甘肃省兰州市七里河区兰州五十五中2026届高三上数学期末综合测试模拟试题含解析

甘肃省兰州市七里河区兰州五十五中2026届高三上数学期末综合测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，，，若（），则数列的最大值是（）A． B．C．1 D．32．若函数满足，且，则的最小值是（）A． B． C． D．3．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为()A． B．3 C． D．4．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（）A． B．2 C．3 D．5．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．7．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（）A． B． C． D．8．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差9．A． B． C． D．10．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A． B． C． D．11．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A． B． C． D．12．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（）A． B．f（sin3）＜f（cos3）C． D．f（2020）＞f（2019）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．14．若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，若，则该双曲线的离心率为________.15．设、、、、是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________.16．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）设直线与曲线交于，两点，求；（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，求的取值范围.18．（12分）如图，在直角中，，通过以直线为轴顺时针旋转得到（）.点为斜边上一点.点为线段上一点，且.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角的正弦值.19．（12分）设前项积为的数列，（为常数），且是等差数列.（Ｉ）求的值及数列的通项公式；（Ⅱ）设是数列的前项和，且，求的最小值.20．（12分）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点（异于、两点），当直线垂直于轴时，四边形的面积为1．（1）求椭圆的方程；（2）设直线、的交点为；试问的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数（1）求f(x)的单调递增区间；（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.22．（10分）已知函数，将的图象向左移个单位，得到函数的图象.（1）若，求的单调区间；（2）若，的一条对称轴是，求在的值域.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.【详解】因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.2、A【解析】

由推导出，且，将所求代数式变形为，利用基本不等式求得的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数满足，，即，，，，即，，则，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.，由于函数在区间上为增函数，所以，当时，取得最小值.故选：A.【点睛】本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.3、B【解析】

根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得.【详解】由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数，所以，解得，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.4、B【解析】

由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点为中点，所以，又因为，，所以．因为，，三点共线，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为1．故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5、C【解析】

如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，，故，即.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.6、B【解析】

三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，其体积为，故原几何体的体积为.故选：B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.7、C【解析】

由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角．【详解】连接，，如图：又，则为异面直线与所成的角.因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解得.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．8、D【解析】

ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确；D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.故选：D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.9、A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10、C【解析】

由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.11、A【解析】

由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．则几何体的体积为．故选：．【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12、B【解析】

根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.【详解】由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，选项A，，所以，选项A错误；选项B，因为，所以，所以f（sin3）＜f（﹣cos3），即f（sin3）＜f（cos3），选项B正确；选项C，，所以，即，选项C错误；选项D，，选项D错误.故选：B.【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】因为sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．答案：14、2【解析】

由题得,再根据求解即可.【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.故答案为：2.【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.15、【解析】

根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，求得四棱锥的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值.【详解】由已知可得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，棱锥的高为，底面边长为，的体积，当且仅当时等号成立.故答案为：【点睛】本小题主要考查球的表面积有关计算，考查球的内接四棱锥体积的最值的求法，属于中档题.16、【解析】

由是偶函数可得时恒有，根据该恒等式即可求得，，的值，从而得到，令，可解得，，三点的横坐标，根据可列关于的方程，解出即可．【详解】解：因为是偶函数，所以时恒有，即，所以，所以，解得，，；所以；由，即，解得；故，．由，即，解得．故，．因为，所以，即，解得，故答案为：．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）6（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）化简得到直线的普通方程化为，，是以点为圆心，为半径的圆，利用垂径定理计算得到答案.（Ⅱ）设，则，得到范围.【详解】（Ⅰ）由题意可知，直线的普通方程化为，曲线的极坐标方程变形为，所以的普通方程分别为，是以点为圆心，为半径的圆，设点到直线的距离为，则，所以.（Ⅱ）的标准方程为，所以参数方程为（为参数），设，，因为，所以，所以.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先算出的长度，利用勾股定理证明，再由已知可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）由（1）可得为直线与平面所成的角，要使其最大，则应最小，可得为中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.【详解】（1）在中，，由余弦定理得，∴，∴，由题意可知：∴，，，∴平面，平面，∴，又，∴平面.（2）以为坐标原点，以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.∵平面，∴在平面上的射影是，∴与平面所成的角是，∴最大时，即，点为中点.，，，，，，，设平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，同理，设平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，∴，，故二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.19、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）当时，由，得到，两边同除以，得到.再根据是等差数列.求解.（Ⅱ），根据前n项和的定义得到，令，研究其增减性即可.【详解】（Ⅰ）当时，，所以，即，所以.因为是等差数列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以数列是递增数列，所以，即.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20、（1）（2）是为定值，的横坐标为定值【解析】

（1）根据“直线垂直于轴时，四边形的面积为1”列方程，由此求得，结合椭圆离心率以及，求得，由此求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线的方程，并求得两直线交点的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得的横坐标为定值.【详解】（1）依题意可知，解得，即；而，即，结合解得，，因此椭圆方程为（2）由题意得，左焦点，设直线的方程为：，，．由消