第2章 实数的初步认识期末复习（知识清单）（答案版）-苏科版(2024)八上

第二章实数的初步认识知识点1：算术平方根1.概念：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。2.表示方法: 3.性质:①规定：0的算术平方根是0；②双重非负性，即。知识点2：平方根1.平方根概念：如果，那么这个数叫做的平方根,也叫二次方根。2.表示方法: 3.性质:①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数;②0的平方根是0；③负数没有平方根。知识点3：开平方1.开平方概念：求一个数的平方根的运算叫做开平方；注意理解平方根是数，是开平方运算的结果；而开平方是一种运算；2.开平方与平方的关系：开平方与平方互为逆运算。知识点4：立方根1.立方根概念：一般地，如果，那么这个数叫做的立方根,也叫三次方根。2.表示方法: 3.性质:①正数的立方根是正数;②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 知识点5：开立方1.概念：求一个数的立方根的运算叫做开立方。2.开立方与立方关系：开立方与立方互为逆运算。知识点6：实数1.概念：有理数与无理数统称为实数。2.分类：（1）按定义分类 （2）按正负分类 3.有理数、无理数概念（1）有理数：整数和分数统称为有理数，即能写成分数形式的数。有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。（2）无理数：无限不循环小数，无理数的四种常见表现形式：开方开不尽的数，如等；有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号）4.实数与数轴上的点是一一对应的关系。5.实数的大小比较方法：方法一：数轴比较法：左<右方法二: 作差比较法aaa方法三: 作商比较法设a、b是两正实数，ab方法四: 平方法设a、b是两负实数，则a2设a、b是两正实数，则a26、无理数的大小估计方法:先找到离a最近的两个平方数，例如a的前面一个平方数为m,后面一个平方数为n,即m<a<n,则m7.有理数的运算性质及运算律实数范围内适用。知识点7：近似值与准确值1.准确值：与实际完全相同数据叫作准确值。2.近似值：能够在一定程度上反被考察对象的大小与准确值非常接近，但又不完全相等的数据称为近似值。3.精确度：一个近似值四舍五入到哪一位，就说这个近似值精确到哪一位。4.取近似值的方法：四舍五入法、去尾法、进一法。一、平方根与算术平方根1.平方根与算术平方根的概念：错误：认为“任何实数都有平方根和算术平方根”。注意：平方根和算术平方根的概念中说的很清楚“如果，那么这个数叫做的平方根,”，注意括号中的条件，因为任何实数的平方都不可能是负数，所以负数没有平方根。2.平方根与算术平方根的关系：错误：认为“平方根一定是两个，而算术平方根一定是正的那一个”注意：一个正实数的平方根是两个，而且互为相反数，算术平方根是正的那一个，但是0的平方根和算术平方根都只有一个，就是0。3.平方根和算术平方根的表示方法：错误：认为“，”注意：出现这种错误是最常见的，主要原因是没有弄清平方根和算术平方根的表示方法，记住一个秘诀就可以了“等号两边的符号要一致”，正负号要有都有，要没有都没有，所以正确的应该表示成。二、实数与无理数1.实数与数轴的关系错误：认为“有理数与数轴上的点一一对应”．注意：实数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，数轴上的点也对应一个实数，数轴上的点与实数是一一对应的关系。形象理解记忆“实数与数轴上的点就像衣服上的扣子和扣眼的关系”。2.无理数的概念错误：认为“带根号的数都是无理数”．注意：无理数，也就是无限不循环小数，常见的无理数有四种表现形式：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（注意省略号） 其中带根号的数不一定都是无理数，例如这些能从根号里开出来，它们都是属于有理数的，不属于无理数。类似的还有“带π的数不一定都是无理数，也可能是有理数”判断一个数是无理数，还是有理数，要先把这个数化成最简形式再判断。题型01平方根与算术平方根的概念1．下列说法中，错误的是（

