanh(β·(ρ−η)))/(tanh(β·η)+tanh(β·(1−η)))，其中β>0控制________，η控制________。答案：投影陡度；阈值位置17.采用伴随法求解瞬态热传导灵敏度时，伴随方程需________积分，其终值条件为________。答案：反向；零18.若采用PCE（多项式混沌展开）表示随机刚度矩阵，其系数可通过________法求解，当输入变量服从非高斯分布时需先进行________变换。答案：投影或回归；等概率19.在水平集方法中，HamiltonJacobi方程的数值稳定性要求CFL条件满足________，其中速度场需扩展至整个________域。答案：Δt·max|v|≤h/2；设计20.基于图神经网络的拓扑优化中，消息传递机制一般遵循________聚合、________更新的顺序。答案：邻居；节点四、简答题（每题8分，共24分）21.阐述在增材制造导向的拓扑优化中，如何同步考虑悬垂角、最小孔径与局部表面粗糙度三类工艺约束，并给出可微近似策略。答案：(1)悬垂角：将悬垂角θ定义为表面法向与建造方向夹角，引入sigmoid可微函数H=sigmoid(β(θ−θmax))，把H作为密度惩罚权重，实现软约束。(2)最小孔径：采用局部体积约束，定义半径r0的球形邻域内平均密度ρavg，要求ρavg≥ρmin，通过p范数聚合所有局部约束，得到全局可微约束函数C=(∑i(〈ρmin−ρavg,i〉+)^p)^(1/p)。(3)表面粗糙度：用平均曲率κ近似粗糙度，引入正则项R=∫Ω|κ|·(1−ρ)dΩ，在目标函数中加权。三类约束均通过伴随法求敏度，统一放入MMA子问题求解，实现同步优化。22.给出一种基于自适应Kriging的约束全局优化流程，并说明如何平衡探索与开发。答案：步骤：1)初始拉丁超立方采样，建立高保真模型与Kriging代理；2)定义可行性概率P(f≤0)与改进概率PI，构造复合采集函数EIc=EI·P(f≤0)；3)最大化EIc获得新样本点，更新代理；4)采用leaveoneout交叉验证估计最大预测误差εmax，若εmax>δ，则标记为“高不确定”，下一循环改用PI权重加倍，增强探索；5)若连续三代最优值改进小于τ，则切换为LCB采集函数，权重κ递减，增强开发；6)当EIc<10^(−5)且εmax<δ时终止。平衡机制：通过误差阈值δ动态切换采集函数，并调整权重，实现自适应探索开发权衡。23.说明基于深度生成模型的多目标拓扑优化框架，并指出如何确保生成样本满足力学约束。答案：框架：a)数据生成：采用传统SIMP获得帕累托解集，提取密度场与对应目标值，构建配对数据集；b)模型：采用条件StyleGAN，潜变量z与目标向量f作为条件，生成256×256密度场；c)物理嵌入：在生成器末端接入可微有限元层（differentiableFEA），将生成密度场映射为位移场，计算柔度C；d)损失函数：L=λadv·Ladv+λreg·||C−Ctarget||^2+λvol·|V−Vtarget|，通过反向传播更新生成器；e)约束满足：在潜空间搜索z，使|C−Ctarget|≤ε，采用投影梯度法修正z，确保生成样本满足力学性能。推理阶段，输入期望目标向量，模型实时输出可行拓扑，无需迭代求解。五、计算与推导题（共21分）24.（11分）考虑二维平面应力板，设计域Ω=[0,2]×[0,1]，左端固支，右端中点受集中力F=10kN向下。材料E=210GPa，ν=0.3，许用应力σa=250MPa。采用SIMP方法，惩罚指数p=3，过滤半径rmin=0.05m，目标体积分数0.35。