湖南省长沙市雨花区南雅中学2026届高二数学第一学期期末调研试题含解析

湖南省长沙市雨花区南雅中学2026届高二数学第一学期期末调研试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（）A.1 B.C. D.3．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.4．在等比数列中，，则的公比为（）A. B.C. D.5．若直线被圆截得的弦长为4，则的最大值是（）A. B.C.1 D.26．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.7．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（）A. B.C. D.8．已知等比数列满足，，则数列前6项的和（）A.510 B.126C.256 D.5129．已知，则的最小值是（）A.3 B.8C.12 D.2010．在四棱锥中，分别为的中点，则（）A. B.C. D.11．已知两条不同直线和平面，下列判断正确的是（）A.若则 B.若则C.若则 D.若则12．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________.14．设圆，圆，则圆有公切线___________条.15．已知满足约束条件，则的最小值为___________16．若a，b，c都为正数，，且，，成等比数列，则的最大值为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由18．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大19．（12分）已知函数在处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）求函数图象上的点到直线的距离的最小值.20．（12分）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.21．（12分）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且．求证：（1）、、、四点共面；（2）与的交点在直线上22．（10分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足（1）求椭圆C的标准方程：（2）若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由定义证明函数的单调性，再由函数不等式恒能成立的性质得出，从而得出实数的取值范围.【详解】任取，，即函数在上单调递减，若，使得，则即故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：(1)，，使得成立等价于(2)，，不等式恒成立等价于(3)，，使得成立等价于(4)，，使得成立等价于2、A【解析】设点A到平面PBC的距离为，根据等体积法求解即可.【详解】因为平面ABC，所以,因为，，所以又，，所以,所以,设点A到平面PBC的距离为，则,即,，故选：A3、A【解析】由切线的性质，可得，，再结合椭圆定义，即得解【详解】因为过点的直线圆的切线，，，所以由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率故选：A4、D【解析】利用等比数列的性质把方程都变成和有关的式子后进行求解.【详解】由等比数列的等比中项性质可得，又，所以，因，所以，所以,故选：D.5、A【解析】根据弦长求得的关系式，结合基本不等式求得的最大值.【详解】圆的圆心为，半径为，所以直线过圆心，即，由于为正数，所以，当且仅当时，等号成立.故选：A6、A【解析】根据离心率求出的值，再根据渐近线方程求解即可.【详解】因双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：，又因为双曲线离心率为，且，所以，解得，即渐近线方程为：.故选：A.7、B【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负【详解】∵，∴和异号，又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，由，所以，，∴满足的最大自然数为4040故选：B【点睛】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.8、B【解析】设等比数列的公比为，由题设条件，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，，可得，解得，所以数列前6项的和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.9、A【解析】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，故选：A10、A【解析】结合空间几何体以及空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为分别为的中点，则,,,故选：A.11、D【解析】根据线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系即可判断.【详解】解：对于选项A：若，则与可能平行，可能相交，可能异面，故选项A错误；对于选项B：若，则，故选项B错误；对于选项C：当时不满足，故选项C错误；综上，可知选项D正确.故选：D.12、A【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.【详解】与x，y轴的交点，分别为，，点在圆，即上，所以，圆心到直线距离为，所以面积的最小值为，最大值为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或当a＝－3，b＝3时，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝414、2【解析】将圆转化成标准式，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解.【详解】由题意得，圆：，圆：，∴，∴与相交，有2条公切线.故答案为：215、【解析】根据题意，作出可行域，进而根据几何意义求解即可.【详解】解：作出可行域如图，将变形为，所以根据几何意义，当直线过点时，有最小值，所以联立方程得，所以的最小值为故答案为：16、【解析】由等比数列性质知，即可得，再利用基本不等式求解即可.【详解】由，，成等比数列，得，即又，则，所以，即，即所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）直线的斜率为定值，且定值为.【解析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a、b，即可得椭圆标准方程.（2）由题设得，法一：设为，联立椭圆方程应用韦达定理求M坐标，根据与斜率关系求N的坐标，应用两点式求斜率；法二：设为，，联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于参数m、k的方程，即可判断是否为定值.【小问1详解】由题意，则，又，所以椭圆C方程为，代入有，解得，所以，故椭圆的标准方程为；【小问2详解】由题设易知：，法一：设直线为，由，消去y，整理得，因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标，故M为，用代替k，得N为，所以，故直线的斜率为定值法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，，由，消去y，整理得，所以，而，又，代入整理得，所以，即，若，则直线过点T，不合题意，所以．即，故直线的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于直线斜率的方M、N程，或求出的坐标，应用两点式求斜率.18、（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）见解析【解析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元∴蓄水池的总建造成本为元所以即∴∴又由可得故函数的定义域为（2）由（1）中，可得（）令，则∴当时，，函数为增函数当，函数为减函数所以当时该蓄水池的体积最大考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.19、（1）；（2）.【解析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.【小问1详解】∵函数，∴的定义域为，，∴在处切线的斜率为，由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，∴的解析式为；【小问2详解】由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，所以切点到直线的距离最小，最小值为，故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可知，，根据等差数列的通项公式得到，即可得到，再令，利用错位相减法求出，即可得证；【小问1详解】解：因为，且，当时，则，所以，当时，，则，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；【小问2详解】解：由（1）可知，，因为，所以，所以，令，则，所以，所以，即，所以，即；21、（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由平行关系转化，可得，即可证明四点共面；（2）由条件证明与的交点既在平面上，又在平面上，即可证明.【详解】证明（1）∵，∴∵，分别为，的中点，∴，∴，∴，，，四点共面（2）∵，不是，的中点，∴，且，故为梯形∴与必相交，设交点为，∴平面，平面，∴平面，且平面