2025 八年级数学下册矩形的折叠问题中的全等三角形课件

一、知识储备：折叠问题的底层逻辑演讲人01.02.03.04.05.目录知识储备：折叠问题的底层逻辑折叠问题中全等三角形的判定路径典型例题解析：从单一折叠到复杂折叠易错点与解题策略总结结语：折叠问题中的数学思想2025八年级数学下册矩形的折叠问题中的全等三角形课件各位同学、老师们：大家好！今天我们共同探讨的主题是“矩形的折叠问题中的全等三角形”。作为八年级下册几何模块的核心内容之一，矩形的折叠问题不仅是对矩形性质、轴对称变换的综合应用，更是全等三角形判定定理的实践场域。在多年的教学中，我发现许多同学对“折叠”这一动态操作背后的几何本质理解不够深刻，尤其在寻找全等三角形时容易遗漏关键条件。因此，今天我们将从基础回顾出发，逐步拆解折叠问题的核心逻辑，结合实例探究全等三角形的判定方法，最终形成系统的解题思路。01知识储备：折叠问题的底层逻辑知识储备：折叠问题的底层逻辑要解决矩形的折叠问题，首先需要明确两个核心概念的关联：矩形的几何性质与折叠操作的本质。二者的结合，是推导全等三角形的关键前提。1矩形的基本性质回顾矩形作为特殊的平行四边形，除了具备“对边平行且相等”“对角相等”“对角线互相平分”等平行四边形的共性外，还拥有独特的个性特征：（1）四个角均为直角：这是矩形区别于一般平行四边形的核心特征，也是折叠后形成直角三角形的重要条件；（2）对角线相等：矩形的两条对角线长度相等（即(AC=BD)，若矩形为(ABCD)，对角线交于(O)，则(AO=BO=CO=DO)）；（3）轴对称性：矩形是轴对称图形，有两条对称轴（分别为对边中点的连线），这为折叠1矩形的基本性质回顾操作提供了天然的“对称轴”基础。这些性质在折叠问题中会以不同形式体现，例如直角的存在常与全等三角形的“HL判定”（斜边、直角边）相关联，对边相等则可能对应“SSS”或“SAS”判定中的边相等条件。2折叠操作的本质：轴对称变换折叠的本质是图形关于某条直线（折痕）的轴对称变换。理解这一点，就能将动态的折叠过程转化为静态的几何关系分析。轴对称变换的核心性质包括：（1）对应点连线被对称轴垂直平分：若点(A)折叠后对应点为(A')，则折痕(l)是(AA')的垂直平分线（即(l\perpAA')且(l)平分(AA')）；（2）对应边、对应角相等：折叠前后的图形中，任意一组对应边长度相等（(AB=A'B')），任意一组对应角大小相等（(\angleABC=\angleA'B'C')）；（3）图形全等：原图形与折叠后的图形全等（即(\triangleABC\2折叠操作的本质：轴对称变换cong\triangleA'B'C')）。以一张矩形纸片为例，当我们将其沿某条直线折叠时，折痕两侧的部分会完全重合，这正是轴对称变换的直观体现。而这种“重合”，恰恰是全等三角形存在的直接证据——折叠后重合的部分，必然构成全等三角形。02折叠问题中全等三角形的判定路径折叠问题中全等三角形的判定路径明确了矩形的性质与折叠的轴对称本质后，我们需要进一步梳理：在折叠操作中，如何系统地寻找并证明全等三角形？这需要分步骤分析折叠前后的“对应关系”，并结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）进行验证。1第一步：标注折叠前后的对应元素折叠问题中，最容易混淆的是“哪些点、边、角是对应的”。解决这一问题的关键是用符号标记折叠前后的对应点。例如，将原矩形(ABCD)沿折痕(EF)折叠后，点(A)落在点(A')处，点(B)落在点(B')处（若(B)在折叠后位置不变，则(B'=B)）。通过标记，我们可以清晰地看到：对应边：(AB)与(A'B')，(AD)与(A'D')（若(D)折叠后为(D')）；对应角：(\angleDAB)与(\angleD'A'B')，(\angleABC)与(\angleA'B'C)（若(C)未移动）；1第一步：标注折叠前后的对应元素公共边/角：折痕(EF)是折叠前后两个图形的公共边，折叠后重合的角为公共角。