沪科版（2024）七年级上册数学第3章 一次方程与方程组 知识要点梳理

第第页沪科版（2024）七年级上册数学第3章一次方程与方程组知识要点梳理一从算式到方程1.方程含有未知数的等式叫作方程知识拓展方程与等式的区别和联系：方程一定是等式，并且是含有未知数的等式。等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数。简单来说：方程是特殊的等式。2.一元一次方程只含有一个未知数（未知数称为“元”），并且未知数的次数都是1的方程叫作一元一次方程.例3.1若(a−1)解析由一元一次方程的定义得a−1≠0答案-13.解方程与方程的解解方程就是求出使方程左右两边的值相等的未知数的值，这个值就是方程的解.只含有一个未知数的方程的解也叫作方程的根.关键提醒要检验一个数是不是方程的解，只需将这个数代入方程的左右两边，分别计算结果，如果左、右相等，则这个数就是此方程的解；如果左、右不相等，则这个数就不是此方程的解.例3.2已知3是关于x的方程2x−a=A.-5B.5C.7D.2解析将x=3代入方程得6答案B4.等式的基本性质等式的性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.即如果a=b等式的性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式.即如果a=b，那么ac=bc；如果关键提醒(1)用等式的性质2时，应特别注意等式两边不能同时除以0，因为0不能做除数或分母.等式的性质是解方程的依据，务必掌握.(2)等式除了具有上述两条性质外，还具有以下两条常用的性质：①对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a=b，那么b=a

②传递性：如果二解一元一次方程1.移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项2.一元一次方程的解法通过方程变形把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，将方程化为最简形式ax=b(a解一元一次方程的一般步骤见表3-1.表3-1变形名称具体做法变形依据去分母在方程的两边同乘以各分母的最小公倍数等式性质2去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律移项把含有未知数的项移到方程的一边，其余各项都移到方程的另一边(牢记移项变号)等式性质1合并同类项把方程化为ax=b(a≠0)的形式合并同类项法则系数化为1在方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a等式性质2关键提醒(1)上述五个解方程的步骤不一定全用到，要根据方程的具体情况选择适当的步骤来解题.

（2）对于求解的结果，一定要检验是否正确例3.3解方程：3x解去分母得：5去括号得：15x移项得：15x合并同类项得：7x系数化为1得：x三实际问题与一元一次方程1.列方程解应用题的一般步骤(1)审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系设：设未知数，设未知数可直接设，即求什么设什么，也可以间接设.

（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系

(4)列：根据这个等量关系列出方程

(5)解：解所列出的方程，求出未知数的值

（6）答：检验所求解是否符合题意，写出答案2.常见的应用问题(1)商品的营销问题.在商品买卖中经常涉及商品的利润、利润率、进价、售价、打折等问题，在解决此类问题时，我们常依据下列几个关系式：①商品利润=商品售价一商品进价

商品利润②商品进价=商品利润率

③标价=进价×（1+利润率）

④实际售价=标价×打折率例3.4某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%A.200元B.240元C.250元D.300元分析设这种商品每件的进价为x元，由题意得，330×0.8−答案B（2）等积变形问题.此类问题常见的有以下几种类型：①形状发生了变化，而体积没变，此时的等量关系为变化前后的体积相等.②形状、面积发生了变化，而周长没变，此时的等量关系为变化前后的周长相等.③形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系.

图3-1例3.5如图3-1所示，一个长方体容器里装有果汁，长方体的长为12cm，宽为8cm，高为的圆柱体玻璃杯倒满.已知杯子的内径为6cm,高为18cm,这时长方体容器内的果汁高度是多少?(π取3.14,结果精确到解析求出圆柱的体积，圆柱的体积即为长方体内果汁的体积，从而求出长方体容器内的果汁高度.解圆柱的体积为π×622×18答：这时长方体容器内的果汁高度是5.30（3）比例分配问题.此类问题的一般思路为：设其中的一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式.常用等量关系：各部分之和=总量例3.6三个正整数的比为1:解析根据比例关系设这三个数分别为x,解设这三个数为x则x+2x+答：这三个数中最大的数是48.（4）数字问题.要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c，则这个三位数可以表示为：100a+例3.7一个两位数，数字之和为11，如果原数加45得到的数和原数的两个数字交换位置后得到的数恰好相等，求原两位数。解析设原两位数的十位上的数字是x，则个位上的数为(11解设原两位数的十位上的数字是x，则个位上的数为(11−x)根据题意，得10x+(（5）行程问题.在行程问题中一般有三种情况：①相遇问题，其相等关系为：甲走的路程+乙走的路程=AB两地间的距离.②追及问题，其相等关系为：（快行速度一慢行速度）×追及时间=原相距距离.③航行问题，其相等关系为：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；逆流速度=船在静水中的速度一水流速度；顺流速度一逆流速度=例3.8甲、乙两人相距40km，甲先出发1.5h后乙再出发，甲在后，乙在前，两人同向而行，甲的速度是8km/h，乙的速度是解析根据题意找到等量关系：甲走的路程一乙走的路程=两人原来的距离如果设甲出发xh后追上乙，则乙运动的时间为(x−1.5)h

