提单项式公因式课件湘教版八年级数学上册

湘教版（2024）数学8年级上册第1章

因式分解1.2.1提单项式公因式1.能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点）2.能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点）豆包帮我写作AI创作应用生成云盘更多历史对话内容由AI生成1.2.1提单项式公因式1.2.1提单项式公因式（七年级数学课件+教案）一、幻灯片分页内容（可直接复制粘贴制作PPT）第1页：标题页标题：1.2.1提单项式公因式副标题：——因式分解的基础方法作者：XXX（教师姓名）班级：七年级（X）班日期：XXXX年XX月XX日第2页：学习目标理解公因式、提公因式法的定义，能准确识别单项式公因式掌握提单项式公因式的基本步骤，能熟练分解多项式体会“化繁为简”的数学思想，提升代数运算能力第3页：复习回顾什么是因式分解？把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（分解因式）计算：2a(3b+c)=______（答案：6ab+2ac）思考：这个运算的逆过程是什么？（引出因式分解）第4页：情境导入问题1：观察多项式6ab+2ac，它的各项有什么共同特点？各项都含有的公共因式：2a问题2：如何将6ab+2ac化成几个整式的积的形式？6ab+2ac=2a·3b+2a·c=2a(3b+c)第5页：核心概念公因式：多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式例：多项式4x²y-6xy²

中，公因式是2xy提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个整式的积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法第6页：如何找单项式公因式？（重点）分三步找公因式：找系数的最大公约数（各项系数均取正数）例：多项式-8x³y+12x²y²-4xy³

中，系数-8、12、-4的最大公约数是4找相同字母的最低次幂例：上述多项式中，相同字母有x、y，x的最低次幂是x¹（即x），y的最低次幂是y¹（即y）组合：将系数的最大公约数与相同字母的最低次幂相乘，即为公因式例：上述多项式的公因式是4xy即时练习：找出下列多项式的公因式3x+6y→

公因式：35a²-10ab→

公因式：5a7x²y-14xy²

→

公因式：7xy-9m²n+15mn²-3mn→

公因式：3mn（注意：系数取最大公约数，符号可先忽略，后续提公因式时处理）第7页：提单项式公因式的步骤（难点）步骤：“一找、二提、三验”一找：找出多项式各项的公因式二提：将公因式提到括号外面，括号内为原多项式的各项分别除以公因式所得的商注意：括号内的各项符号要与原多项式一致，若公因式带负号，括号内各项要变号三验：检验分解结果是否正确（用单项式乘多项式法则展开，看是否与原多项式相等）例题1：分解因式8a³b²+12ab³c步骤1：找公因式：系数8和12的最大公约数是4；相同字母a、b，a的最低次幂是a¹，b的最低次幂是b²；无其他相同字母，故公因式是4ab²步骤2：提公因式：8a³b²

÷4ab²=2a²，12ab³c÷4ab²=3bc所以8a³b²+12ab³c=4ab²(2a²+3bc)步骤3：检验：4ab²・2a²+4ab²・3bc=8a³b²+12ab³c，与原多项式相等，分解正确例题2：分解因式-24x³-12x²+28x步骤1：找公因式：系数24、12、28的最大公约数是4；相同字母x的最低次幂是x，故公因式是4x（原多项式首项为负，可将公因式定为-4x，方便后续括号内首项为正）步骤2：提公因式：-24x³

÷(-4x)=6x²，-12x²

÷(-4x)=3x，28x÷(-4x)=-7所以-24x³-12x²+28x=-4x(6x²+3x-7)步骤3：检验：-4x・6x²+(-4x)・3x+(-4x)・(-7)=-24x³-12x²+28x，分解正确第8页：易错点警示漏提系数的最大公约数（如将6x²y-9xy²

分解为3x(2xy-3y²)，漏提y）漏提相同字母的最低次幂（如将7x³y-14x²y²

分解为7xy(x²-2xy)，x的最低次幂是x²，应为7x²y(x-2y)）提公因式后括号内漏写“1”或“-1”例：分解因式3x²-6x+3，正确结果是3(x²-2x+1)，而非3(x²-2x)（漏写+1）符号错误（如将-a²+ab分解为a(-a+b)，更简便的是提取-a，得-a(a-b)）第9页：课堂练习（分层）基础题（必做）分解因式：（1）15x²-10xy（2）-8m²n+2mn（3）2a(b+c)-3(b+c)（拓展：公因式为多项式，初步感知）下列因式分解正确的是（