例如，在矩形(ABCD)中沿对角线(AC)折叠（图1），点(B)会落在点(B')处，此时(\triangleABC)与(\triangleAB'C)关于(AC)对称，因此(AB=AB')，(BC=B'C)，(\angleABC=\angleAB'C=90^\circ)，这为后续判定全等提供了直接依据。2第二步：结合矩形性质提取相等元素矩形的“四个直角”和“对边相等”是折叠问题中最常用的隐含条件。例如：若折叠后形成直角三角形（如沿边(AD)折叠顶点(B)至(AD)上某点(B')），则(\angleAB'D=90^\circ)（由矩形的直角性质）；若折叠后涉及对边（如将(AB)边折叠至(CD)边附近），则(AB=CD)（矩形对边相等）可直接作为全等判定中的边相等条件。以“沿矩形一边中点折叠”为例（图2）：矩形(ABCD)中，(E)是(AB)中点，沿(DE)折叠(A)至(A')，则(AE=A'E)（折叠对应边相等），且(AE=EB)（(E)是中点），因此(A'E=EB)；同时，2第二步：结合矩形性质提取相等元素(\angleA'ED=\angleAED)（折叠对应角相等），结合矩形的(AD\parallelBC)（平行四边形性质），可推导出(\angleADE=\angleBED)（内错角相等），进而通过“角边角”（ASA）判定(\triangleA'DE\cong\triangleBED)。3第三步：应用全等判定定理验证在提取了足够的相等边、角后，需要根据已知条件选择合适的全等判定定理。常见的判定路径如下：（1）HL判定（直角三角形专用）：若折叠后形成两个直角三角形，且斜边与一条直角边对应相等，则可直接用HL判定全等。例如沿矩形对角线折叠（图1），(\triangleABC)与(\triangleAB'C)均为直角三角形（(\angleABC=\angleAB'C=90^\circ)），斜边(AC)公共，直角边(AB=AB')（折叠对应边相等），因此(\triangleABC\cong\triangleAB'C)（HL）。3第三步：应用全等判定定理验证（2）SAS判定：若折叠后存在两组对应边相等，且它们的夹角相等，则可用SAS判定。例如图2中，(A'E=EB)（已证），(DE=DE)（公共边），(\angleA'ED=\angleBED)（折叠对应角相等），因此(\triangleA'DE\cong\triangleBED)（SAS）。（3）AAS/ASA判定：若折叠后存在两组对应角相等，且一组对应边相等，则可用AAS或ASA判定。例如将矩形(ABCD)沿(EF)折叠（(E)在(AD)，(F)在(BC)），使得(A)落在(BC)上的(A')，则(\angleAEF=\angleA'EF)（折叠对应角相等），3第三步：应用全等判定定理验证(\angleEAF=\angleEA'F=90^\circ)（矩形直角），结合(AE=A'E)（折叠对应边相等），可通过AAS判定(\triangleAEF\cong\triangleA'EF)。需要注意的是，折叠问题中“公共边”“公共角”是常见的隐含条件（如折痕作为公共边），需特别关注。03典型例题解析：从单一折叠到复杂折叠典型例题解析：从单一折叠到复杂折叠为了更直观地理解上述逻辑，我们通过3个典型例题，从简单到复杂逐步分析折叠问题中的全等三角形判定过程。1例1：沿对角线折叠（基础型）题目：如图3，矩形(ABCD)中，(AB=3)，(AD=4)，沿对角线(AC)折叠，点(B)落在点(B')处。求证：(\triangleABC\cong\triangleAB'C)，并求(B'D)的长度。分析过程：（1）折叠本质：沿(AC)折叠，(\triangleABC)与(\triangleAB'C)关于(AC)轴对称；1例1：沿对角线折叠（基础型）（2）全等判定：(\angleABC=\angleAB'C=90^\circ)（矩形直角，折叠对应角相等）；(AC=AC)（公共斜边）；(AB=AB'=3)（折叠对应边相等）；因此(\triangleABC\cong\triangleAB'C)（HL）。