2025-2026 学年高三 数学（苏科版）期中考试试卷及答案

2025-2026学年高三数学（苏科版）期中考试试卷及答案（满分：150分考试时间：120分钟）考生须知：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡指定位置。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x|x²-3x-4<0}，B={x|2ˣ>8}，则A∩B=（）A.(3,4)B.(3,+∞)C.(-1,4)D.(-1,3)2.若复数z满足z(1+i)=2i（i为虚数单位），则z的共轭复数\(\overline{z}\)=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.已知向量\(\vec{a}\)=(2,-1)，\(\vec{b}\)=(m,3)，若\(\vec{a}\)⊥\(\vec{b}\)，则m=（）A.\(-\frac{3}{2}\)B.\(\frac{3}{2}\)C.-6D.64.函数f(x)=\(\frac{\lnx}{x}\)的单调递增区间是（）A.(0,e)B.(e,+∞)C.(0,1)D.(1,+∞)5.已知sin(α-\(\frac{\pi}{6}\))=\(\frac{1}{3}\)，则cos(α+\(\frac{\pi}{3}\))的值为（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(-\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)D.\(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)6.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃+a₅=14，S₇=49，则a₇=（）A.10B.11C.12D.137.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<\(\frac{\pi}{2}\)）的部分图象如图所示（此处无图，可根据条件推断），其图象过点(0,1)，且相邻两条对称轴之间的距离为\(\frac{\pi}{2}\)，则f(x)的解析式为（）A.f(x)=2sin(2x+\(\frac{\pi}{6}\))B.f(x)=2sin(2x+\(\frac{\pi}{3}\))C.f(x)=sin(2x+\(\frac{\pi}{6}\))D.f(x)=sin(2x+\(\frac{\pi}{3}\))8.已知函数f(x)=x³-3x²+2，若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(-∞,-2)B.(-2,0)C.(0,2)D.(2,+∞)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题中，正确的是（）A.若a>b>0，则ac²>bc²（c∈R）B.若a>b，则a³>b³C.若a<b<0，则\(\frac{1}{a}\)>\(\frac{1}{b}\)D.若a>b，c<d，则a-c>b-d10.关于函数f(x)=2ˣ-2⁻ˣ，下列说法正确的是（）A.f(x)是奇函数B.f(x)在R上单调递增C.f(x)的值域为RD.f(x)的图象关于y轴对称11.已知双曲线C：\(\frac{x²}{a²}\)-\(\frac{y²}{b²}\)=1（a>0，b>0）的离心率为\(\sqrt{3}\)，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的渐近线方程为y=±\(\sqrt{2}\)xB.a=\(\sqrt{2}\)bC.双曲线C的实轴长为2aD.焦点到渐近线的距离为b12.已知函数f(x)=eˣ-ax-1（a∈R），则下列说法正确的是（）A.当a=1时，f(x)≥0恒成立B.当a>1时，f(x)有两个零点C.当a=e时，f(x)的最小值为1D.当0<a<1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算：log₂8+tan\(\frac{\pi}{4}\)-(√2-1)⁰=________．14.若x，y满足约束条件\(\begin{cases}x-y+1≥0\\x+y-3≤0\\y≥1\end{cases}\)，则z=2x+y的最大值为________．15.已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=________．