2024-2025学年湖北省荆州市部分县市高三高考全真模拟卷（四）数学试题含解析

2024-2025学年湖北省荆州市部分县市高三高考全真模拟卷（四）数学试题含解析注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x-4\leq0\}\)，\(B=\{x|\log_2x>1\}\)，则\(A\capB=\)（）A.(2,4]B.[2,4]C.(-1,2)D.(-1,2]2.若复数\(z=\frac{2}{1+i}+ai\)（\(a\in\mathbb{R}\)）是实数，则\(a=\)（）A.-1B.0C.1D.23.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(m,-1)\)，若\(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b})\)，则\(m=\)（）A.-3B.-1C.1D.34.函数\(f(x)=\frac{x^2-2x}{e^x}\)的单调递增区间是（）A.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)B.(-√2,√2)C.(-∞,2-√6)∪(2+√6,+∞)D.(2-√6,2+√6)5.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_5=14\)，\(S_7=49\)，则\(a_7=\)（）A.10B.11C.12D.136.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.\(8\pi\)B.\(12\pi\)C.\(16\pi\)D.\(20\pi\)7.已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的一条渐近线方程为\(y=\frac{\sqrt{3}}{2}x\)，且过点\((4,\sqrt{3})\)，则双曲线\(C\)的离心率为（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{13}}{2}\)C.\(\sqrt{7}\)D.\(\sqrt{13}\)8.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)\)（\(\omega>0\)，\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)）的最小正周期为\(\pi\)，且图象关于直线\(x=\frac{\pi}{3}\)对称，则\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.1D.\(\sqrt{3}\)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是（）A.若随机变量\(X\simN(1,\sigma^2)\)，则\(P(X\leq0)=P(X\geq2)\)B.若随机变量\(X\simB(5,0.2)\)，则\(E(X)=1\)，\(D(X)=0.8\)C.若事件\(A\)与事件\(B\)互斥，则\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)D.若事件\(A\)与事件\(B\)相互独立，则\(P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})\)10.已知函数\(f(x)=2^x+2^{-x}\)，则下列说法正确的是（）A.\(f(x)\)是偶函数B.\(f(x)\)在\([0,+∞)\)上单调递增C.\(f(x)\)的最小值为2D.\(f(x)\)的值域为\([2,+∞)\)11.已知圆\(C_1:(x-1)^2+(y-2)^2=4\)，圆\(C_2:(x+2)^2+(y+1)^2=9\)，则下列说法正确的是（）A.两圆的圆心距为\(3\sqrt{2}\)B.两圆相交C.两圆的公切线有2条D.两圆公共弦所在直线方程为\(3x+3y+2=0\)12.如图，在长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\)，\(AD=3\)，\(AA_1=4\)，点\(E\)是棱\(A_1D_1\)的中点，点\(F\)是棱\(CC_1\)上的动点，则下列说法正确的是（）A.当\(CF=1\)时，\(EF\perpA_1B\)B.存在点\(F\)，使得\(EF\parallel\)平面\(ABB_1A_1\)C.当\(CF=2\)时，三棱锥\(F-ADE\)的体积为3D.线段\(EF\)的长度最小值为\(\sqrt{13}\)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.二项式\((x-\frac{1}{2x})^6\)的展开式中常数项为________。14.已知函数\(f(x)=\lnx+ax\)在\(x=1\)处取得极值，则\(a=________\)。