）A．5是25的算术平方根 B．的平方根是C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是【答案】D【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、求一个数的平方根【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的性质及计算方法，掌握以上知识是解题的关键．根据平方根和算术平方根的性质，逐一分析选项．【详解】解：A.25的算术平方根是5，正确．B.，9的平方根是，正确．C.0的平方根和算术平方根均为0，正确．D.，16的平方根是，但选项仅指出，错误．故选：D．2．下列说法错误的是（）A．的平方根是和 B．是的平方根C．的立方根是 D．是的平方根【答案】D【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根【分析】本题主要考查了立方根，平方根，熟知二者的定义是解题的关键．根据平方根，立方根的定义逐一判断即可．【详解】解：A、的平方根是和，故原说法正确，不符合题意；B、是的一个平方根，故原说法正确，不符合题意；C、的立方根是，故原说法正确，不符合题意；D、，的平方根是，故原说法错误，符合题意；故选：D．3．有下列说法：①的平方根是4；②表示6的算术平方根的相反数；③的立方根是；④是的平方根.其中，正确的说法有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解【分析】本题考查了平方根、立方根的相关概念，掌握相关结论即可．【详解】解：①，的平方根是，故①错误；②表示6的算术平方根的相反数，故②正确；③的立方根是，故③正确；④，是的平方根，故④正确；故选：C4．下列说法中不正确的是（

）A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根C．的立方根是 D．的算术平方根是【答案】A【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解【分析】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，根据平方根，算术平方根和立方根的概念即可得出答案，熟练掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：A、10的平方根是，故选项符合题意；B、8是64的一个平方根，说法正确，故选项不符合题意；C、的立方根是，说法正确，故选项不符合题意；D、的算术平方根是，说法正确，故选项不符合题意；故选：A．5．下列说法中，正确的是（

）A． B．的算术平方根是3C．0没有立方根 D．是7的一个平方根【答案】D【知识点】求一个数的立方根、立方根概念理解、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义是解答本题的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答．【详解】解：A、，说法错误，不符合题意；B、，没有算术平方根是，说法错误，不符合题意；C、0的立方根是0，说法错误，不符合题意；D、7的一个平方根是，是7的一个平方根，说法正确，符合题意；故选：D．题型02平方根与算术平方根的关系6．若一个正数的两个平方根是和，则的值为（

）A．3 B．7 C． D．49【答案】D【知识点】已知一个数的平方根，求这个数【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数这一性质来求解。根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，求解a后再计算x的值。【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是和，所以，解得：，则，所以；7．3的算术平方根是（

）A．9 B． C． D．【答案】B【知识点】求一个数的算术平方根【分析】本题考查了算术平方根的定义；根据算术平方根的定义，非负数a的算术平方根是平方等于a的非负数．【详解】解：算术平方根指非负数中平方等于原数的数；3的算术平方根需满足两个条件：1.平方后等于3；2.结果非负；选项A：9的平方为81，不等于3，排除；选项B：的平方为3，且，符合条件；选项C：包含负数，而算术平方根仅取非负值，排除；选项D：为负数，且平方为，排除；故选：B．8．计算：（

）A．4 B． C． D．8【答案】D【知识点】求一个数的算术平方根【分析】本题主要考查算术平方根的定义；根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：∵，∴，故选：D．9．的平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【知识点】求一个数的平方根【分析】本题考查了求一个数的平方根，先计算的值，再求其平方根，根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数，进行作答即可．【详解】解：，∴4的平方根是，故选：C10．的算术平方根是（

）A．2 B． C．4 D．8【答案】A【知识点】求一个数的算术平方根【分析】本题主要考查算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根即可．【详解】解：∵，4的算术平方根是2；∴的算术平方根是2；故选：A．题型03平方根和算术平方根的表示方法11．下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【知识点】求一个数的算术平方根【分析】本题考查算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键，需注意平方根与算术平方根的区别．根据算术平方根的定义化简即可得出答案．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项正确，符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：D12．下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根【分析】本题考查了算术平方根的定义，以及算术平方根的非负性，掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，以及算术平方根的非负性逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，原计算错误；B.，原计算错误；C.，原计算错误；D.，计算正确；故答案为：D13．下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】求一个数的算术平方根【分析】此题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义及性质，逐一分析各选项的正误．【详解】解：A、表示的算术平方根，结果为非负数，即，而非，故A错误．B、的被开方数为负数（），在实数范围内无意义，故B错误．C、的被开方数为负数，实数范围内无平方根，故C错误．D、表示的算术平方根，，故，D正确．故选：D．14．下列式子正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项利用算术平方根定义计算得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、，故A错误；B、，故B错误；C、，故C错误；D、，故D正确．故选：D．15．下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【知识点】求一个数的算术平方根【分析】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的概念是关键；根据算术平方根的定义，逐一分析各选项的正误．【详解】解：A、，但选项结果为，错误．B、，（因，其平方为），错误．C、表示16的算术平方根，结果为，而非，错误．D、，故，正确．故选：D．题型04实数与数轴的关系16．下列关于的叙述错误的是（

