广东省惠州市示范名校2026届高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

广东省惠州市示范名校2026届高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（）A. B.C. D.2．已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则A.2 B.3C. D.43．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）A.3 B.4C.5 D.64．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（）A. B.C. D.5．已知等差数列，且，则（）A.3 B.5C.7 D.96．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B.C. D.7．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C对任意， D.对任意，8．设为等差数列的前项和，若，，则公差的值为（）A. B.2C.3 D.49．曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是()①曲线C关于点(0，0)对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C的面积超过4π.A.0 B.1C.2 D.310．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.11．“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12．某班对期中成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学的成绩按01，02，03，……，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，则选出的第6个个体是（）（注：如下为随机数表的第8行和第9行）6301637859169555671998105071751286735833211234297864560782524507443815510013A.07 B.25C.42 D.52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△的面积是△面积的4倍，则直线l的方程为____________14．已知定点，点在直线上运动，则，两点的最短距离为________15．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，，，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥外接球的表面积是___________.16．已知点，点是直线上的动点，则的最小值是_____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知正项等差数列满足：，且，，成等比数列（1）求的通项公式；（2）设的前n项和为，且，求的前n项和18．（12分）某话剧表演小组由名学生组成，若从这名学生中任意选取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求该小组中男、女生各有多少人？（2）若这名学生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相邻的概率.19．（12分）已知圆，圆.（1）试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.20．（12分）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°（1）求双曲线C的标准方程和离心率；（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程21．（12分）已知椭圆的上一点处的切线方程为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P为直线上任一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，平面ABCD，且，（1）求证：∥平面PCD；（2）求平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设公共点为，根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解得实数、的值.【详解】设公共点为，的导数为，曲线在处的切线斜率，的导数为，曲线在处的切线斜率，因为两曲线在公共点处有公共切线，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故选：A2、D【解析】由题意，圆心到直线的距离，∴，∵直线∴直线的倾斜角为，∵过分别作的垂线与轴交于两点，∴，故选D.3、C【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，所以由弦长公式有，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，所以，故选：C.4、A【解析】设，，则、，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.【详解】设，中点，则，，又，，则，所以，又，则，而，，所以，即，综上，，整理得，即为M的轨迹方程，所以在圆心为，半径为的圆上，则.故选：A.【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于的轨迹方程.5、B【解析】根据等差数列的性质求得正确答案.【详解】由于数列是等差数列，所以.故选：B6、D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7、D【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.8、C【解析】根据等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】，故选：C9、C【解析】根据图像或解析式即可判断对称性①②；估算第一象限内图像面积即可判断③.【详解】①将点(－x，－y)代入后依然为，故曲线C关于原点对称；②将点(y，x)代入后依然为，故曲线C关于y＝x对称；③曲线C在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲线C上离原点最远的点的距离为显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积，又∵，∴第一象限内曲线C的面积小于，则曲线C的总面积小于4π.故③错误.故选：C.10、D【解析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.【详解】设双曲线的方程为，则，因为AB＝BC＝CD，所以，所以，因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，代入可得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：D11、B【解析】直线倾斜角的范围是[0°,180°)，直线斜率为倾斜角(不为90°)的正切值，据此即可判断求解.【详解】直线的斜率不大于0，则直线l斜率可能等于零，此时直线倾斜角为0°，不为钝角，故“直线的斜率不大于0”不是“直线的倾斜角为钝角”充分条件；直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率为负，满足直线的斜率不大于0，即“直线的倾斜角为钝角”是“直线的斜率不大于0”的充分条件，“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要条件；综上，“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要不充分条件.故选：B.12、D【解析】从指定位置起依次读两位数码，超出编号的数删除.【详解】根据题意，从随机数表第9行第5列的数1开始向右读，依次选出的号码数是：12，34，29，56，07，52；所以第6个个体是52.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设A，B分别为，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得，并设直线l为，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.【详解】设点A，B的坐标分别为，直线，令可得，故焦点F的坐标为，所以，由，，而△的面积是△面积的4倍，所以，即，设直线l为，联立方程，消去x后整理为，所以，代入，有，可得，则直线l的方程为故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.14、【解析】线段最短，就是说的距离最小，此时直线和直线垂直，可先求的斜率，再求直线的方程，然后与直线联立求交点即可【详解】定点，点在直线上运动，当线段最短时，就是直线和直线垂直，的方程为：，它与联立解得，所以的坐标是，所以，故答案为：15、##【解析】根据球的截面圆圆心与球心的连线垂直截面可确定垂直平面ABCD，构造直角三角形求解球的半径即可得解.【详解】如图，分别取BC，AD的中点，E，连接PE，，，.因为是边长为4的等边三角形，所以.因为四边形ABCD是等腰梯形，，，，所以，.因为四棱锥的体积为24，所以，所以.因为E是AD的中点，所以.因为，所以平面ABCD.因为，所以四边形ABCD外接圆的圆心为，半径.设四棱锥外接球的球心为O，连接，OP，OB，过点О作，垂足为F.易证四边形是矩形，则，.设四棱锥外接球的半径为R，则，即，解得，故四棱锥外接球的表面积是.故答案为：16、【解析】直接根据点到直线的距离公式即可求出【详解】线段最短时，与直线垂直，所以，的最小值即为点到直线的距离，则.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的通项公式结合条件即求；（2）利用条件可得，然后利用错位相减法即求.【小问1详解】设等差数列公差为d，由得，即，化简得，又，，成等比数列，则，即，将代入上式得，化简得，解得或－2（舍去），则，所以【小问2详解】∵，当时，，当时，，符合上式，则，所以，令，则，，∴，化简得综上，的前n项和18、（1）男生人数为，女生人数为；（2）.【解析】（1）设男生的人数为，则女生人数为，且，根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；（2）利用插空法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：设男生的人数为，则女生人数为，且，由已知可得，即，因为且，解得，所以，该小组中男生人数为，女生人数为.【小问2详解】解：若男生不相邻，则先将女生全排，然后在女生所形成的个空中选个空插入男生，因此，所有排法中男生不相邻的概率为.19、（1）圆C与圆M相交，理由见解析（2）或【解析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.【小问1详解】把圆M的方程化成标准方程，得，圆心为，半径.圆C的圆心为，半径，因为，所以圆C与圆M相交，【小问2详解】①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设其方程为，由题意得，解得，故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.20、（1），2（2）【解析】（1）结合，联立即得解；（2）由题意，即得解.【详解】（1）由题意，又解得：故双曲线C的标准方程为：，离心率为（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为故即椭圆方程为：21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，求出然后求解最小值，推出，，，得到双曲线方程（2）设，，，，，即可得到，依题意可得以、为切点的切线方程，从而得到直线的方程，再分与两种情况讨论，即可得证；【小问1详解】解：设为椭圆上的点，为椭圆的右焦点，因为，所以，又，所以当且仅当时，，因为，所以，，因为，所以，故椭圆的标准方程为【小问2详解】解：由（1）知，设，，，，，所以，由题知，以为切点的椭圆切线方程为，以为切点的椭圆切线方程为，又点在直线、上，所以、，所以直线的方程为，当时，直线的斜率不存在，直线斜率为，所以，当时，，所以，所以，综上可得；22、（1）详见解析；（2）【解析