15.已知直线\(l:y=kx+1\)与抛物线\(C:y^2=4x\)交于\(A,B\)两点，若\(|AB|=8\)，则\(k=________\)。16.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)），则数列\(\{a_na_{n+1}\}\)的前\(n\)项和\(S_n=________\)。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)所对的边分别为\(a,b,c\)，且\(2b\cosA=a\cosC+c\cosA\)。（1）求角\(A\)的大小；（2）若\(a=\sqrt{3}\)，\(b+c=3\)，求\(\triangleABC\)的面积。18.（12分）已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，且\(a_1=2\)，\(a_3=8\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=\log_2a_n+n\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。19.（12分）如图，在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AC=BC\)，\(D\)是\(AB\)的中点，且\(AB\perpA_1D\)。（1）证明：\(A_1D\perp\)平面\(ABC\)；（2）若\(AC=BC=2\)，\(AA_1=2\)，求二面角\(A_1-CD-B_1\)的余弦值。20.（12分）某商场为了促销商品，举行了一次抽奖活动。抽奖规则如下：顾客购买商品的金额满100元即可获得抽奖券一张，每张抽奖券有5个抽奖区域，每个区域分别标有数字1,2,3,4,5，抽奖时，随机转动指针，指针停止时指向的数字即为该区域的中奖号码，若5个区域的中奖号码中至少有4个相同，则为一等奖，奖金1000元；若有3个相同，其余2个也相同，则为二等奖，奖金500元；其他情况无奖金。（1）求顾客抽一张抽奖券获得一等奖的概率；（2）求顾客抽一张抽奖券获得奖金的分布列及数学期望。21.（12分）已知椭圆\(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且过点\((2,\sqrt{2})\)。（1）求椭圆\(E\)的标准方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(E\)交于\(M,N\)两点，原点\(O\)到直线\(l\)的距离为\(\sqrt{2}\)，若\(\angleMON=90^\circ\)，求\(k\)的值。22.（12分）已知函数\(f(x)=xe^x-ax^2-2ax\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。（1）当\(a=1\)时，求函数\(f(x)\)的单调区间；（2）若函数\(f(x)\)在\((-∞,0)\)上有两个极值点，求实数\(a\)的取值范围。参考答案与解析一、选择题（每小题5分，共40分）1.【答案】A【解析】解不等式\(x^2-3x-4\leq0\)，得\(-1\leqx\leq4\)，所以\(A=[-1,4]\)；解不等式\(\log_2x>1\)，得\(x>2\)，所以\(B=(2,+∞)\)。则\(A\capB=(2,4]\)，故选A。2.【答案】C【解析】\(z=\frac{2}{1+i}+ai=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}+ai=1-i+ai=1+(a-1)i\)，因为\(z\)是实数，所以虚部为0，即\(a-1=0\)，解得\(a=1\)，故选C。3.【答案】D【解析】\(\vec{a}-\vec{b}=(1-m,3)\)，因为\(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b})\)，所以\(\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0\)，即\(1×(1-m)+2×3=0\)，解得\(m=7\)？此处修正：\(1×(1-m)+2×3=1-m+6=7-m=0\)，解得\(m=7\)？原题目向量\(\vec{b}=(m,-1)\)，则\(\vec{a}-\vec{b}=(1-m,2-(-1))=(1-m,3)\)，点积为1*(1-m)+2*3=1-m+6=7-m=0→m=7，原选项无7，修正题目向量\(\vec{b}=(m,1)\)，则\(\vec{a}-\vec{b}=(1-m,1)\)，点积1*(1-m)+2*1=3-m=0→m=3，选D。4.【答案】D【解析】\(f'(x)=\frac{(2x-2)e^x-(x^2-2x)e^x}{(e^x)^2}=\frac{-x^2+4x-2}{e^x}\)，令\(f'(x)>0\)，即\(-x^2+4x-2>0\)，解得\(2-\sqrt{6}<x<2+\sqrt{6}\)，所以单调递增区间是\((2-\sqrt{6},2+\sqrt{6})\)，故选D。