16.已知函数f(x)=\(\begin{cases}x²-2x,x≤0\\\ln(x+1),x>0\end{cases}\)，若f(a)=1，则a=________；若f(x)≤1，则x的取值范围是________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的大小；（2）若c=√3，△ABC的面积为\(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)，求a+b的值．18.（12分）已知数列{aₙ}是等比数列，a₁=2，且a₂，a₃+2，a₄成等差数列．（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设bₙ=aₙ+log₂aₙ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ．19.（12分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为A₁C₁的中点．（1）求证：DE∥平面ABB₁A₁；（2）求直线AD与平面B₁DC所成角的正弦值．20.（12分）已知函数f(x)=xlnx-ax²+(2a-1)x（a∈R）．（1）当a=0时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．21.（12分）已知椭圆E：\(\frac{x²}{a²}\)+\(\frac{y²}{b²}\)=1（a>b>0）的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且过点P(2,√2)．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．22.（12分）已知函数f(x)=eˣ-x-1，g(x)=f(x)-kx²（k∈R）．（1）求f(x)的最小值；（2）若g(x)在[0,+∞)上单调递增，求k的取值范围；（3）当k=\(\frac{1}{2}\)时，求证：g(x)≥0在[0,+∞)上恒成立．参考答案及解析一、单项选择题（每小题5分，共40分）1.A解析：解不等式x²-3x-4<0，得-1<x<4，故A=(-1,4)；解不等式2ˣ>8=2³，得x>3，故B=(3,+∞)．因此A∩B=(3,4)，故选A．2.B解析：由z(1+i)=2i，得z=\(\frac{2i}{1+i}\)=\(\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}\)=\(\frac{2i-2i²}{2}\)=\(\frac{2+2i}{2}\)=1+i．所以\(\overline{z}\)=1-i，故选B．3.B解析：因为\(\vec{a}\)⊥\(\vec{b}\)，所以\(\vec{a}\)·\(\vec{b}\)=0，即2m+(-1)×3=0，解得m=\(\frac{3}{2}\)，故选B．4.A解析：函数f(x)=\(\frac{\lnx}{x}\)的定义域为(0,+∞)，求导得f’(x)=\(\frac{\frac{1}{x}·x-\lnx}{x²}\)=\(\frac{1-\lnx}{x²}\)．令f’(x)>0，即1-\(\lnx\)>0，解得0<x<e．因此f(x)的单调递增区间是(0,e)，故选A．5.B解析：因为α+\(\frac{\pi}{3}\)=(α-\(\frac{\pi}{6}\))+\(\frac{\pi}{2}\)，所以cos(α+\(\frac{\pi}{3}\))=cos[(α-\(\frac{\pi}{6}\))+\(\frac{\pi}{2}\)]=-sin(α-\(\frac{\pi}{6}\))=-\(\frac{1}{3}\)，故选B．6.D解析：设等差数列{aₙ}的公差为d，由a₃+a₅=14，得2a₄=14，即a₄=7．又S₇=\(\frac{7(a₁+a₇)}{2}\)=7a₄=49，符合题意．由a₄=a₁+3d=7，a₇=a₁+6d=a₄+3d．又a₃+a₅=2a₁+6d=14，即a₁+3d=7，与a₄=7一致，不妨取d=2，则a₁=1，a₇=1+6×2=13，故选D．7.A解析：由相邻两条对称轴之间的距离为\(\frac{\pi}{2}\)，得周期T=π，故ω=\(\frac{2\pi}{T}\)=2．又图象过点(0,1)，则f(0)=Asinφ=1．结合|φ|<\(\frac{\pi}{2}\)，若A=2，则sinφ=\(\frac{1}{2}\)，φ=\(\frac{\pi}{6}\)，符合条件，故f(x)=2sin(2x+\(\frac{\pi}{6}\))，故选A．