1例1：沿对角线折叠（基础型）（3）求(B'D)：由全等可知(B'C=BC=4)，(\angleB'CA=\angleBCA)；在矩形中，(\tan\angleBCA=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4})，故(\angleB'CA=\arctan\frac{3}{4})；连接(B'D)，在(\triangleB'CD)中，(CD=AB=3)，(B'C=4)，(\angleB'CD=90^\circ-2\angleBCA)（可通过角度计算或坐标系法求解）；1例1：沿对角线折叠（基础型）更简便的方法是建立坐标系：设(A(0,0))，(B(3,0))，(C(3,4))，(D(0,4))，则(AC)的方程为(y=\frac{4}{3}x)；点(B(3,0))关于(AC)的对称点(B')可通过对称点公式求得，最终计算(B'D)的距离为(\frac{7}{5})（具体计算过程略）。总结：沿对角线折叠是最基础的折叠问题，其全等三角形的判定依赖于矩形的直角和折叠的对应边相等，HL判定是关键。2例2：沿非对角线折叠（提升型）题目：如图4，矩形(ABCD)中，(E)是(AD)上一点，(AE=1)，(ED=3)，沿(BE)折叠(A)至(A')，(A')落在(CD)上。求证：(\triangleABE\cong\triangleA'B'E)，并求(CD)的长度（设(AB=x)）。分析过程：（1）折叠本质：沿(BE)折叠，(\triangleABE)与(\triangleA'B'E)关于(BE)轴对称；2例2：沿非对角线折叠（提升型）（2）全等判定：(AE=A'E=1)（折叠对应边相等）；(BE=BE)（公共边）；(\angleAEB=\angleA'EB)（折叠对应角相等）；因此(\triangleABE\cong\triangleA'B'E)（SAS）。（3）求(CD)：由矩形性质，(CD=AB=x)，(BC=AD=4)；(A')在(CD)上，故(A'D=CD-A'C=x-A'C)；2例2：沿非对角线折叠（提升型）在(\triangleA'DE)中，(A'E=1)，(ED=3)，由勾股定理得(A'D=\sqrt{A'E^2-ED^2})？不，这里错误！正确的勾股定理应用应为：在(\triangleA'DE)中，(A'D^2+ED^2=A'E^2)？不，(\angleA'DE)是直角吗？实际上，(\angleA'DE=90^\circ)（(CD\perpAD)，矩形性质），因此(A'D^2+ED^2=A'E^2)不成立，因为(A'E)是斜边吗？不，(A'E)是折叠后的边，长度为1，而(ED=3)，(A'D)是直角边，因此正确的关系应为：在(\triangleA'CD)中，(A'C^2+CD^2=A'B^2)（但(A'B=AB=x)，由全等可知(A'B=AB=x)）；2例2：沿非对角线折叠（提升型）正确思路：由折叠可知(A'B=AB=x)，在(\triangleA'BC)中，(BC=4)，(A'C=CD-A'D=x-A'D)，而(A'D)可通过(\triangleA'DE)计算：(A'D^2+ED^2=A'E^2)→(A'D^2+3^2=1^2)，显然矛盾，说明我的分析有误。重新梳理：(A')落在(CD)上，故(\angleA'DE=90^\circ)（矩形性质），(A'E=AE=1)（折叠），(ED=3)，则(A'D=\sqrt{A'E^2-ED^2})无意义（因(1<3)），说明(A')不在(DE)上方，而是在(CD)上的其他位置。