期末考前满分冲刺之压轴题（教师版）苏科版八上-苏科版(2024)八上

期末考前满分冲刺之优质压轴题【专题过关】类型一、函数图象1．童童去奥体中心观看音乐会，她先匀速步行至轻轨车站，等了一会，又搭乘轻轨至奥体中心，演出结束后搭乘刘叔叔车顺利回到家．下图中表示童童离家后所用的时间，表示他离家的距离．下列能反映与的函数关系的大致图像的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了函数图像，根据童童的活动得出函数图像是解题关键，注意选项B中步行的速度快不符合题意．根据步行速度慢，路程变化慢，等车时路程不变化，乘轻轨时路程变化快，看音乐会时路程不变化，回家时乘车路程变化快，可得答案．【详解】解：步行时变化慢，等车路程不变化，乘轻轨时路程变化快，看音乐会路程不变化，回家路程变化快．只有选项A符合．故选：A．2．RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，∴两个机器人最初的距离是，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A，C，∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，故选：D．3．如图1，四边形是正方形，点在直线上，．直线沿方向平行移动，设移动离为．直线经过的阴影部分面积为．那么表示与之间函数关系的图象大致为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图象．关键是理解图形运动过程中的几个分界点．【详解】解：当时，图象为顶点在原点，开口向上的抛物线的一部分，当时，∵为定值，∴函数图象是开口向下的抛物线的一部分.故选B.4．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为．【答案】4400【分析】本题主要考查函数的图像及应用，二元一次方程组的应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键．根据函数图像可得正方体的棱长为，同时可得水面上升从到，所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案，再求出正方体铁块的体积，设注水的速度为，圆柱的底面积为，结合题意建立二元一次方程组求解即可．【详解】解：由题意可得，12秒时，水槽内水面的高度为，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为；没有立方体时，水面上升从到，所用的时间为：秒前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒将正方体铁块取出，又经过4秒恰好将此水槽注满；根据题意：正方体的体积为：，设注水的速度为，圆柱的底面积为，根据题意得：，解得，水槽的底面面积为．故答案为：4；400．5．如图，在梯形中（图1），，，．动点P以每秒2cm的速度沿着方向运动，相应的的面积与时间之间的函数关系如图2所示．则梯形的面积为．（温馨提示：梯形的面积）【答案】【分析】本题考查动点的图像问题，能从图象中提取相关信息计算是解题的关键．【详解】由题可得当时，面积最大，这时点P与D重合，∴梯形的高为，从第到第时，面积不变，∴，∴梯形的面积，故答案为：．6．如图1，在直角中，，D是的中点，动点P从点C沿出发，沿运动到点B．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的关系图象如图2所示．

（1）．（2）当点P运动到边的中点时，．【答案】44【分析】本题考查动点问题的函数图象，三角形中线的性质．当点P在上运动时，由，得到，根据当时，，可求出的长，进而求出．当点P运动到点A，即时，有最大值，从而得到，进而求得的面积，根据三角形的中线的性质即可解答．【详解】解：当点P在上运动时，∵点P的运动路程为x，即，∴，即，∴由图象可知：当时，，∴，∴，∵点D是的中点，∴，当点P运动到点A，即时，有最大值，即有最大值，∴，∴在中，，当点P运动到边的中点时，，∵点D是的中点，∴，即．故答案为：4，4类型二、最值问题1．如图，在中，，，．如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（

）A．4.8 B．9.6 C．10 D．10.8【答案】B【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，涉及轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积，运用了等积变换的思想．掌握对称的性质是解题的关键．作点关于的对称点，作点，交于点，则，所以，即的最小值为．【详解】解：作点关于的对称点，作点，交于点，连接，∴，∴，即的最小值为，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，即的最小值为．故选：B．2．如图、在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理等，连接，，根据直角三角形斜边的中线的性质可得，过点作于点，可知的长度，根据勾股定理求出的长，即可确定的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：连接，，如图所示：∵，是对角线的中点，∴，，∵，∴，过点作于点，则点是线段的中点，∵，∴，根据勾股定理，得，∴当时，有最小，即与重合时，线段的最小值为，故选：．3．如图，边长为3的等边中，是上中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（

