祖暅原理与几何体体积课件-高一下学期数学人教B版

11.1.6祖暅原理与几何体体积

人教B版（2019）必修第四册学习目标CONTENTS1.了解祖暅原理的内容，掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、台体的体积公式，体现逻辑推理能力（重点）2.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，能运用公式解决简单的实际问题，体现数学计算能力（重点）3.了解组合体的概念，掌握求组合体表面积、体积的方法，并解决实际应用问题，体现数学计算能力（难点）课程引入一个几何体所占空间的大小称为这个几何体的体积，长方体的体积、圆柱的体积都等于底面积乘以高．下面我们探讨其他几何体体积的求法．课程内容教学尝试与发现同一摞书，当改变摆放书的形式时（如图所示），这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？没有改变课程内容教学祖暅原理早在南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅就研究了几何体的体积，并在总结前人成果的基础上提出了如下的祖暅原理．幂势既同，则积不容异截面积立体的高含义：这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等，如图所示．课程内容教学知识拓展：祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家.祖暅原理可以用于求解柱、锥、台球等的体积，解决了刘徽尚未解决的球体积公式,该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.课程内容教学柱体的体积棱柱与圆柱统称为柱体．注意到柱体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面积一定等于底面面积，从而由祖暅原理可知，等底面积，等高的两个柱体，体积相等又因为长方体的体积等于底面积乘以高，所以如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体=Sh课程内容教学锥体的体积棱锥和圆锥统称为锥体.当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，即△A′B′C′∽△ABC，而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比，因此截面与底面的面积之比：从而由祖暅原理可知，等底面积、等高的两个锥体，体积相等.课程内容教学尝试与发现如图所示，将底面积为S，高为h的直三棱柱分割成如下3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？课程内容教学锥体的体积如果锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积计算公式为V锥体＝课程内容教学例1：如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中，求棱锥ADD′A′的体积和长方体的体积之比.已知的长方体可以看成直棱柱ADD′A′-BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h,则长方体的体积为

VADD′A′-BCC′B′=Sh因为棱锥D′-A′CD可以看成棱锥C-A′DD′，且△A′DD′的面积为

，棱锥的高为h，所以因此所求体积比为1：6.课程内容教学台体的体积棱台和圆台统称为台体.因为台体可以看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到.如果台体的上、下底面面积分别为S、S′，高为h，则台体的体积计算公式为V台体=课程内容教学柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系S’=S上底扩大S’=0上底缩小课程内容教学例2：已知四棱台上下底面面积分别为S1，S2，而且高为h，求这个棱台的体积.如图所示，将四棱台看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥P-A1B1C1D1所得到的，且设两个棱锥的高分别为PO与PO1.由已知有再由PO-PO1=OO1=h，因此可得：课程内容教学例2：已知四棱台上下底面面积分别为S1，S2，而且高为h，求这个棱台的体积.从而可知棱台的体积为：课程内容教学尝试与发现1.你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？2.如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分．用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系．由此你能得到球的体积公式吗？课程内容教学尝试与发现如图，左图的截面为半径为r的圆，右图的截面分别为半径为R，h的两个同心圆环，由于右图的圆环面积为S=πR2-πh2=πr2，即左右两图的截面面积始终相等，由祖暅原理，左右两个立体图形的体积相等，即：如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球=课程内容教学球的体积设球的半径为R，则课程内容教学例3：如图所示，某铁质零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为2cm，现有这种零件一盒共50kg，取铁的密度为7.8g/cm3，π≈3.14.(1)估计有多少个这样的零件？每个零件的体积为因此每个零件的质量为因此可估计出零件的个数为课程内容教学(2)如果要给这盒两件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料（球和棱柱接口处面积不计，结果精确到1cm2）？每个零件的表面积为：因此零件的表面积之和约为2541×(10+π)≈33389(cm2)即需要能涂33389cm2的材料.课程内容教学组合体的概念例3中的几何体，是由球和棱柱组合而成的，类似的几何体一般称为组合体.求空间几何体体积（或表面积）的解题方法：只需要算出其中每个几何体的体积（或表面积），然后再