(1)写出拓扑优化数学模型（设计变量、目标、约束）；(2)推导柔度灵敏度∂C/∂ρe；(3)若单元e的ρe=0.4，其对应单元刚度矩阵Ke0(实体)的迹为tr(Ke0)=1.2×10^11N/m，求∂C/∂ρe数值（保留三位有效数字）。答案：(1)minρC=F^TUs.t.V(ρ)/V0≤0.35，0≤ρmin≤ρe≤1，K(ρ)U=F。(2)∂C/∂ρe=−p·ρe^(p−1)·Ue^T·Ke0·Ue。(3)由平衡方程得Ue^T·Ke0·Ue=Ue^T·Fe，其中Fe为单元节点力向量，近似取Ue^T·Ke0·Ue≈2·Ce/ρe^p，Ce为单元应变能。整体柔度C≈1.15×10^(−3)J，单元贡献占比约1/800，故Ue^T·Ke0·Ue≈2.9×10^(−6)J，代入得∂C/∂ρe=−3·0.4^2·2.9×10^(−6)=−1.39×10^(−6)m^2/N。25.（10分）某汽车B柱断面采用多材料拓扑优化，设计域划分为400个单元，候选材料为钢（ρs=7.8g/cm³，Es=210GPa）、铝（ρa=2.7g/cm³，Ea=70GPa）、碳纤维（ρc=1.6g/cm³，Ec=120GPa）。引入材料插值模型：Ee=χe1^p·Es+χe2^p·Ea+χe3^p·Ec，ρe=χe1·ρs+χe2·ρa+χe3·ρc，且χe1+χe2+χe3=1，χei≥0。(1)给出质量最小化同时满足柔度C≤C0的优化列式；(2)推导∂m/∂χei与∂C/∂χei；(3)若采用SIMPtype惩罚，指出当p→∞时材料选择趋于何种性质。答案：(1)minχm=∑eρe(χe)s.t.C≤C0，∑iχei=1，χei≥0。(2)∂m/∂χe1=ρs，∂m/∂χe2=ρa，∂m/∂χe3=ρc；∂C/∂χei=−p·χei^(p−1)·Es/a/c·Ue^T·Ke0·Ue，其中Ke0为实体钢单元刚度。(3)当p→∞，χei→0或1，单元趋于单一材料，实现离散多材料选择。六、综合设计题（20分）26.航天器支架需在减重35%前提下，同时满足以下性能：①一阶固有频率≥85Hz；②在9g准静态过载下最大应力≤300MPa；③随机振动PSD0.1g²/Hz（20–2000Hz）下3σ应力≤200MPa；④增材制造悬垂角≤45°，最小孔径≥3mm，最小壁厚≥1mm。设计域为150×100×80mm³的立方体，两端为Φ20mm圆柱接口。材料为Ti6Al4V，E=114GPa，ρ=4.43g/cm³，σy=950MPa，阻尼比0.3%。任务：(1)建立多物理场、多约束、可制造性联合优化的数学模型；(2)给出求解流程图，指出关键算法模块与验证环节；(3)若采用“生成式优化+局部再拓扑”混合策略，说明如何划分宏观微观设计变量，并给出代理模型更新准则；(4)列出试验验证方案，包括模态测试、静力加载、随机振动台试验及CT无损检测，并给出合格判据。答案：(1)模型：设计变量：宏观密度场ρ(x)∈[0,1]，微观材料取向场θ(x)∈SO(3)；目标：minm=∫Ωρρ0dΩ；约束：a)ω1(ρ)≥2π·85rad/s；b)σmax_static≤300MPa；c)3σ_random≤200MPa，采用频域随机振动等效静态法；d)制造约束：悬垂角可微惩罚Pover=∫Ωsigmoid(β(θ−45°))dΩ；孔径约束：局部体积分数≥0.9在直径3mm球内；壁厚约束：采用Helmholtz过滤后梯度模≤1mm^(−1)。(2)流程：①初始均匀化采样→建立Kriging代理；②生成式StyleGAN快速探索，输出粗密度；③局部再拓扑：在应力热点区域采用高保真SIMP细化；④伴随法求多物理敏度，更新MMA；⑤收敛后频响与随机振动MonteCarlo验证，若3σ>200MPa则返回②；⑥最终CT检测孔径与壁厚，不合格区域手动填补。(3)变量划分：宏观用64×64×32