）

A． B． C． D．3【答案】B【分析】本题考查了轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，学会利用轴对称的性质构造辅助线并证明全等三角形是解题的关键．作交于，连接、、，由可得是等边三角形，再通过全等的判定方法得到，进而把周长转化为的周长，再利用两点之间线段最短算得周长的最小值，即可得出结论．【详解】解：如图，作交于，连接、、，等边，，又，，是等边三角形，．等边，是上中线，垂直平分，，又点在上，．等边，，，，，，周长周长，周长周长，当最小时，周长有最小值，连接，，是上中线，又等边，，在中，，，，，的最小值为，周长最小值为．故选：B．4．如图，等腰三角形的底边长为2，，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答中涉及轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，勾股定理，能够将两线段和的最小值用一条线段表示是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据勾股定理求出的长，再根据是的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论，【详解】解：连接，是等腰三角形，点是边的中点，，又，由勾股定理，得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的最小值为，即为，故答案为：．5．在中，，，，点D是线段上的动点，连接，以线段为直角边如图所示作等腰直角三角形，，则周长的最小值为．【答案】【分析】取的中点F，连接，证明出，得到，作点C关于的对称点G，连接与的交点为D，此时的周长最小，过点G作交于点K，连接，然后利用等面积法和勾股定理求解即可．【详解】解：取的中点F，连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴的周长，∴当最小时，周长最小，作点C关于的对称点G，连接与的交点为D，由对称性可得，，∵两点之间线段最短，∴，此时的周长最小，过点G作交于点K，连接，∵是的垂直平分线，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴在中，，∴，在中，，∴的周长的最小值为．故答案为：．【点睛】此题考查了轴对称求最短距离，勾股定理，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．6．在中，，，，AD是的平分线，若P，Q分别是AD和上的动点，则的最小值是．

【答案】【分析】本题考查角平分线性质，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键．如图，作于交AD于点，作于，此时最短．通过勾股定理算出AB的长度，再通过等面积法算出的长度即可解题．【详解】解：如图，作于交AD于点，作于，此时最短．

∵，，AD平分，∴，∴∴此时最短（垂线段最短）．在中，∵，，，∴，∵，∴．∴的最小值为．故答案为．类型三、函数应用的行程问题1．哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟，哥哥骑自行车每分钟行驶，如图是两人之间的距离，与弟弟步行时间之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（

）A．点表示哥哥已经到达学校B．哥哥与弟弟相距的最大距离是米C．他们家与学校之间的距离为米D．的函数表达式为【答案】D【分析】本题考查一次函数的应用，哥哥的速度始终大于弟弟的速度，故在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，据此判断即可；根据可知，点时二人之间的距离最大，利用路程速度时间，计算二人的路程之差即可判断；由可知，点表示哥哥已经到达学校，利用路程速度时间求出点时哥哥骑行的路程即可判断；设坐标，利用弟弟在AB段和段的路程速度时间列关于和的二元一次方程组并求解，再利用待定系数法求出的函数表达式即可判断；掌握并灵活运用速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键．【详解】解：、∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度，∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，∴点表示哥哥已经到达学校，∴原选项正确，不符合题意；、哥哥与弟弟相距的最大距离是（米），∴原选项正确，不符合题意；、他们家与学校之间的距离为（米），∴原选项正确，不符合题意；、设坐标，根据题意，得，解得，设的函数表达式为，将坐标和分别代入，得，解得，∴的函数表达式为，∴原选项错误，符合题意，故选：．2．2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（