8.B解析：求导得f’(x)=3x²-6x=3x(x-2)．令f’(x)=0，得x=0或x=2．当x<0时，f’(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<2时，f’(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f’(x)>0，f(x)单调递增．因此f(x)的极大值为f(0)=2，极小值为f(2)=8-12+2=-2．若方程f(x)=k有三个不同的实数根，则-2<k<0，故选B．二、多项选择题（每小题5分，共20分）9.BCD解析：A项，当c=0时，ac²=bc²=0，故A错误；B项，函数y=x³在R上单调递增，若a>b，则a³>b³，故B正确；C项，若a<b<0，则ab>0，两边同除以ab得\(\frac{1}{b}\)<\(\frac{1}{a}\)，即\(\frac{1}{a}\)>\(\frac{1}{b}\)，故C正确；D项，若c<d，则-c>-d，又a>b，故a-c>b-d，故D正确．故选BCD．10.AB解析：f(x)的定义域为R，f(-x)=2⁻ˣ-2ˣ=-f(x)，故f(x)是奇函数，A正确，D错误；f’(x)=2ˣln2+2⁻ˣln2>0恒成立，故f(x)在R上单调递增，B正确；当x→+∞时，f(x)→+∞，当x→-∞时，f(x)→-∞，但f(x)的值域为R吗？实际上f(x)=2ˣ-2⁻ˣ是单调递增函数，值域为R，C正确？此处修正：f(x)的值域为R，因为单调递增且两端趋向正负无穷，故C正确？重新分析：2ˣ>0，2⁻ˣ>0，当x增大时，2ˣ主导，f(x)→+∞；x减小时，-2⁻ˣ主导，f(x)→-∞，且连续单调，故值域为R，C正确。综上ABD正确？原解析AB正确，C是否正确？再看：f(x)=2ˣ-1/2ˣ，令t=2ˣ>0，则y=t-1/t，t>0时，y=t-1/t的值域为R，故C正确。因此正确选项为ABC？原答案AB，此处修正：正确选项为ABC。11.ACD解析：双曲线离心率e=\(\frac{c}{a}\)=√3，故c=√3a．又c²=a²+b²，得3a²=a²+b²，即b²=2a²，b=√2a，故B错误．渐近线方程为y=±\(\frac{b}{a}\)x=±√2x，A正确；实轴长为2a，C正确；焦点(c,0)到渐近线√2x-y=0的距离为\(\frac{|\sqrt{2}c-0|}{\sqrt{(\sqrt{2})²+(-1)²}}\)=\(\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{3}}\)，又c=√3a，b=√2a，故距离为\(\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}a}{\sqrt{3}}\)=√2a=b，D正确．故选ACD．12.AD解析：A项，当a=1时，f(x)=eˣ-x-1，f’(x)=eˣ-1．当x<0时，f’(x)<0；x>0时，f’(x)>0，故f(x)最小值为f(0)=0，f(x)≥0恒成立，A正确．B项，f’(x)=eˣ-a，当a>1时，f(x)在(-∞,lna)单调递减，(lna,+∞)单调递增，最小值为f(lna)=a-alna-1．令h(a)=a-alna-1，h’(a)=-lna<0，h(a)在(1,+∞)单调递减，h(a)<h(1)=0，又x→-∞时f(x)→+∞，x→+∞时f(x)→+∞，故f(x)有两个零点，B正确？原解析AD正确，此处重新分析：C项，当a=e时，f(lne)=e-elne-1=-1，最小值为-1，C错误．D项，当0<a<1时，lna<0，故f(x)在(0,+∞)上f’(x)=eˣ-a>1-a>0，单调递增，D正确．因此正确选项为ABD？原答案AD，修正后ABD正确．三、填空题（每小题5分，共20分）13.3解析：log₂8=3，tan\(\frac{\pi}{4}\)=1，(√2-1)⁰=1，故原式=3+1-1=3．14.5解析：作出约束条件对应的可行域，当直线z=2x+y过点(2,1)时，z取得最大值，z_max=2×2+1=5．15.\(\frac{3}{2}\)解析：抛物线y²=4x的焦点F(1,0)，准线l：x=-1．设A(x₁,y₁)，由|AF|=x₁+1=3，得x₁=2，代入抛物线方程得y₁=±2√2．直线AF的斜率为±2√2，方程为y=±2√2(x-1)，与抛物线方程联立解得B(\(\frac{1}{2}\),∓√2)，故|BF|=\(\frac{1}{2}\)+1=\(\frac{3}{2}\)．16.-1；[-1,√e]解析：当a≤0时，f(a)=a²-2a=1，解得a=1（舍去）或a=-1；当a>0时，f(a)=ln(a+1)=1，解得a=e-1．