2025 八年级数学下册勾股定理折叠问题解法课件

一、教学背景与目标定位演讲人CONTENTS教学背景与目标定位核心知识梳理：折叠问题的“不变量”与“勾股关联”典型例题解析：从基础到进阶的解题流程解题策略总结：“三步法”与数学思想渗透课后巩固与教学反思目录2025八年级数学下册勾股定理折叠问题解法课件作为一线数学教师，我深知勾股定理是初中几何的核心内容之一，而折叠问题则是其综合应用的典型场景。这类问题既考查学生对图形变换（轴对称）的理解，又需要灵活运用勾股定理建立方程，对培养几何直观和逻辑推理能力至关重要。今天，我将以“勾股定理折叠问题解法”为主题，结合多年教学经验，系统梳理解题思路与方法。01教学背景与目标定位1教材地位与学情分析勾股定理（人教版八年级下册第十七章）是平面几何中“数与形结合”的桥梁，其核心价值在于通过代数方法解决几何问题。折叠问题（本质是轴对称变换）作为本章的高频考点，要求学生在“变”中找“不变”——即折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕为对应点连线的垂直平分线。从学情看，八年级学生已掌握勾股定理的基本形式（(a^2+b^2=c^2)），但面对动态折叠场景时，常因无法准确提取“等量关系”而受阻。例如，部分学生能识别折叠后的重合边，却忽略折痕与原图形的垂直关系；或能画出草图，却难以将几何条件转化为代数方程。因此，本节课的重点是“通过折叠对称性提取等量关系，结合勾股定理建立方程”，难点是“在复杂图形中精准定位直角三角形”。2三维教学目标知识目标：掌握折叠问题中“对应边相等”“折痕垂直平分对应点连线”等性质；能结合勾股定理解决线段长度、角度计算等问题。01能力目标：通过画图、标注、推理，提升几何直观与逻辑建模能力；学会用“设元-找关系-列方程”的代数方法解决几何问题。02情感目标：在探究折叠对称性的过程中，感受数学“变与不变”的辩证美；通过解决实际问题，增强用数学工具分析问题的信心。0302核心知识梳理：折叠问题的“不变量”与“勾股关联”1折叠的本质：轴对称变换的三大性质01020304折叠问题的核心是轴对称，其性质可总结为“三不变两垂直”：对应角相等：折叠前后，重合的角大小相等（如∠ABC折叠后与∠A'BC重合，则∠ABC=∠A'BC）。05两垂直：折痕是对应点连线的垂直平分线（AA'⊥折痕，且折痕平分AA'）。对应边相等：折叠前后，重合的边长度相等（如点A折叠后到A'，则折痕是AA'的对称轴，故折痕上任意一点到A和A'的距离相等）。图形全等：折叠部分与原图形全等（即△ABC折叠后得到△A'BC，则△ABC≌△A'BC）。这些性质是解题的“钥匙”，尤其是“对应边相等”和“折痕垂直平分对应点连线”，常与勾股定理结合使用。062勾股定理的应用场景：寻找“隐藏的直角三角形”0504020301勾股定理的前提是存在直角三角形。在折叠问题中，直角三角形可能以以下形式出现：原图形中的直角：如矩形、正方形的内角本身是直角（如矩形ABCD中，∠B=90）。折叠后形成的直角：如折叠后某边与原边垂直（如将△ABC沿折痕DE折叠，使点A落在BC上的A'，若∠DA'E=90，则△DA'E为直角三角形）。折痕与原边构成的直角：因折痕是对应点连线的垂直平分线，故折痕与AA'垂直（如AA'⊥DE，则△AOD为直角三角形，O为AA'与DE的交点）。明确直角三角形的位置后，即可通过“设未知数-表示边长-列方程”求解。03典型例题解析：从基础到进阶的解题流程典型例题解析：从基础到进阶的解题流程3.1基础型：矩形中的单点折叠（已知一边，求另一边）例1：如图1，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，将△ABD沿对角线BD折叠，点A落在点A'处，求A'C的长度。分析步骤：画草图，标已知：先画出矩形ABCD，AB=6，AD=10，BD为对角线，折叠后A→A'，则A'B=AB=6，A'D=AD=10（对应边相等）。找直角三角形：观察A'C的位置，需确定A'在矩形中的坐标。不妨以D为原点，建立坐标系：D(0,0)，C(6,0)，B(6,10)，A(0,10)。折叠后，A'是A关于BD的对称点，BD的方程为(y=\frac{5}{3}x)（由B(6,10)、D(0,0)得斜率(\frac{10-0}{6-0}=\frac{5}{3})）。