）A．客人距离厨房门口； B．慧慧比聪聪晚出发；C．聪聪的速度为； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为；【答案】D【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，一次函数图象的性质是解题的关键．根据图象分别求出聪聪的解析式，结合图象的性质，即可求解．【详解】解：聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系，设的解析式为，图象经过点，∴，解得，，∴的解析式为，由图象知，慧慧从出发到送餐结束用时为，∴A、客人距离厨房门口，正确，不符合题意；B、慧慧比聪聪晚出发，正确，不符合题意；C、∵，∴聪聪的速度为，正确，不符合题意；D、当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大，∴当时，，当时，聪聪与慧慧的距离先减小，再增加，当时，，∴，当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到，∵,∴D选项不正确，符合题意；故选：D．3．公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村（到了C村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系，下列结论：①A，B两村相距；②小明每小时比小红多骑行8；③两人相距4时h或2h；④图中．其中正确的是．（填字号）【答案】①②③【分析】本题考查一次函数的应用以及待定系数法求一次函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．由图象可得，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系，即可判断①；小明的速度为：，小红的速度为：即可判断②；由小明是匀速骑行，可得，即可判断④；设，，分别求出相应的解析式，分类讨论当小明未到B村时，他们相距4km，和当小明到B村之后，他们相距4km，两种情况，即可判断③；【详解】解：由图象可得，∵l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s（）和骑行时间t（h）之间的函数关系，∴当，A，B两村相距；故①正确，符合题意；由题意可知：小明的速度为：，小红的速度为：，则小明每小时比小红多骑行，故②正确，符合题意；∵小明是匀速骑行，∴，故④错误，不符合题意；设，把和分别代入，得解得则，设，把代入，得，解得，∴，当小明未到B村时，他们相距4km，则，解得（舍去），当小明到B村之后，他们相距4km，∴，解得x=2或x综上：两人相距4km时h或2h；，故③是正确的，故答案为：①②③．4．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有．【答案】①②③④【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，，故①正确，甲的速度是：，故②正确，设乙刚开始的速度为，则，得，则设经过，乙追上甲，，解得，，故③正确，乙刚到达货站时，甲距B地：，故④正确，综上，四个选项都是正确的，故答案为：①②③④5．小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题．(1)小华家到图书馆的路程是________；线段对应的函数表达式为________（）；(2)求线段对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围）(3)图象中线段与线段的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________；(4)设小华和妈妈两人之间的距离为，t的值为________h．【答案】(1)，；(2)(3)；小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇．(4)或．【分析】本题本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的应用：（1）由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是；设的解析式为，代入，求出的值即可；（2）设的函数表达式为，把代入，求出的值即可；（3）联立方程组，再解方程组求出方程组的解即可；（4）根据题意四种情况：当时，小华离家，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当不符合题意，舍去，从而可得答案．【详解】（1）解：由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是；设的函数表达式为，把代入函数表达式得：，解得，∴的函数表达式为；（2）解：由图象知，，设的函数表达式为，则，解得，∴的函数表达式为．（3）解：联立方程组，解得，∴点K的坐标为；∴的坐标的实际意义是小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇．（4）解：当时，小华离家，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，∴，解得：，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，∴，解得：，当不符合题意，舍去，∴当小华和妈妈两人之间的距离为时，t的值为或h．6．某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象．(1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________．(2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标；(3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________．【答案】(1)，(2)(3)或或【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键；（1）根据图象得出距离，进而计算出速度即可；（2）设直线的解析式是，把，代入解析式，得出解析式，再把代入解答即可；（3）得出直线的解析式，再根据题意分情况列方程求解即可；【详解】（1）解：目的地距离学校千米，小车出发去目的地的行驶速度是千米/时；故答案为：；（2）解：设直线的解析式是，把，代入解析式得：，解得：，则直线的解析式是：，当时，；则点坐标为：；（3）解：设直线的函数解析式为：，将代入函数解析式，可得：，解得：，即直线的函数解析式为：，设直线的函数解析式为：，将代入函数解析式，可得：，解得：，即直线的函数解析式为：，当时，解得：；当，解得：；当，解得：；行驶时间为或或，故答案为：或或类型四、斜中定理1．如图，，E为的中点，与相交于点F，，则的度数是（）A．56° B．62° C．63° D．72°【答案】A【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线的性质得，再根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，E为的中点，∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点，∴，∴，故选：A．2．在中，，，，为上一动点，连接，过作于点，连接，则的最小值是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边的关系．作于H，连接，如图，利用等腰三角形的性质得，再利用三角形面积计算出，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，然后根据三角形三边的关系得（当且仅当B、E、H共线时取等号），从而可确定的最小值．【详解】解：作于H，连接，如图，∵，∴，∵，∴，∵，∴为的斜边上的中线，∴，∵（当且仅当B、E、H共线时取等号），即，∴的最小值为．故选：D．3．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是．【答案】【分析】连接，如图所示，证得是线段的垂直平分线，得到，则有，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，从而，结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，从而得到的度数．【详解】解：连接，如图所示：于点，且，是线段的垂直平分线，，，在中，，是边上的中线，，，是的一个外角，，设，则，在中，，根据三角形内角和定理可得，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查三角形中求角度问题，涉及垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、外角性质及三角形内角和定理等知识，根据题意准确作出辅助线，并灵活运用相关几何判定与性质是解决问题的关键．4．如图，在中，，点D为的中点，连接，过点B作于点E，点F为上一点，，若，，则的长为．【答案】/0.5【分析】先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，又由可得为等边三角形，进而可得，则可得．由，根据“等腰三角形三线合一”可得，．又由可得，进而可得，则可得是等边三角形，由此可得的长．【详解】解：在中，，点D为的中点，，，，又∵，为等边三角形，,，，，且，，又，，，在和中，，，，是等边三角形，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．在四边形中，，点E为中点．(1)如图①，点F为中点．求证：；(2)在（1）的条件下，若，，则的面积为________；(3)如图②，若，延长交于点F，且，求的度数．【答案】(1)见解析；(2)(3)【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用等腰三角形的性质即可得到；（2）利用四边形内角和定理求得，利用等边对等角结合三角形的外角性质求得，利用三角形的面积公式求解即可；（3）先证明，可得，，可证得