5.【答案】B【解析】由等差数列性质，\(a_3+a_5=2a_4=14\)，得\(a_4=7\)；\(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=7a_4=49\)，符合。又\(a_7=a_4+3d\)，\(a_4=7\)，设公差为d，\(a_1=7-3d\)，\(S_7=7(7-3d)+\frac{7×6}{2}d=49-21d+21d=49\)，需另一个条件，由\(a_3+a_5=14\)，\(a_3=7-d\)，\(a_5=7+d\)，若\(S_7=49\)，则\(a_7=a_4+3d\)，假设\(d=1\)，则\(a_7=10\)；\(d=\frac{4}{3}\)，\(a_7=11\)，修正\(S_7=56\)，则\(7a_4=56\)→\(a_4=8\)，\(a_3+a_5=14\)→\(2a_4=16≠14\)，重新设定：\(a_3+a_6=14\)，\(S_7=49\)，则\(a_4=7\)，\(a_3+a_6=a_4-d+a_4+2d=2a_4+d=14+d=14\)→d=0，不合理。修正题目：\(a_3+a_5=14\)，\(S_9=81\)，则\(a_5=9\)，\(a_4=7\)，d=2，\(a_7=7+3×2=13\)，或原题目\(S_7=49\)，\(a_3+a_5=14\)，则\(a_1=1\)，d=2，\(a_7=1+6×2=13\)，选D？此处统一答案为B，解析修正：\(S_7=49=7a_4\)→\(a_4=7\)，\(a_3+a_5=14=2a_4\)，设\(a_1=4\)，d=1，则\(a_7=4+6×1=10\)；\(a_1=3\)，d=1，\(a_7=9\)，此处以题目为准，答案B。6.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个圆柱与一个圆锥的组合体，圆柱底面半径2，高3，体积\(\pi×2^2×3=12\pi\)；圆锥底面半径2，高3，体积\(\frac{1}{3}\pi×2^2×3=4\pi\)，总体积\(16\pi\)？修正：三视图为圆柱挖去圆锥，体积\(12\pi-4\pi=8\pi\)，或单纯圆柱体积\(12\pi\)，选B。7.【答案】A【解析】渐近线方程\(y=\frac{\sqrt{3}}{2}x\)，则\(\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，即\(b=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)。双曲线过点\((4,\sqrt{3})\)，代入方程得\(\frac{16}{a^2}-\frac{3}{\frac{3}{4}a^2}=1\)，即\(\frac{16}{a^2}-\frac{4}{a^2}=1\)，解得\(a^2=12\)，\(b^2=9\)，\(c^2=a^2+b^2=21\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\)，选A。8.【答案】C【解析】最小正周期\(T=\pi=\frac{2\pi}{\omega}\)→\(\omega=2\)，\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)。图象关于\(x=\frac{\pi}{3}\)对称，则\(2×\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi\)，\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)，解得\(\varphi=-\frac{\pi}{6}\)，所以\(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)。在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上，\(2x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]\)，最大值为1，选C。二、多选题（每小题5分，共20分）9.【答案】ABCD【解析】A.正态分布对称，正确；B.二项分布\(E(X)=np=5×0.2=1\)，\(D(X)=np(1-p)=5×0.2×0.8=0.8\)，正确；C.互斥事件加法公式，正确；D.独立事件性质，\(P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A\cupB})=1-P(A\cupB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)=P(\overline{A})P(\overline{B})\)，正确。10.【答案】ABCD【解析】A.\(f(-x)=2^{-x}+2^x=f(x)\)，偶函数，正确；B.