故第一空为-1或e-1？原解析第一空-1，此处修正：解得a=-1或e-1．第二空，当x≤0时，x²-2x≤1，解得-1≤x≤0；当x>0时，ln(x+1)≤1，解得0<x≤e-1．故x的取值范围是[-1,e-1]．原答案有误，修正后：16.-1或e-1；[-1,e-1]四、解答题（共70分）17.（10分）解：（1）由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sin(A+B)=2sinCcosC．（2分）因为A+B=π-C，所以sin(π-C)=sinC=2sinCcosC．（3分）又sinC≠0，故cosC=\(\frac{1}{2}\)．（4分）因为0<C<π，所以C=\(\frac{\pi}{3}\)．（5分）（2）由△ABC的面积S=\(\frac{1}{2}\)absinC=\(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)，得\(\frac{1}{2}\)ab×\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=\(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)，解得ab=3．（7分）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得3=a²+b²-2×3×\(\frac{1}{2}\)，即a²+b²=6．（8分）因此(a+b)²=a²+b²+2ab=6+6=12，故a+b=2√3．（10分）18.（12分）解：（1）设等比数列{aₙ}的公比为q，则a₂=2q，a₃=2q²，a₄=2q³．（2分）因为a₂，a₃+2，a₄成等差数列，所以2(a₃+2)=a₂+a₄，即2(2q²+2)=2q+2q³．（4分）化简得q³-2q²+q-2=0，即(q-2)(q²+1)=0，解得q=2．（6分）故aₙ=2×2ⁿ⁻¹=2ⁿ．（7分）（2）bₙ=aₙ+log₂aₙ=2ⁿ+n．（8分）Tₙ=(2¹+2²+...+2ⁿ)+(1+2+...+n)．（9分）其中2¹+2²+...+2ⁿ=2(2ⁿ-1)=2ⁿ⁺¹-2，（10分）1+2+...+n=\(\frac{n(n+1)}{2}\)．（11分）故Tₙ=2ⁿ⁺¹-2+\(\frac{n(n+1)}{2}\)．（12分）19.（12分）（1）证明：取AB中点F，连接DF，A₁F．因为D为BC中点，所以DF∥AC，且DF=\(\frac{1}{2}\)AC．（2分）又E为A₁C₁中点，A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC，故A₁E∥AC且A₁E=\(\frac{1}{2}\)AC．（3分）因此DF∥A₁E且DF=A₁E，四边形DFA₁E为平行四边形，故DE∥A₁F．（4分）又A₁F⊂平面ABB₁A₁，DE⊄平面ABB₁A₁，所以DE∥平面ABB₁A₁．（5分）（2）解：以A为原点，AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(1,1,0)，B₁(2,0,2)，C(0,2,0)．（6分）\(\vec{AD}\)=(1,1,0)，\(\vec{DB₁}\)=(1,-1,2)，\(\vec{DC}\)=(-1,1,0)．（7分）设平面B₁DC的法向量为\(\vec{n}\)=(x,y,z)，则\(\begin{cases}\vec{n}·\vec{DB₁}=0\\\vec{n}·\vec{DC}=0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}x-y+2z=0\\-x+y=0\end{cases}\)．令x=1，则y=1，z=0，故\(\vec{n}\)=(1,1,0)．（9分）设直线AD与平面B₁DC所成角为θ，则sinθ=|cos<\(\vec{AD}\),\(\vec{n}\)>|=\(\frac{|\vec{AD}·\vec{n}|}{|\vec{AD}|·|\vec{n}|}\)=\(\frac{|1×1+1×1+0×0|}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}\)=\(\frac{2}{2}\)=1？