典型例题解析：从基础到进阶的解题流程利用对称点公式：点A(0,10)关于直线(y=\frac{5}{3}x)的对称点A'(x,y)满足：AA'中点在BD上：(\frac{0+x}{2},\frac{10+y}{2})在(y=\frac{5}{3}x)上，即(\frac{10+y}{2}=\frac{5}{3}\frac{x}{2})→(10+y=\frac{5}{3}x)①；AA'⊥BD：AA'的斜率为(\frac{y-10}{x-0}=-\frac{3}{5})（与BD斜率乘积为-1），即(y-10=-\frac{3}{5}x)②。典型例题解析：从基础到进阶的解题流程联立①②解得：(x=\frac{150}{17})，(y=\frac{80}{17})，故A'((\frac{150}{17},\frac{80}{17}))。计算A'C：C(6,0)即((\frac{102}{17},0))，则(A'C=\sqrt{(\frac{150}{17}-\frac{102}{17})^2+(\frac{80}{17}-0)^2}=\sqrt{(\frac{48}{17})^2+(\frac{80}{17})^2}=\frac{16}{17}\sqrt{3^2+5^2}=\frac{16}{17}×\sqrt{34})？不，这里算错了！实际应为：典型例题解析：从基础到进阶的解题流程(A'C=\sqrt{(6-\frac{150}{17})^2+(0-\frac{80}{17})^2}=\sqrt{(\frac{102-150}{17})^2+(\frac{-80}{17})^2}=\sqrt{(\frac{-48}{17})^2+(\frac{-80}{17})^2}=\frac{\sqrt{48^2+80^2}}{17}=\frac{\sqrt{2304+6400}}{17}=\frac{\sqrt{8704}}{17}=\frac{16\sqrt{34}}{17})（cm）。教学提示：本题学生易出错点是坐标系的建立和对称点计算，需强调“折痕是对称轴”的几何意义，或改用几何方法：由△ABD≌△A'BD，得∠A'BD=∠ABD，又AD∥BC，故∠ADB=∠DBC，因此∠A'BD=∠DBC，即A'在BC的延长线上？典型例题解析：从基础到进阶的解题流程不，矩形中BC是水平边，BD是对角线，折叠后A'应在矩形内部。更简单的方法是利用勾股定理：在△A'BC中，BC=AD=10，A'B=AB=6，∠A'BC=∠ABC-2∠ABD（因折叠后∠ABD=∠A'BD），但可能不如坐标系直观。2进阶层：三角形中的双点折叠（求折痕长度）例2：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=8，BC=6，将△ABC沿直线DE折叠，使点A与点B重合，求折痕DE的长度。分析步骤：明确折叠性质：A与B重合，故DE是AB的垂直平分线（折痕是对应点连线的垂直平分线），即DE⊥AB，且DE平分AB。计算AB长度：由勾股定理，AB=(\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10)，故AB中点为O，AO=BO=5。确定DE的位置：DE过O，且DE⊥AB。需找到D、E的位置（D在AC上，E在BC上，或D在AB上？题目未明确，通常折叠后点A与B重合，D、E应分别在AC、BC上）。2进阶层：三角形中的双点折叠（求折痕长度）设元列方程：设D在AC上，坐标为(x,0)（以C为原点，C(0,0)，A(0,8)，B(6,0)），则折叠后A(0,8)→B(6,0)，故DE是AB的垂直平分线。AB的斜率为(\frac{0-8}{6-0}=-\frac{4}{3})，故DE的斜率为(\frac{3}{4})（垂直斜率乘积为-1）。AB中点O坐标为(3,4)，故DE的方程为(y-4=\frac{3}{4}(x-3))。D在AC上，AC的方程为x=0（y轴），代入DE方程得D(0,4-(\frac{9}{4}))=(0,(\frac{7}{4}))。E在BC上，BC的方程为y=0（x轴），代入DE方程得0-4=(\frac{3}{4}(x-3))→x=3-(\frac{16}{3}=-\frac{7}{3})？这显然错误，说明D、E应在AB的两侧，可能我的坐标系设定有误。2进阶层：三角形中的双点折叠（求折痕长度）更正思路：正确的做法是利用相似三角形。因DE是AB的垂直平分线，△ADE≌△BDE（折叠性质），故AD=BD。设AD=x，则CD=AC-AD=8-x，在Rt△BCD中，BD²=BC²+CD²→x²=6²+(8-x)²→x²=36+64-16x+x²→16x=100→x=6.25。则AD=6.25，CD=1.75。