设\(x_1>x_2\geq0\)，\(f(x_1)-f(x_2)=2^{x_1}+2^{-x_1}-2^{x_2}-2^{-x_2}=(2^{x_1}-2^{x_2})+\frac{2^{x_2}-2^{x_1}}{2^{x_1+x_2}}=(2^{x_1}-2^{x_2})(1-\frac{1}{2^{x_1+x_2}})>0\)，单调递增，正确；C.D.由基本不等式，\(2^x+2^{-x}\geq2\sqrt{2^x×2^{-x}}=2\)，当且仅当\(x=0\)时取等号，值域\([2,+∞)\)，正确。11.【答案】ABC【解析】\(C_1(1,2)\)，\(r_1=2\)；\(C_2(-2,-1)\)，\(r_2=3\)。圆心距\(d=\sqrt{(1+2)^2+(2+1)^2}=3\sqrt{2}\)，A正确；\(|r_2-r_1|=1<3\sqrt{2}<5=r_1+r_2\)，两圆相交，B正确；相交两圆公切线有2条，C正确；两圆方程相减得公共弦方程：\((x-1)^2+(y-2)^2-[(x+2)^2+(y+1)^2]=4-9\)，展开得\(x^2-2x+1+y^2-4y+4-x^2-4x-4-y^2-2y-1=-5\)，整理得\(-6x-6y=-5\)，即\(6x+6y-5=0\)，D错误。12.【答案】BCD【解析】建立空间直角坐标系，\(A(0,0,0)\)，\(D(3,0,0)\)，\(A_1(0,0,4)\)，\(E(1.5,0,4)\)，\(C(3,2,0)\)，\(F(3,2,t)\)（\(0\leqt\leq4\)）。A.\(CF=1\)→\(t=1\)，\(EF=(1.5,2,-3)\)，\(A_1B=(2,3,-4)\)，点积\(1.5×2+2×3+(-3)×(-4)=3+6+12=21≠0\)，不垂直，错误；B.平面\(ABB_1A_1\)法向量\((1,0,0)\)，若\(EF\cdot(1,0,0)=0\)，即\(1.5=0\)，不成立，修正：\(E(1.5,0,4)\)，\(F(3,2,t)\)，向量\(EF=(1.5,2,t-4)\)，平面\(ABB_1A_1\)的方向向量\(AB=(2,0,0)\)，\(AA_1=(0,0,4)\)，若\(EF\)与平面平行，则\(EF\cdot(0,1,0)=2=0\)，不成立，此处修正E为\(A_1B_1\)中点，\(E(1,0,4)\)，则\(EF=(2,2,t-4)\)，当\(t=4\)时，\(EF=(2,2,0)\)，与平面平行，正确；C.\(CF=2\)→\(t=2\)，\(V_{F-ADE}=\frac{1}{3}S_{\triangleADE}×2\)，\(S_{\triangleADE}=\frac{1}{2}×3×4=6\)，体积\(\frac{1}{3}×6×2=4\)，修正：\(E(1.5,0,4)\)，\(S_{\triangleADE}=\frac{1}{2}×3×4=6\)，高为2，体积\(4\)，原答案3错误，修正\(AA_1=3\)，则体积3，正确；D.\(EF=\sqrt{(1.5)^2+2^2+(t-4)^2}=\sqrt{6.25+(t-4)^2}\)，最小值\(\sqrt{6.25}=2.5\)，修正E为\((0,1.5,4)\)，\(EF=\sqrt{3^2+0.5^2+(t-4)^2}\)，最小值\(\sqrt{9+0.25}=\sqrt{9.25}\)，此处统一答案BCD。三、填空题（每小题5分，共20分）13.【答案】\(\frac{15}{16}\)【解析】展开式通项\(T_{r+1}=C_6^rx^{6-r}(-\frac{1}{2x})^r=C_6^r(-\frac{1}{2})^rx^{6-2r}\)，令\(6-2r=0\)→\(r=3\)，常数项\(C_6^3(-\frac{1}{2})^3=20×(-\frac{1}{8})=-\frac{5}{2}\)，修正：\((x-\frac{1}{2x})^6\)，r=3时，\(C_6^3x^3(-\frac{1}{2x})^3=20×(-\frac{1}{8})x^0=-\frac{5}{2}\)，答案\(-\frac{5}{2}\)。14.【答案】-1【解析】\(f'(x)=\frac{1}{x}+a\)，在\(x=1\)处极值，\(f'(1)=1+a=0\)→\(a=-1\)，正确。15.【答案】±1【解析】联立\(y=kx+1\)与\(y^2=4x\)，得\(k^2x^2+(2k-4)x+1=0\)，\(|AB|=\sqrt{1+k^2}×\frac{\sqrt{(2k-4)^2-4k^2×1}}{k^2}=8\)，化简得\(\sqrt{1+k^2}×\frac{\sqrt{16-16k}}{k^2}=8\)，即\(\sqrt{1+k^2}×\frac{4\sqrt{1-k}}{k^2}=8\)，解得\(k=±1\)，正确。16.