2例2：沿非对角线折叠（提升型）正确的方法是利用(A'B=AB=x)，在(\triangleA'BC)中，(A'C=\sqrt{A'B^2-BC^2}=\sqrt{x^2-16})（若(\angleA'CB=90^\circ)），但(\angleA'CB)不一定是直角，因此应使用坐标系：设(A(0,0))，(B(x,0))，(E(0,1))，(D(0,4))，(C(x,4))，则(BE)的方程为(y=-\frac{1}{x}x+1)（斜率为(\frac{0-1}{x-0}=-\frac{1}{x})）；点(A(0,0))关于(BE)的对称点(A'(m,n))满足：2例2：沿非对角线折叠（提升型）-\(AA'\perpBE\)，即\(\frac{n}{m}\times(-\frac{1}{x})=-1\)→\(\frac{n}{m}=x\)→\(n=mx\)；-\(AA'\)的中点\((\frac{m}{2},\frac{n}{2})\)在\(BE\)上，即\(\frac{n}{2}=-\frac{1}{x}\cdot\frac{m}{2}+1\)；代入\(n=mx\)得：\(\frac{mx}{2}=-\frac{m}{2x}+1\)→\(m(x+\frac{1}{x})=2\)→\(m=\frac{2x}{x^2+1}\)，\(n=\frac{2x^2}{x^2+1}\)；2例2：沿非对角线折叠（提升型）由于\(A'\)在\(CD\)上（\(CD\)的方程为\(y=4\)），故\(n=4\)，即\(\frac{2x^2}{x^2+1}=4\)→\(2x^2=4x^2+4\)→\(-2x^2=4\)，无解，说明题目条件可能存在问题（或我设定坐标系有误）。正确设定应为(E)在(AD)上，(AD=4)，故(A(0,0))，(D(0,4))，(E(0,1))，(B(a,0))，(C(a,4))，则(BE)的斜率为(\frac{0-1}{a-0}=-\frac{1}{a})，(A'(m,n))在(CD)上即(m=a)（(CD)的横坐标为(a)），故(A'(a,n))，其中(n\leq4)；2例2：沿非对角线折叠（提升型）由对称性质：\(AA'\)的中点\((\frac{a}{2},\frac{n}{2})\)在\(BE\)上，即\(\frac{n}{2}=-\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{2}+1\)→\(\frac{n}{2}=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\)→\(n=1\)；同时，\(AA'\perpBE\)，即\(\frac{n-0}{a-0}\times(-\frac{1}{a})=-1\)→\(\frac{n}{a}\times\frac{1}{a}=1\)→\(n=a^2\)；2例2：沿非对角线折叠（提升型）结合\(n=1\)，得\(a^2=1\)→\(a=1\)（\(a0\)），因此\(AB=a=1\)，\(CD=AB=1\)。总结：非对角线折叠问题需要更细致地利用坐标系或几何关系，结合折叠的对应性质，全等三角形的判定（如SAS）是解题的关键桥梁。3例3：多次折叠（综合型）题目：如图5，矩形(ABCD)中，先沿(AE)折叠(D)至(D')（(D')在(AB)上），再沿(EF)折叠(B)至(B')（(B')在(AD')上）。求证：存在两对全等三角形，并说明判定依据。分析过程：（1）第一次折叠（沿(AE)）：(\triangleADE\cong\triangleAD'E)（折叠对应，HL判定：(AD=AD')，(AE=AE)，(\angleADE=\angleAD'E=90^\circ)）；由(AD=AD')，且(AD=BC)（矩形对边相等），得(AD'=BC)。3例3：多次折叠（综合型）（2）第二次折叠（沿(EF)）：(\triangleBEF\cong\triangleB'EF)（折叠对应，SAS判定：(BE=B'E)，(EF=EF)，(\angleBEF=\angleB'EF)）；由于(D')在(AB)上，(B')在(AD')上，可进一步推导(\angleB'AF=\angleBAF)（折叠对应角），结合(AB=AD')（第一次折叠），可能存在(\triangleAB'F\cong\triangleABF)（AAS判定）。总结：多次折叠问题需分阶段分析每次折叠的对应关系，逐步推导全等三角形，综合应用多种判定定理。04易错点与解题策略总结易错点与解题策略总结在教学实践中，学生在解决矩形折叠问题时常见以下误区