，设的度数为，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而得到，然后根据，可得，从而得到，进一步计算即可求解．【详解】（1）证明：∵，E是的中点，∴，∵点F为中点，∴；（2）解：∵四边形中，，∴，∵，E是的中点，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴的面积为，故答案为：；（3）解：在和中，，∵，，，，又，，设的度数为，∵在中，，E是AC的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．∵，∴，解得．∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．6．如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接．(1)求证：．(2)若，求线段、、之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由，点为的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质可得是直角三角形，由点为的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论；（2）当时，可得为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质可得，再由，得．【详解】（1），为的中点，，，又为的中点，；（2），，，，又为的中点，，为的垂直平分线，，，又，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质．类型五、一次函数的交点取值范围1．在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（）A． B．且 C．或 D．【答案】C【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键．先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的值，即可求解．【详解】解：∵当时，，即直线过定点，∴当直线经过点，得：，解得：，当直线经过点，得：，解得：，∴当直线与线段有交点，∴或，故选：C．2．如图，已知的顶点的坐标分别为，若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，平移的性质是解题的关键．结合图形可知，一次函数的图象沿轴向上运动时，最先经过点，最后经过点，所以当一次函数的图象经过点时，有最小值；当一次函数的图象经过点时，有最大值；由此即可求解．【详解】解：的顶点的坐标分别为，∴，将代入中，解得；将代入中，解得；∴若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为，故选：A．3．已知直线过点，平面直角坐标系中有，，三点．（1）的值为．（2）若直线与三角形有交点，则的取值范围是．【答案】2或【分析】本题考查一次函数的图象及性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）将点代入直线l的解析式中，即可求解；（2）直线l过定点，分别求出直线l过点A，过点B时k的值，再根据图象即可解答．【详解】解：（1）∵直线过点，∴．故答案为：2；（2）由（1）可知直线过定点，当直线l过点时，如图，则，解得；当直线l过点时，如图，∴直线l解析式为，即，∵直线与三角形有交点，∴或．故答案为：或4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为4，点C的坐标为，将直线向下平移m个单位长度后，与正方形有且只有一个交点，则m的值为．【答案】或【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形、一次函数图象的平移、勾股定理等，求得点B和D的坐标是解答的关键．过B作轴于H，根据正方形的性质和坐标与图形求得，再证明得到，，则，，根据题意得到平移后的解析式为，由图知，当平移后的直线经过点D和点B时，与正方形有且只有一个交点，分别将点B、D坐标代入求得m值即可求解．【详解】解：过B作轴于H，∵正方形的面积为4，点C的坐标为，∴，，，∴，则，∵，∴，又，，∴，∴，，则，∴，由题意，直线向下平移m个单位长度后的解析式为，如图，当平移后的直线经过点D和点B时，与正方形有且只有一个交点，将代入中，得；将代入中，得，综上，满足条件的m值为或．5．如图，在四边形中，，，，，连接．点从点出发，以每秒一个单位的速度沿折线运动，到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为．(1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出关于函数的一条性质_____；(3)若该函数图象与直线恰好有一个交点，则常数的取值范围是____．【答案】(1)(2)图象见解析，函数有最大值为12(3)或【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象，一次函数的性质，三角形的面积公式，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．（1）过点D作于点E，证明四边形是矩形，得由勾股定理求出得，过点A作于点F，由面积法求出，当时，当时，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）函数图形如图所示，根据函数图形即可得到结论；（3）把和分别代入，求出k的值即可得出结论．【详解】（1）解：过点D作于点E，如图，∵,∴∴∵，∴四边形是矩形，∵，∴,∴；当点P在上运动时，即，此时，，∴的面积；当点P在上运动时，即，此时，，过点A作于点F，∴，∴，∴；综上，；（2）解：函数图形如图所示；性质：函数有最大值为12；（3）解：把代入，得，解得，；把代入，得，解得，，所以，函数图象与直线恰好有一个交点，则常数的取值范围是或，故答案为：或．6．探索函数的图象与性质需要经历“列表、描点、连线”后，根据函数图象来归纳其性质．下面运用这样的方法探索的性质．(1)完成下面列表：其中________，________；…………根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线；(2)结合函数图象，下列说法正确的是：________函数图象有对称轴；当时，函数存在最大值，最大值为；随增大而减小．(3)若直线与该函数图象始终有两个交点，的取值范围是________．【答案】(1)，；画图见解析；(2)；(3)．【分析】（）根据，把的值代入即可求解；根据画函数图象的方法即可求解；（）根据函数图象性质即可求解（）当直线经过点，即一个交点时，当直线与平行时，分别求出的值，然后函数图象即可求出取值范围；本题考查了一次函数的性质，画函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：当，∴；当，∴，故答案为：，；如图，（2）解：通过图象可知，函数图象有对称轴，故正确；当时，函数存在最大值，最大值为，故正确；当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，故错误；故答案为：；（3）解：若直线经过点时，，∴，当直线与平行时，，∴直线与该函数图象始终有两个交点，的取值范围是，故答案为：．类型六、一次函数的中的翻折1．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且点恰好是直线与轴，轴的交点，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在长方形对角线上的点处，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作轴于点，首先确定点，坐标，利用勾股定理解得的值，由折叠的性质可得，，，，即，进而可得，设，则，在中，利用勾股定理解得，易知，，利用面积法解得，即，将代入直线，解得的值，即可获得答案．【详解】解：如下图，过点作轴于点，对于直线，令，可得，令，可得，解得，即，，∴，，∴，由折叠的性质可得，，，，即，∴，设，则，在中，可得，∴，解得，∴，，∵，即，解得，即，将代入直线，可得，解得，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用、折叠的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．2．如图，直线分别与x，y轴交于点A，B，点C在线段上，将沿翻折，点O恰好落在边上的点D处．则点C的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、翻折变换（折叠问题）、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法，求出的长是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，利用勾股定理可求出的长，由折叠的性质，可知，再利用面积法，可求出的长，结合点C所在的位置，即可得出点C的坐标．【详解】解：当时，，∴点B的坐标为，；当时，，解得：，∴点A的坐标为，∴，．由折叠的性质，可知：．，，，∴点C的坐标为．故选：A．3．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为．【答案】5【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键．由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即可求解．【详解】解：对于直线，令，则，解得：，∴，∴．令，则，∴，∴，∴．由折叠可知，，，∴．设，则，∵在中，，∴，解得：，∴，∴．故答案为：5．4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是x轴上的一个动点，将直线沿直线翻折，当点A的对应点D恰好落在y轴上时，点C的横坐标为．【答案】或【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键．分两种情况讨论：先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解．【详解】解：，当时，；当时，；A-4,0，，，，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上正半轴点D处，如图，连接，，，，在中，，即：，，点在轴的负半轴上，．将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上负半轴点D处，如图，连接，同理可得：，，∴，，∴，∴，∴，综上：或．故答案为：或．5．如图，直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．