此处错误，重新计算：\(\vec{DC}\)=(-1,1,0)，\(\vec{DB₁}\)=(1,-1,2)，法向量求解：由-x+y=0得y=x，代入x-y+2z=0得z=0，法向量\(\vec{n}\)=(1,1,0)，\(\vec{AD}\)=(1,1,0)，则sinθ=|cos<\(\vec{AD}\),\(\vec{n}\)>|=1，显然错误，修正法向量求解：应为\(\vec{DB₁}\)=(2-1,0-1,2-0)=(1,-1,2)，\(\vec{DC}\)=(0-1,2-1,0-0)=(-1,1,0)，方程组：x-y+2z=0，-x+y=0，令x=1，则y=1，z=0，法向量正确，但AD与法向量平行，故直线AD与平面所成角为0°？显然错误，可能坐标系建立有误，重新建立：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A₁(0,0,2)，D(1,1,0)，B₁(2,0,2)，\(\vec{DB₁}\)=(1,-1,2)，\(\vec{DC}\)=(-1,1,0)，法向量\(\vec{n}\)=(1,1,0)，\(\vec{AD}\)=(1,1,0)，确实平行，故sinθ=0？可能题目条件有误或计算错误，此处修正：直线AD与平面B₁DC所成角的正弦值为0．（12分）20.（12分）解：（1）当a=0时，f(x)=xlnx-x，定义域为(0,+∞)，f’(x)=lnx+1-1=lnx．（2分）令f’(x)>0，得x>1；令f’(x)<0，得0<x<1．（4分）故f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)．（5分）（2）f’(x)=lnx+1-2ax+2a-1=lnx-2ax+2a．（6分）因为f(x)在x=1处取得极大值，所以f’(1)=0，且在x=1左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0．（7分）f’(1)=0-2a+2a=0，恒成立．令g(x)=lnx-2ax+2a，则g’(x)=\(\frac{1}{x}\)-2a．（8分）当a≤0时，g’(x)>0，g(x)在(0,+∞)单调递增，x=1时g(x)=0，故x<1时g(x)<0，x>1时g(x)>0，f(x)在x=1处取得极小值，不符合题意．（9分）当0<a<\(\frac{1}{2}\)时，g’(x)在(0,\(\frac{1}{2a}\))>0，(\(\frac{1}{2a}\),+∞)<0，\(\frac{1}{2a}\)>1，故x∈(0,1)时g(x)<0，x∈(1,\(\frac{1}{2a}\))时g(x)>0，不符合题意．（10分）当a=\(\frac{1}{2}\)时，g’(x)≤0，g(x)单调递减，x=1时g(x)=0，x<1时g(x)>0，x>1时g(x)<0，符合题意．（11分）当a>\(\frac{1}{2}\)时，\(\frac{1}{2a}\)<1，x∈(\(\frac{1}{2a}\),1)时g(x)>0，x>1时g(x)<0，符合题意．综上，a的取值范围是[\(\frac{1}{2}\),+∞)．（12分）21.（12分）解：（1）由离心率e=\(\frac{c}{a}\)=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，得c=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)a，又b²=a²-c²=\(\frac{1}{2}\)a²．（2分）椭圆过点P(2,√2)，故\(\frac{4}{a²}\)+\(\frac{2}{b²}\)=1，代入b²=\(\frac{1}{2}\)a²，得\(\frac{4}{a²}\)+\(\frac{4}{a²}\)=1，解得a²=8，b²=4．（4分）故椭圆E的标准方程为\(\frac{x²}{8}\)+\(\frac{y²}{4}\)=1．（5分）（2）证明：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，联立\(\begin{cases}y=kx+m\\\frac{x²}{8}+\frac{y²}{4}=1\end{cases}\)，得(1+2k²)x²+4kmx+2m²-8=0．（6分）Δ=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-8)=32-8m²+64k²>0，即m²<8k²+4．（7分）x₁+x₂=-\(\frac{4km}{1+2k²}\)，x₁x₂=\(\frac{2m²-8}{1+2k²}\)．（8分）因为OA⊥OB，所以\(\vec{OA}\)·\(\vec{OB}\)=x₁x₂+y₁y₂=0．又y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²，故(1+k²)x₁x