）A.3x²-6x=3x(x-2)B.2x²+4x=x(2x+4)C.-x²+xy=-x(x+y)D.7x²y-14xy²=7xy(x-14y)提升题（选做）分解因式：3x²y-6xy²+3xy已知x+y=5，求代数式2x(x+y)+2y(x+y)的值（提示：先因式分解，再代入求值）第10页：课堂小结核心概念：公因式、提公因式法关键技能：找公因式：系数最大公约数+相同字母最低次幂提公因式：一找、二提、三验，注意符号和漏写1的问题数学思想：化繁为简、逆向思维（单项式乘多项式的逆运算）第11页：布置作业课本习题1.2第1、2题（基础巩固）分解因式：（1）12a²b-18ab²-24a³b³（2）-5x²+10xy-15x思考题：多项式3(x-y)²-6(x-y)的公因式是什么？如何分解？（预习多项式公因式）第12页：结束页感谢观看！疑问解答：XXX（教师联系方式）二、配套教案（详细教学过程）课题：1.2.1提单项式公因式教学目标：知识与技能：理解公因式和提公因式法的定义，掌握找单项式公因式的方法和提公因式法分解因式的步骤，能熟练分解不含常数项的多项式过程与方法：通过观察、类比、归纳等活动，培养学生的逆向思维和抽象概括能力，体会因式分解与整式乘法的互逆关系情感态度与价值观：感受数学知识的连贯性和实用性，激发学生的学习兴趣，培养严谨的数学思维习惯教学重难点：重点：找单项式公因式的方法，提公因式法分解因式的步骤难点：提公因式时符号的处理，避免漏提公因式（尤其是漏提“1”或“-1”）教学准备：多媒体课件（上述幻灯片内容）课堂练习单（打印基础题和提升题）教学过程：一、复习导入（5分钟）提问：什么是因式分解？请举例说明（引导学生回忆因式分解的定义，强调“整式的积”的形式）计算：2a(3b+c)=______，3x(2x-y)=______（学生口答，教师板书）追问：如果已知结果，如何反推原来的两个整式？比如6ab+2ac可以写成哪两个整式的积？（引导学生思考整式乘法的逆运算，自然引出课题）板书课题：1.2.1提单项式公因式二、探究新知（20分钟）（一）认识公因式（7分钟）出示情境问题：观察多项式6ab+2ac，各项有什么共同特点？（学生分组讨论，发言）教师总结：各项都含有因式2a，这个公共的因式就是公因式出示定义：公因式是多项式各项都含有的公共的因式，提公因式法是将公因式提出来分解因式的方法即时练习：找出多项式4x²y-6xy²

的公因式（学生独立完成，指名回答，教师点评）（二）找单项式公因式的方法（8分钟）教师引导：如何系统地找出一个多项式的公因式？以多项式-8x³y+12x²y²-4xy³

为例，分步讲解：第一步：找系数的最大公约数（忽略符号，取正数计算）第二步：找相同字母的最低次幂（不同字母不计入）第三步：组合系数和字母，得到公因式板书步骤：系数最大公约数+相同字母最低次幂=公因式小组竞赛：找出下列多项式的公因式（课件出示题目），每组派代表回答，正确率高的小组加分（1）3x+6y（2）5a²-10ab（3）7x²y-14xy²

（4）-9m²n+15mn²-3mn（三）提公因式法分解因式的步骤（5分钟）出示例题1：分解因式8a³b²+12ab³c（教师板书完整步骤，强调“一找、二提、三验”）重点讲解：提公因式时，括号内的商如何计算（用原项除以公因式），符号如何处理（公因式带负号，括号内各项变号）出示例题2：分解因式-24x³-12x²+28x（针对符号问题专项讲解，对比不同公因式选择的优劣）学生模仿练习：分解因式12x²y-18xy²（指名板演，教师纠错）三、巩固练习（15分钟）基础题（全体学生必做）：分解因式：（1）15x²-10xy（2）-8m²n+2mn学生独立完成，教师巡视，批改部分作业，针对共性错误讲解提升题（学有余力学生选做）：分解因式：3x²y-6xy²+3xy代数式求值：已知x+y=5，求2x(x+y)+2y(x+y)的值（引导学生先因式分解再代入，简化计算）易错点辨析：判断下列因式分解是否正确，若不正确请改正（1）3x²-6x=3x(x-2)（正确）（2）2x²+4x=x(2x1.2.2提多项式公因式问题：整数18，42，60的最大公因数是什么？18=6×342=6×760=6×106思考：多项式z2+yz