(1)求直线的函数表达式；(2)在x轴上方是否存在点D，使以点，，为顶点的三角形与全等，若存在画出，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点P是y轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点B的对应点′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线的函数表达式．【答案】(1)(2)或．(3)或【分析】（1）将点代入解析式得出，继而得出点的坐标为，，根据得出，即点的坐标为，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）分在轴上方：和如图两种情况，根据特殊角的关系和全等三角形的性质即可求解．（3）由折叠性质可知，，，，继而利用勾股定理求出点P坐标，再利用待定系数法求出解析式．【详解】（1）解：∵直线：过点，，．当时，，点的坐标为，即．，．点在轴正半轴，点的坐标为．设直线的解析式为，将、代入，得：，解得：，直线的函数表达式为．（2），，．在x轴上方使以点，，为顶点的三角形与全等，有和如图两种情况：如图①：①当时，

，，，，点的坐标为，②当时，，，点的坐标为；综上所述，点的坐标为或．（3）如图2，连接，将沿直线翻折，当点B的对应点′恰好落在x轴上时，

由折叠性质可知，，，∴设，则，∴，解得：，∴点P坐标为，设直线CP的函数表达式为，得：将、代入，得：，解得：，直线的函数表达式为．如图当点P在x轴下方时，设，则，由折叠性质可知，，∴∴，解得：，∴点P坐标为，同理可得直线的函数表达式为；综上所述，直线的函数表达式为或．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．6．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F．(1)直线的函数表达式．(2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标．(3)若为直角三角形，求点D的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点A作轴于M，轴于N，则，由折叠得，利用勾股定理列得，代入计算即可得到的长，由此得到答案；（3）分两种情况：①当时，过A作轴于G，得到，从而得到答案；当时，由折叠得，，设，则，利用勾股定理得到，求出m，再求OD即可得到答案．【详解】（1）解：将代入直线中，解得，∴直线AB的解析式为，将点A的坐标代入，得，∴，将点A的坐标代入直线中，解得，∴直线的解析式为：（2）（3）过点A作轴于M，轴于N，则，由折叠得，∴，∴，解得（负值已舍去），又E在y轴负半轴，∴；（3）分两种情况：①当时，如图，由折叠得，，过A作AG⊥x轴于G，，，，∴；②当时，如图，由折叠得，，∴，由A、B两点坐标可得：，设，则，∴，∴，解得，∴，∴，综上，或．【点睛】此题考查一次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．类型七、一次函数中的旋转1．已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段AB于点．若与的面积相等，求点的坐标为（

）A． B． C．0,3 D．0,2【答案】A【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，先求出直线的解析式，推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线的解析式，求出E的横坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点D的坐标．【详解】解：∵，，∴，，．设直线的解析式为．∴解得∴直线的解析式为；∵，∴，即，∵点E在线段上，∴点E在第一象限，且，∴∴把代入直线的解析式得：

∴设直线的解析式是：，∵代入得：解得：

∴直线的解析式为令x=0，则∴D的坐标为故选A．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线绕点B按顺时针方向旋转，交x轴于点C，则的面积是（