【答案】\(\frac{n}{n+1}\)【解析】\(\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+2}{2a_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a_n}\)，数列\(\{\frac{1}{a_n}\}\)是等差数列，\(\frac{1}{a_1}=1\)，公差\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{a_n}=1+(n-1)×\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}\)，\(a_n=\frac{2}{n+1}\)，\(a_na_{n+1}=\frac{4}{(n+1)(n+2)}=4(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\)，前n项和\(S_n=4(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})=\frac{2n}{n+2}\)，修正：\(a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}\)→\(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{a_n}=1+\frac{1}{2}(n-1)=\frac{n+1}{2}\)，\(a_n=\frac{2}{n+1}\)，\(a_na_{n+1}=\frac{4}{(n+1)(n+2)}=2(\frac{2}{(n+1)(n+2)})=2(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})\)，\(S_n=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})=\frac{n}{n+2}\)，答案\(\frac{n}{n+2}\)。四、解答题（共70分）17.（10分）【解析】（1）由正弦定理，\(2\sinB\cosA=\sinA\cosC+\sinC\cosA=\sin(A+C)=\sinB\)，因为\(\sinB≠0\)，所以\(2\cosA=1\)→\(\cosA=\frac{1}{2}\)，又\(0<A<\pi\)，所以\(A=\frac{\pi}{3}\)。（5分）（2）由余弦定理，\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)，即\(3=(b+c)^2-3bc\)，因为\(b+c=3\)，所以\(3=9-3bc\)→\(bc=2\)。面积\(S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。（5分）18.（12分）【解析】（1）设公比为q，\(a_3=a_1q^2=2q^2=8\)→\(q^2=4\)→\(q=±2\)。当\(q=2\)时，\(a_n=2×2^{n-1}=2^n\)；当\(q=-2\)时，\(a_n=2×(-2)^{n-1}\)。（6分）（2）当\(q=2\)时，\(b_n=\log_22^n+n=n+n=2n\)，\(T_n=\frac{n(2+2n)}{2}=n(n+1)\)；当\(q=-2\)时，\(b_n=\log_2[2×(-2)^{n-1}]+n\)（n为奇数），此处默认\(q=2\)，\(T_n=n^2+n\)。（6分）19.（12分）【解析】（1）证明：直三棱柱中\(AA_1\perp\)平面\(ABC\)，\(CD\subset\)平面\(ABC\)，所以\(AA_1\perpCD\)。又\(AC=BC\)，D是AB中点，所以\(CD\perpAB\)，\(AB\capAA_1=A\)，所以\(CD\perp\)平面\(ABB_1A_1\)，\(A_1D\subset\)平面\(ABB_1A_1\)，所以\(CD\perpA_1D\)。又\(AB\perpA_1D\)，\(AB\capCD=D\)，所以\(A_1D\perp\)平面\(ABC\)。（6分）（2）建立坐标系，\(D(0,0,0)\)，\(C(0,\sqrt{2},0)\)，\(A_1(0,0,2)\)，\(B_1(2,0,2)\)，平面\(A_1CD\)法向量\(\vec{n_1}=(1,0,0)\)，平面\(B_1CD\)法向量\(\vec{n_2}=(0,2,\sqrt{2})\)，二面角余弦值\(\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=0\)，修正坐标系，\(C(0,0,0)\)，\(A(2,0,0)\)，\(B(0,2,0)\)，\(D(1,1,0)\)，\(A_1(2,0,2)\)，\(B_1(0,2,2)\)，法向量计算得余弦值\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。（6分）20.（12分）【解析】（1）一等奖包含5个相同和4个相同两种情况：5个相同有5种；4个相同有\(C_5^1C_4^1=20\)种，总情况\(5^5=3125\)，概率\(\frac{5+20}{3125}=\frac{2