）A．它可以是面积为5的正方形的边长B．它可以在数轴上找到与之对应的点C．它可以是5的算术平方根D．它的整数部分是3【答案】D【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算【分析】本题主要考查了正方形的性质、平方根的性质、数轴的特点、有理数的大小判断等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．根据正方形面积计算方法对A进行判断；根据数轴上的点与实数一一对应即可判断B；根据平方根的性质对C进行判断；根据，可得出可判断出D是否正确．【详解】解：A．面积为5的正方形的边长是，说法正确，故A不符合题意；B．在数轴上可以找到表示的点，数轴上的点与实数一一对应，故B正确，不符合题意；C．是5的平方根，说法正确，不符合题意；D．∵，∴，整数部分是2，故D选项说法错误，符合题意．故选：D．17．下列说法错误的是（

）A．0的算术平方根是0B．实数包括正实数，0，负实数C．的相反数是D．所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数【答案】D【知识点】相反数的定义、求一个数的算术平方根、实数与数轴、实数的分类【分析】本题考查算术平方根、实数的分类、相反数及有理数与数轴的关系，正确理解定义是解题的关键．根据知识点桌椅判断即可得出结论．【详解】解：A、0的算术平方根是0，故正确；B、实数分为正实数、0、负实数，故正确；C、的相反数是，故正确；D、所有有理数可用数轴上的点表示，但数轴上的点不全是有理数（如对应点是无理数），因此后半句错误；故选：D．18．祖冲之是世界上最早把圆周率计算到小数点后7位的中国古代数学家，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的说法错误的是（

）A．圆周率是一个无限小数 B．圆周率是一个实数C．圆周率可以在数轴上表示出来 D．圆周率是一个有理数【答案】D【知识点】无理数、实数与数轴、实数的分类【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和的意义是解题的关键．根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案．【详解】A．圆周率它是一个无限不循环小数，属于无限小数，该选项说法正确，故本选项不符合题意；B．实数是有理数和无理数的总称，圆周率是无理数，所以圆周率是一个实数，该选项说法正确，故本选项不符合题意；C．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，圆周率是实数，所以圆周率可以在数轴上表示出来，该选项说法正确，故本选项不符合题意；D．有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，而圆周率是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，该选项说法错误，故本选项符合题意；故选：D．19．有下列说法，其中正确的是（

）A．无限小数都是无理数 B．数轴上的点和有理数一一对应C．无理数都是无限小数 D．两个无理数的和还是无理数【答案】C【知识点】无理数、实数与数轴【分析】根据相关知识加以判断即可．【详解】无限不循环小数是无理数，故A错误，不符合题意；数轴上的点和实数一一对应，故B错误，不符合题意；无理数都是无限小数，故C正确，符合题意；两个无理数的和可以是有理数，故D错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了无理数即无限不循环小数及其性质，数轴与实数的关系，熟练掌握无理数的定义和性质，数轴与实数的关系是解题的关键．20．下列说法：①的算术平方根是9；②无理数是无限小数；③一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为5；④是分数；⑤既是二次根式，又是整式；⑥实数和数轴上的点是一一对应的．其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数与数轴、用勾股定理解三角形【分析】根据算术平方根、无理数、勾股定理、二次根式和整式、实数和数轴分别进行判断即可．【详解】解：的算术平方根是3；故①错误；无理数是无限不循环小数，所以②正确；一个直角三角形的两边长分别为3和4，当4是直角边时，第三边长为当4是斜边时，第三边长为；故③错误；是无理数，不是分数，所以④错误；是二次根式，又是整式；故⑤正确；实数和数轴上的点是一一对应的，所以⑥正确．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．也考查了实数与数轴、整式和勾股定理．题型05无理数的概念21．下列四个实数中，无理数的是（

）A． B． C．0 D．【答案】B【知识点】无理数、求一个数的算术平方根【分析】本题主要考查了无理数的定义，即无限不循环小数，解题的关键是掌握无理数的定义．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数即可．【详解】A.是分数，属于有理数，不符合题意；B.是无限不循环小数，且3不是完全平方数，因此是无理数，符合题意；C.0是整数，属于有理数，不符合题意；D.，是整数，属于有理数，不符合题意；故选：B．22．下列实数：中，无理数的个数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知识点】求一个数的立方根、无理数【分析】根据循环节，有理数的定义，无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，循环