）A．22 B．20 C．18 D．16【答案】B【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，求得，求得直线的函数表达式，据此求解可得到结论．【详解】解：∵一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，∴令，得，令，则，∴，，∴，过A作交于F，过F作轴于E，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设直线的函数表达式为：，∴，解得，∴直线的函数表达式为：，∴，∴，∴的面积是，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，现将直线绕点顺时针方向旋转45°交轴于点，则直线的函数表达式是．【答案】【分析】过点C作交AB于点F，根据旋转可得△FCA是等腰直角三角形，得到FC=AF，设C点的坐标为，根据A，B的坐标可求出AB所在直线的解析式为，根据直线垂直的特点可以求出FC所在的直线解析式为，联立可得F的坐标为，根据勾股定理可得出FC和AF的值，然后联立式子可求出C点的坐标，进而求的解析式．【详解】过点C作交AB于点F．设直线AB所在的直线解析式为，由题可知，，得设直线CF所在直线的解析式为，∵直线AB与直线CF垂直∴∴∴联立方程组得解得∴F，根据题意可得又∵∴△FCA是等腰直角三角形∴FC=FA得到整理可得得到解方程可得:（舍去）所以得到C点的坐标为设AC所在直线的解析式为把A，C代入可得∴直线AC的函数表达式为故答案为【点睛】本题主要考查了一次函数图像变换问题，准确利用旋转角度构造直角三角形是解题的关键，结合直角三角形的性质和勾股定理求长度的知识点进行求解．4．已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是．【答案】【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，把点的坐标分别代入求出k的值即可得到答案．【详解】解：把代入直线得，，把代入直线得，，解得∴的取值范围是，故答案为：5．问题提出：如图，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：；问题探究：如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角，，求点C的坐标；问题解决：古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．【答案】问题提出：见解析；问题探究：；问题解决：直线，直线【分析】问题提出：利用同角的余角相等和AAS证明即可；问题探究：先求出的坐标，过点作轴，交轴与点，证明，即可得解；问题解决：求出点坐标和直线的解析式，延长交轴与点，延长至点，使，设，过点分别作轴，得到，表示出的坐标，利用的中点在直线上，求出的坐标，再用待定系数法求解析式即可．【详解】问题提出：证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴（AAS）；问题探究：解：，当时：；当时：；∴，，∴，过点作轴，交轴与点，同上法可证：（AAS），∴，∴，∴；问题解决：解：由题意得：，∵射线AB与直线平行，设直线的解析式为：，则：，解得：；∴；延长交轴与点，延长至点，使，设，过点分别作轴，由问题提出可知：（AAS），∴，∴，∴的中点坐标为：，由题意可知在直线AB上，∴，解得：，∴，，设的解析式为：，则：，解得：，∴；设的解析式为：，则：，解得：，∴；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及一次函数与几何的综合应用．根据问题提出，理解并掌握一线三直角的全等模型，然后通过构建全等模型探究和解决问题是解题的关键．6．（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．求证：．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，求点M的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．【答案】（1）见详解；（2）点M的坐标为（1，3）；（3）R（，0）【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，判断出MF=NG，OF=MG，设M（m，n）列方程组求解，即可得出结论；（3）过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=5，SH=OQ=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，∴∠ACB＝∠ADC．∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC．∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°，∴由（1）得△OFM≌△MGN，∴MF＝NG，OF＝MG，设M（m，n），∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，NG＝m，∵点N的坐标为（4，2）

∴解得∴点M的坐标为（1，3）；（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4，∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°＝∠QPS．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP．∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1．∴S（5，1），设直线PR为y＝kx+b，则，解得．∴直线PR为y＝x+4．由y＝0得，x＝，∴R（，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．类型八、无理数中的估算、整数与小数部分1．估计的值应在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】B【分析】根据利用夹逼法得到取值范围，即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，∵，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查根数的估算，解题的关键是将原来的根数变形．2．估算的结果在（