DE是AB的中垂线，O是AB中点，AO=5。在Rt△AOD中，OD是DE的一半吗？不，DE是折痕，连接D、E，其中D在AC，E在AB？可能更简单的方法是：由折叠可知，DE⊥AB，且△ADE∽△ABC（均为直角三角形，共∠A），故(\frac{DE}{BC}=\frac{AO}{AC})→DE=BC×(\frac{AO}{AC}=6×\frac{5}{8}=\frac{15}{4}=3.75)。2进阶层：三角形中的双点折叠（求折痕长度）教学提示：本题关键是识别折痕是AB的垂直平分线，通过“AD=BD”建立方程，或利用相似三角形简化计算。学生常因找不到DE与原三角形的关系而卡壳，需引导其从“对应点连线与折痕垂直”入手。3综合型：正方形中的多次折叠（求重叠部分面积）例3：如图3，正方形ABCD边长为4，将正方形沿EF折叠（E在AB上，F在CD上），使点B落在AD边上的点B'处，再将正方形沿B'G折叠（G在CD上），使点D落在B'F上的点D'处，求重叠部分的面积。分析步骤：第一次折叠：确定B'位置：设B'(a,4)（以A为原点，A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)），则BE=B'E。设E(4,b)，则BE=4-b，B'E=(\sqrt{(4-a)^2+(b-4)^2})（因B'(a,4)，E(4,b)）。由BE=B'E得：(4-b=\sqrt{(4-a)^2+(b-4)^2})→两边平方得((4-b)^2=(4-a)^2+(4-b)^2)→(4-a)^2=0→a=4？3综合型：正方形中的多次折叠（求重叠部分面积）这显然错误，说明坐标系设定应调整为A(0,4)，B(4,4)，D(0,0)，C(4,0)，则AD边为y=0到y=4，x=0。设B'(0,t)（在AD上，x=0，0≤t≤4），E在AB上，坐标为(s,4)（AB边y=4，0≤s≤4），则BE=4-s（AB边长为4，E在AB上，横坐标s，故BE=4-s），B'E=(\sqrt{(s-0)^2+(4-t)^2})（E(s,4)到B'(0,t)的距离）。由BE=B'E得：(4-s=\sqrt{s^2+(4-t)^2})→平方得(16-8s+s^2=s^2+16-8t+t^2)→-8s=-8t+t^2→t^23综合型：正方形中的多次折叠（求重叠部分面积）=8(t-s)①。利用勾股定理在△AB'B：AB'=t（AD边长为4，B'在AD上，坐标(0,t)，故AB'=t），BB'是折痕EF的对称轴，EF⊥BB'。BB'的斜率为(\frac{t-4}{0-4}=\frac{4-t}{4})，故EF的斜率为(-\frac{4}{4-t})（垂直斜率乘积为-1）。EF过E(s,4)和F(f,0)（F在CD上，y=0，x=f），故斜率为(\frac{0-4}{f-s}=-\frac{4}{f-s})，因此(-\frac{4}{f-s}=-\frac{4}{4-t})→f-s=4-t→f=s+4-t②。3综合型：正方形中的多次折叠（求重叠部分面积）第二次折叠：D→D'在B'F上：D(4,0)，折叠后D'在B'F上，B'F的方程：B'(0,t)，F(f,0)，斜率为(\frac{0-t}{f-0}=-\frac{t}{f})，方程为(y=-\frac{t}{f}x+t)。设G在CD上，坐标为(g,0)，则D'G=DG=4-g（CD边长为4，D(4,0)，G(g,0)，故DG=4-g），且D'在B'F上，故D'到G的距离等于DG，即D'是D关于B'G的对称点。教学提示：此类问题需分阶段分析每次折叠的性质，逐步建立方程。学生易因多变量混淆而放弃，需强调“每次折叠只关注一对对应点”，并通过画图标注所有已知量，逐步消元求解。04解题策略总结：“三步法”与数学思想渗透1通用解题步骤通过以上例题，可提炼出折叠问题的“三步解题法”：画草图，标等量：根据题意画出折叠前后的图形，用不同颜色标注折叠前后的对应边（如原边用实线，折叠边用虚线），标出已知长度和角度，明确哪些边/角相等（对应边、对应角）。找直角，定三角形：观察图形中是否存在直角（原图形的直角或折叠后形成的直角），确定需要应用勾股定理的直角三角形。若没有明显直角，可通过作辅助线（如连接对应点，构造折痕的垂线）构造直角三角形。设未知，列方程：选择合适的未知数（通常是所求线段或相关线段），利用“对应边相等”或“勾股定理”建立方程，解方程并检验合理性（长度为正，符合图形位置）。2数学思想渗透STEP1STEP2STEP3转化思想：将折叠问题转化为轴对称问题，将几何量转化为代数方程，体现“数形结合”