中每一项的因式分别是什么？你发现什么？每一项中均有因式

zz2的因式是

z

和zyz

的因式是

y

和zpa+pb+pc提单项式公因式分解因式几个多项式的相同因式称为它们的公因式.相同因式

p问题1

观察下列多项式，它们有什么共同特点？x2＋

x相同因式

x1(a+b+c)pa+pb+pcp=

像上面这样，如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法.找3x2–6xy

的公因式.系数：最大公因数3字母：相同的字母x

所以公因式是

3x指数：相同字母的最低次数1问题2

如何确定一个多项式的公因式？正确找出多项式的公因式的步骤：3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母的最低次数.1.定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；找一找：下列各多项式的公因式是什么？3aa23mn-2xy(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2

-

a3(4)9m2n

-

6mn

(5)

-

6x2y

-

8xy2

典例精析例1

把4x2－6x3因式分解．分析：

1.定系数：多项式由4x²和

－6x3

这两项组成，它们的系数分别为4，－6，不考虑其符号，则4与6的最大公因数是2；2.定字母：这两项都含有字母

x，3.定指数：

x

的最低次数为2.

因此，可提出公因式2x².解：4x2－6x3=2x²(2－3x).例2把

8x²y4－12xy²z因式分解．解：

8x²y4－12xy²z＝

4xy²·2xy²－4xy²·3z＝4xy²(2xy²－3z).议一议三名同学对多项式

2x²＋4x进行因式分解，结果如下：(1)2x²+4x=2(x²+2x)；(2)2x²+4x=x(2x+4)；(3)2x²+4x=2x(x+2).上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？注意：公因式要提尽.(1)错误.理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式

x.(2)错误.理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式

2.(3)正确.注意：某项提出莫漏1.例3

把多项式

5x²－3xy＋x

因式分解.分析：

1.定系数：多项式由5x²，－3xy

和

x

这三项组成，它们的系数分别为

5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是

1；2.定字母：这三项都含有字母

x，3.定指数：

x

的最低次数为1.因此，可提出公因式x.解：5x²－3xy＋x＝x(5x－3y＋1).例4

把多项式

－3x²＋6xy－3xz

因式分解.注意：首项有负常提负.分析：多项式

－3x²＋6xy－3xz的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解.解：－3x²＋6xy－3xz=－(3x²－6xy＋3xz)=－3x(x－2y＋z).1.因式分解：(1)3a3c2＋12ab3c；

(2)3a²－9ab；(3)－5a²+25a.解：(1)3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3).练一练(2)3a²－9ab=3a(а－3b).(3)－5a²+25a=－5a(a－5).2.

已知

a＋b＝7，ab＝4，求

a2b＋ab2的值.所以

原式＝ab(a＋

b)＝4×7＝28.解：因为

a＋b＝7，ab＝4，方法总结：含

a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用

a±b和

ab表示的式子，然后将

a±b，ab的值整体代入即可.1.多项式

15m3n2

+

5m2n-

20m2n3

的公因式是（）A．5mn

B．5m2n2

C．5m2nD．5mn2

2.下列多项式的因式分解，正确的是（）A．12xyz-

9x2y2

=

3xyz（4

-

3xyz）B．3a2y

-

3ay+

6y=

3y（a2

-

a+

2）C．-

x2

+

xy

-

xz=

-

x（x2

+

y

-

z）D．a2b+

5ab

-

b=

b（a2

+

5a）BC3.把下列各式分解因式：(1)8m2n+2mn=_____________；(2)12xyz

-

9x2y2=_____________；(3)-

x3y3

-

x2y2

-

xy=_________________.2mn(4m+1)3xy(4z

-

3xy)

-

xy(x2y2+xy+1)4.把-

24x3