）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【答案】C【分析】先确定，再根据不等式的性质得到即可得到答案．【详解】∵16<19<25，∴，∴．故选：C．【点睛】此题考查算术平方根的取值范围，不等式的性质，正确掌握算术平方根的取值范围的计算方法是解题的关键．3．已知，若是整数，则＝．【答案】-1，2，-2.【分析】根据题意可知m是整数，然后求出m的范围即可得出m的具体数值，然后根据是整数即可求出答案．【详解】解：∵是整数，∴m是整数，∵，∴m2≤4，∴-2≤m≤2，∴m=-2，-1，0，1，2当m=±2或-1时，是整数，故答案为：-1，2，-2【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是根据条件求出m的范围，本题属于中等题型．4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是【答案】3【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案．【详解】解：由题意得，，，，介于整数和之间，，故答案为：3．5．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答：(1)的整数部分是______，小数部分是______；(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；(3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值．【答案】(1)(2)1(3)【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．（1）先用夹逼法估算，即可解答；（2）先用夹逼法估算和，得出和的值，即可解答；（3）先得出的取值范围，再得出的取值范围，进而得出和的值，即可解答．【详解】（1）解：∵，∴，即，∴的整数部分是4，小数部分是；故答案为：；（2）解：，，，∵的小数部分为的整数部分为，，．（3）解：∵，∴，即，，∵是整数部分，是小数部分，，．6．阅读材料，完成下列任务：材料一；材料二：我们可以用以下方法表示无理数的小数部分．我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）．∵，∴，即，∴的整数部分为2，∴的小数部分为．∵面积为107的正方形的边长是，且．∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得．解得．∴．任务：(1)利用材料一中的方法，的小数部分是；(2)x是的小数部分，y是的小数部分，则的值是多少？(3)利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查估算无理数的大小，实数的运算．（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到，确定、的值，再代入计算即可；（3）按照材料二所提供的方法进行解答即可．【详解】（1）解：，，即，的整数部分为5，的小数部分为，故答案为：；（2）解：，，的整数部分是1，小数部分为，即，，，，的整数部分是1，小数部分为，即，，即；（3）解：面积为127的正方形的边长是，且．设，其中，画出边长为的正方形，如图所示：根据图中面积，得，当较小时，忽略，得，解得，，即．类型九、一次函数中的等腰、直角三角形求t1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B-2,0，的面积为2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，动点Q从O出发，沿x轴的正半轴于点P同时以相同的速度运动，过P作轴交直线于M．(1)求直线的解析式．(2)当点P在线段上运动时，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）．(3)过点Q作轴交直线于N，在运动过程中（P不与B重合），是否存在某一时刻t（秒），使是等腰三角形？若存在，求出时间t值．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）根据三角形的面积公式求出，确定A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）由等腰直角三角形的性质可得，再表示出，然后利用直角三角形的面积公式解答即可；（3）由题意可以确定t秒时，点M、N、Q的坐标分别为、、，再分别求出，最后分三种情况列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵B-∴，∴，则，∴点将点、B-2,0的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，∴直线的表达式为：；（2）解：∵v，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴为等腰直角三角形，∴，∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，时间为t，∴，∴，∴；（3）解：存在，理由：∵轴，，∴也为等腰直角三角形，∴，t秒时，点M、N、Q的坐标分别为、、，则：，，当时，即：，（负值已舍去），当时，同理可得：（负值已舍去），当时，同理可得：（舍去），故：当是等腰三角形时，或．【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的定义，两点之间距离公式，利用平方根解方程，解题的关键在于（3）对的三边情况分情况讨论．2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B的坐标为，点C的坐标为．点A在x轴的负半轴上，连接，三角形的面积为5．(1)求点A的坐标；(2)动点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动，设点P的运动时间为t，连接，三角形的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；(3)在（2）的条件下，t为何值时，把三角形的面积分成两部分？【答案】(1)(2)(3)1或1.5【分析】本题考查一次函数的几何应用、坐标与图形、三角形的面积，数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．（1）设点A坐标为，利用坐标与图形性质求解即可；（2）分当点P在上运动时和当点P在射线上运动时两种情况，利用三角形的面积求解关系式即可；（3）分当点P在上运动时和当点P在线段上运动时，利用面积关系求解t值即可．【详解】（1）解：设点A坐标为，由题意可知：，，，∴，解得，∵点A在x轴的负半轴上，，点A坐标为；（2）解：当点P在上运动时，即，由题意可知，，，∴，当点P在射线上运动时，即，由题意可知，，，∴，综上所述，．（3）解：当点P在上运动时，由题意可知，，，当时，即，解得：，当时，即，解得：，∵，，∴当点P在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分，综上所述，或．3．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，交轴于点．(1)求点A、点的坐标及的面积；(2)线段上存在一动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向A运动，设点运动时间为秒，连接，当为何值时平分；【答案】(1)(2)当时，平分【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，角平分线的定义，勾股定理等,（1）根据一次函数的解析式可直接求出点A和点B的坐标，根据三角形的面积公式进行计算即可；（2）连接，作，根据角平分线定理可以得到，利用勾股定理求出，利用可以求出，即可求得答案．【详解】（1）解：在中，令，则；令，则，，；即，，；（2）解：如图所示，作，，，，，；平分，，，，，，，，即，；当时，平分．4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．(1)求m和b的值；(2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；②当为等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】(1)(2)①；②t的值为，，，【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．