2024-2025学年广东广州海珠中学高一（上）期中数学试题含答案

高中广州市海珠中学2024学年第一学期期中考试高一数学试卷一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设函数，则的值是（）．A.2 B.3 C.4 D.53.对于实数，“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4.若为奇函数，则a的值为（）A0 B.-1 C.1 D.25.函数的图象是（）A. B.C. D.6.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.7.已知幂函数的图象经过点，则其解析式为（）A. B. C. D.8.若函数满足对任意的实数都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列结论正确的是（）A B.C. D.10.若函数为定义在上的奇函数，且，则下列说法正确的有（）A.B.C.的图象关于轴对称D.为偶函数11.下列说法正确是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.若不等式的解集为，则C.函数（，）过定点D.当时，的最小值是5三、填空题（本大题共3小题，共15分）12._________.13.如果函数在区间上是减函数，则实数a取值范围是________．14.已知命题“，”是假命题，则实数a取值范围为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.集合．（1）求；（2）求．16.已知函数（1）求的值；（2）在坐标系中画出的草图；（3）写出函数的单调区间和值域.17.某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）．（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？18.已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）请用定义证明函数在上单调递减；（3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围.19.已知函数，．（1）当时，求函数的值域；（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．

广州市海珠中学2024学年第一学期期中考试高一数学试卷一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集直接计算求解即可.【详解】因，，所以，故选：A2.设函数，则的值是（）．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根据的范围代入相应的解析式即可.【详解】函数，则．故选：C．3.对于实数，“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义，即可判断【详解】由题意，“”可推出“”，故充分性成立；“”不可推出“”，故必要性不成立；因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.若为奇函数，则a的值为（）A.0 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可【详解】∵为R上的奇函数，∴得a=1.验证满足题意.故选：C5.函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数图象的变换得到答案.【详解】将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数的图象.故选：B.6.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一次函数，反比例函数和二次函数的单调性逐一判断即可.【详解】对于A，函数在上为减函数，故A不符合；对于B，函数在区间上为减函数，故B不符合；对于C，当时，函数在区间上增函数，故C符合；对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合.故选：C.7.已知幂函数的图象经过点，则其解析式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设幂函数，代入图象所过的点，求出后可得正确的选项.【详解】设幂函数，因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以，故选：C．8.若函数满足对任意的实数都有成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，需要保证每段函数在对应区间为增函数，且在分割点处需要满足函数值对应的关系即可，列出不等式求解，则问题得解.【详解】因为函数满足：对任意实数，都有成立，所以函数在（-∞，+∞）上是增函数，所以在（-∞，1），（1，+∞）上均单调递增，且-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6，故有，解得1≤a≤2．所以实数a的取值范围是[1，2]．故选：B．【点睛】本题考查根据函数单调性求参数范围的问题，属基础题.二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由不等式性质判断A、C、D，特殊值判断B即可.【详解】由，则，即，，故A、C、D正确；当时，故B错误.故选：ACD10.若函数为定义在上的奇函数，且，则下列说法正确的有（）A.B.C.的图象关于轴对称D.为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】根据奇函数的性质判断A、B、C；令，，可得，即可判断D.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，则且函数图象关于原点对称，故C错误；令可得，所以，故A正确；又，则，故B正确；令，，则，所以为偶函数，即为偶函数，故D正确.故选：ABD11.下列说法正确的是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.若不等式的解集为，则C.函数（，）过定点D.当时，最小值是5【答案】BC【解析】【分析】对于A：根据全称命题的否定是特称命题分析判断；对于B：分析可知的根为，且，利用韦达定理运算求解；对于C：根据指数函数的定点分析求解；对于D：换元结合对勾函数单调性分析判断.【详解】对于A：命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误；对于B：若不等式的解集为，可知的根为，且，则，解得，所以，故B正确；对于C：令，可得，所以函数（，）过定点，故C正确；对于D：因为，令，可得，由对勾函数单调性可知在内单调递增，则，所以没有最小值，故D错误；故选：BC.三、填空题（本大题共3小题，共15分）12._________.【答案】【解析】【分析】根据幂的运算化简求值.【详解】原式.故答案为：13.如果函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先求二次函数的对称轴，再由对称轴和4的大小关系建立不等式进行求解.【详解】函数的图象是开口方向朝上，以为对称轴的抛物线∵在区间上是减函数，∴，则故答案为：14.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据命题为假，得到，解得答案.【详解】命题“，”是假命题，故，解得或.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.集合．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】化简集合B,根据集合的交并补运算直接求解.【小问1详解】由得,所以,因为,所以.【小问2详解】因为或，所以.16.已知函数（1）求的值；（2）在坐标系中画出的草图；（3）写出函数的单调区间和值域.【答案】（1）5（2）见解析（3）减区间为，增区间为；值域为【解析】【分析】（1）先求，再求可得答案；（2）分段作出图象即可；（3）根据图象写出单调区间，根据单调性求出值域.【小问1详解】因为，所以，所以.【小问2详解】草图如下：【小问3详解】由图可知，减区间，增区间为；当时，；当时，为减函数，所以；当时，为增函数，所以；所以的值域为.17.某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）．（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？【答案】（1）这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；（2）当运转3年时，这批机器的年平均利润最大【解析】【分析】（1）配方得到最值，得到答案；（2）设出年平均利润为，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案.【小问1详解】，因为，且，所以当时，取得最大值，故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；【小问2详解】设年平均利润为，因为，且，则，当且仅当，即时，等号成立，故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大.18.已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）请用定义证明函数在上单调递减；（3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明；（2）根据题意，利用函数单调性的定义与判定方法，即可求解；（3）根据题意，转化为存在，使得，由（2）得到在上为单调递减函数，求得的最大值，即可求解.【小问1详解】因为的定义域为，且，所以为奇函数.【小问2详解】任取且，则，因为且，可得，且，所以，所以，即，所以函数在上为单调递减函数.【小问3详解】由，不等式可化为，因为存在，使得成立，即，由（2）知，函数在为单调递减函数，所以，可得，所以实数的取值范围.19.已知函数，．（1）当时，求函数的值域；（2）设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，根据二次函数的性质求解即可；（