图3-2解设甲出发xh后追上乙，由题意，得8x−答：甲出发15.5h（6）工程问题.此类问题要搞清楚：①基本量、基本数量关系：工作量、工作效率、工作时间，把全部工作量看作1，工作量=工作效率×工作时间.②寻找思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系.例3.9整理一批图书，如果由一个人单独做要花60h.现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？解析根据等量关系：所求人数1h的工作量+所有人2h的工作量方程，把相关数值代入即可求解解设先安排整理的人员有x人，依题意得x60+2答：先安排整理的人员有10人.（7）图表信息类问题.解答这类问题的关键是对图表信息认真分析、合理利用，按照题意要求，准确地输出信息，结合所学知识，运用数学手段加以解决.例3.10某小区便利店老板到厂家购进A、B两种香油共140瓶，花去了1000元.其进价和售价见表3-2.表3-2香油种类进价/(元/瓶)售价/(元/瓶)A种香油6.58B种香油810（1）该店购进A、B两种香油各多少瓶？

(2)将购进的140瓶香油全部销售完，可获利多少元？解析(1)由表3-2可知，买A、B两种香油共140瓶，花去了1000元，据此列出等式即可得出答案.(2)根据图表得出每瓶的利润即可得出总的获利.解（1)设购进A种香油x瓶，则购进B种香油(140根据题意，得6.5x+8(140答：购进A、B两种香油分别为80瓶、60瓶（2）由题意得80(答：购进的140瓶香油全部销售完，可获利240元.方程组知识要点梳理一二元一次方程组1.二元一次方程(1)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫二元一次方程.

(2)一般形式：ax关键提醒二元一次方程需满足以下4个条件：①是方程；②含有2个未知数；③含未知数的式子是整式；④含未知数的项的最高次数是1.

(3)二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.关键提醒①任何一个二元一次方程的解都由两个未知数的值组成.

②任何一个二元一次方程的解都有无数组，所以二元一次方程也叫不定方程.2.二元一次方程组(1)二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.关键提醒检验一组x,y的值是不是二元一次方程组的解，必须将例8.1若x=1y=2是关于xA.-5B.-1C.2D.7解析将x=1,y=答案D消元法——二元一次方程组的解法1.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.

(2)将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.

(3)解这个一元一次方程，求出x（或y）的值

(4)将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.

(5)把求得的x,例8.2解二元一次方程组：x解x=3y−51,3y=8−2x2，把式①代入式②得3y2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数互为相反数或相等.(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.

(3)解这个一元一次方程

（4）将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中（技巧：选择系数较简单的方程计算），求出另一个未知数，从而得到方程组的解.

(5)把求得的x,例8.3解方程组：3x解方程组整理得3x−5y=33x−2y=6①，式②一式①得三实际问题与二元一次方程组列方程组解应用题的步骤(1)审题.弄清题目中所给出的相等关系及已知量、未知量

（2）设好未知数.其方法通常有两种：①设直接未知数.②设间接未知数，并用含未知数的代数式表示涉及的量.

(3)找出能够包含未知数的等量关系，一般情况下，设几个未知数，就需找几个等量关系.

(4)列方程组：根据给定的相等关系建立方程组，

(5)解方程组.

(6)检验并作答：所求方程组的解在正确的基础上还要符合实际意义，并写清单位名称或符号.例8.4为观看世界杯足球赛，小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元，其中小组赛球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，小李预订了小组赛和淘汰赛的球票各多少张？解设小李预订了小组赛和淘汰赛的球票各x张，y张，由题意得x解得x答：小李预订了小组赛和淘汰赛的球票各8张、2张四三元一次方程组的解法1.三元一次方程组含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.2.解三元一次方程组的一般步骤(1)把方程组里的一个方程分别与另外两个方程组成两组，用代