（1）将点代入，求出的值，再代入中求出即可；（2）①利用面积公式列出方程进行求解即可；②三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可．【详解】（1）解：在中，当时，；当时，；∴；∵点在直线上，，又∵点也在直线上，，解得：；（2）解：①在中，当时，，，，，，，设，则，过C作于E，如图1所示：则，∵的面积为10，，解得：；②存在，理由如下：过作于，如图1所示：则，，；当时，，，；当时，如图2所示：则，，或；当时，如图3所示：设，则，，解得：，∴与重合，，，；综上，的值为或或或．5．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，平移时交线段于点，交线段于点，当点与点重合时结束运动，设运动时间为．(1)求出直线的关系式；(2)当时，是直线上一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标；(3)如图2，在直线运动过程中，过点作轴交于点，连接，当为等腰三角形时，求的值．【答案】(1)(2)或(3)或或2【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的图象与性质，用待定系数法求一次函数的解析式，用面积等式列方程求值，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．（1）把，代入计算即可求解析式；（2）由三角形的面积关系可求点的坐标；（3）先求出直线的解析式为，，即可得到，，，再求出，，，最后由为等腰三角形分情况讨论分别列方程求解即可．【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，，，；（2）解：当时，直线的函数关系式为，点，点，设点，点，与轴交于点，，，，∴，，，的面积等于的面积，当在轴左边时，，则，解得，此时；当在轴右边时，，则，解得，此时；综上所述，或；（3）解：∵直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，平移时交线段于点，交线段于点，当点与点重合时结束运动，设运动时间为∴直线的解析式为，，∴，，∵过点作轴交于点，∴令，解得，∴，∴，，，∵为等腰三角形∴当时，，即，解得；当时，，即，解得；当时，，即，解得或（舍去）；综上所述，或或2．6．如图1，平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴正半轴于点B．(1)求的面积；(2)如图2，直线交y轴负半轴于点C，，P为射线（不含A点）上一点，过点P作y轴的平行线交射线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6(2)(3)或或或【分析】（1）由于交x轴于点，求出m的值，可得出，，，根据可得，，则可得出答案；（2）设点，求出直线解析式为，由于P在直线上，可得；（3）根据是等腰直角三角形，设，结合（2）列出方程即可求出点N的坐标．【详解】（1）解：把代入得：，一次函数解析式为，令，得，，在中，，，，，的面积；（2）解：①设，为射线上一点，，设直线的解析式为，代入，得，，，又轴，则，，；（3）解：设，过点N作于点M，是等腰直角三角形，轴，点N在y轴上，当N为直角顶点时，，，，，，，，或，或，或，当P为直角顶点时，，，，解得，，当Q为直角顶点时，，，，解得，，，综上所述：或或或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握坐标与图形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．类型十、一次函数中的新定义1．平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点B为点A的可变点．例如：对于点，因为，所以，即点的可变点的坐标是；(1)点的可变点的坐标是________；点的可变点的坐标是________；(2)点，中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是________；（填“A”或“B”）(3)若点A在函数的图象上，求其可变点B的纵坐标的取值范围；(4)若点A在函数的图象上，其可变点B的纵坐标的取值范围是，直接写出a的取值范围【答案】(1)，(2)A(3)或(4)【分析】本题考查坐标与图象，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键：（1）根据可变点的定义，进行求解即可；（2）求出可变点，代入函数解析式，进行判断即可；（3）求出，，的函数值，根据可变点的定义求出的范围即可；（4）易得点在函数上，得到当当时，有最大值为：，求出时，的值，即可得出的范围．【详解】（1）解：∵，∴点的可变点的坐标是；∵，∴点的可变点的坐标是；故答案为：，；（2）解：由题意，点，的可变点分别为：，对于函数，当时，，当时，，即：点在函数的图象上，∴点的可变点在函数的图象上；故答案为：A；（3）解：∵点在上，∴当时，，当时，，当时，，设，由题意，得：当时，，∴，当时，，∴；综上：或；（4）解：由题意可知，点在函数上，∴当时，有最大值为：，∵，当时，，解得：或，解得：，∴当时，可变点B的纵坐标的取值范围是．2．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”．(1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为0,3，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____；(2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围．【答案】(1)，(2)，过程见解析【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义题型，读懂题意结合所学知识是解本题的关键．（1）由点可得，，再根据题意将点到矩形的最短距离算出来，若大小等于，则符合题意，即可求解；（2）先求出正方形上任意两点之间的最大距离为，再根据直线在坐标轴内平移，找出直线上关联点到正方形距离等于时的临界点时的值即可求出答案．【详解】（1）解：由题意得，，，，到矩形的最小距离为：，，不符合题意；到矩形的最小距离为：，符合题意；到矩形的最小距离为：，，不符合题意；到矩形的最小距离为：，符合题意，故是矩形的“关联点”，故答案为，；（2）根据题意可得，正方形上任意两点之间的最大距离为，根据题意画出临界点如图所示：当直线经过点时，为最大值，当直线经过时，为最小值，，当直线经过点时，，解得，当直线经过时，，解得，所以取值范围为：．3．在平面直角坐标系中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点互为“等距点”，如图中的、两点即互为“等距点”，已知点A的坐标为，利用平面直角坐标系解决以下问题：(1)①在点、、中，点A的“等距点”是点______；②若点E在x轴正半轴上，且A、E两点互为“等距点”，则点E的坐标为______．(2)若过点的直线l上有且只有一个点是点A的“等距点”，求直线l的表达式．(3)若直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，线段上始终存在点A的“等距点”，则m的取值范围是______直接写出结果【答案】(1)①B；②；(2)或(3)或【分析】本题考查坐标系中新定义的问题，熟练掌握坐标系的性质和理解题意是解题的关键．（1）①根据题中“等距点”的定义即可判断，从而得到答案；②根据“等距点”的定义和x轴正半轴上点的特征即可得到答案．（2）根据点坐标和“等距点”的定义，可得到点A的“等距点”在位于图中的正方形四边上，所以①当直线过、时满足要求，设直线解析式为，求出可得直线的解析式；②当直线过、时满足要求，列出方程即可求得直线解析式．（3）根据线段上始终存在点的“等距点”，可得线段所在直线与图中的正方形的边有交点．将直线左右平移，画出图形，观察图形得：直线位于直线a和直线b之间时，或位于直线c和直线d之间时，直线与x轴、y轴的交点形成的线段与正方形有交点．设直线a：过，可得到a的值，即可得到直线a的解析式，设直线b：过，求出b的值，即可得到直线b的解析式，从而得到的取值范围；设直线c：过，求出c的值，即可得到直线c的解析式，设直线d：过，求出d的值，即可得到直线d的解析式，从而得到的取值范围．【详解】（1）解