2025~2026学年山西省长治市屯留区部分学校上学期期中测试九年级数学试卷

2025~2026学年山西省长治市屯留区部分学校上学期期中测试九年级数学试卷一、单选题1.下列式子中，是最简二次根式的是（）

A．B．C．D．2.已知，且，则下列比例式正确的是（）

A．B．C．D．3.若关于的方程化成一般形式后不含有的一次项，则的值为（）

A．2B．C．4D．4.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（）

A．B．C．D．5.下列计算中，正确的是（）

A．B．C．D．6.下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（）

A．B．C．D．7.如图，每个小正方形的边长均为1，在中（其中，为网格格点），，分别为，的中点，则线段的长为（）

A．B．2C．D．38.在和中，已知，若，则的值为（）

A．B．C．D．9.太原某中学开展“环保卫士”垃圾分类实践活动，2025年7月有120人参加，2025年9月有270人参加，则参加人数的月平均增长率为（）

A．B．C．D．10.如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光位于点处，手电筒的光从平面镜上的点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，现测得米，米，米，米，已知图中点在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角，即），，，则的长为（）

A．6米B．5米C．4米D．3米二、填空题11.计算：_____．三、解答题12.如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．四、填空题13.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_______．14.一元二次方程的两个根分别为，则______．15.将矩形和矩形按照如图所示的方式摆放，连接，若，，则的长为_____．五、解答题16.（1）计算：．（2）如图，，，相交于点，且，．若，求的长．17.一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，求该等腰三角形的周长．18.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．(1)以点为位似中心，在轴右侧作，使与位似，且与的相似比为．(2)直接写出三点的坐标．(3)求的面积．19.先化简，再求值：，其中．下面是小亮和小悦的解答过程：

小亮：

解：原式，

当时，原式．小悦：

解：原式，

当时，，

原式．(1)上述解答过程中，_____的解法是错误的．(2)先化简，再求值：，其中．20.项目学习项目背景：某校数学兴趣小组的同学利用“相似三角形”的知识测量本地一条河流的宽度，该数学兴趣小组的同学在河流的两岸选择了5棵树作为标记，并开展活动，最终形成活动报告如下：

项目主题河流宽度的测量与计算驱动问题如何利用相似三角形的知识计算河流的宽度活动内容利用相似三角形的性质进行“长度”的测量和计算活动过程方案说明：1．如图，，，，，五点代表5棵树，河流两岸与互相平行，与互相垂直．2．三点在一条直线上，三点在一条直线上，．

数据测量：测得米，米．

计算：……交流展示……根据表中的数据计算河流的宽度．21.阅读与思考下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务．

“相似系”一元二次方程

【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程．

【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲．

【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值．

解：方程为“相似系”一元二次方程，

，

……任务：(1)问题1中，“▲”应填写_____．(2)补全问题2中剩余部分的解答过程．(3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：．22.综合与实践问题情境：在数学实践课上，老师让同学们就长方体收纳盒的制作展开了讨论．如图1，长方形纸板的长为，宽为，将其纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折叠成一个如图2所示的有盖的长方体收纳盒，和恰好重合且无重叠部分．解决问题：设收纳盒的高为．(1)收纳盒底面的边_____cm，_____cm．（用含的代数式表示）(2)若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高．(3)收纳盒底面的面积可以是吗？若可以，求出收纳盒的高；若不能，请说明理由．23.综合与探究问题情境：（1）如图1，在中，和的平分线