西南名校联盟2026届“3+3+3”高考备考诊断性联考（一）数学试卷（含答案）

西南名校联盟2026届“3+3+3”高考备考诊断性联考(一)

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答

题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求)

1.已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A∩B=

A.{0,1}B.{0,2}

C.{-1,1}D.{0,2,3}

2.已知函,则它的最小正周期、初相分别是

A.2π,B.

C.2π,-2D.,-2

3.已知复数(i为虚数单位),则|z|=

AB

CD

4.已知向量a=(1,2),b=(2,m),若a与6共线，则实数m=

A.-1B.1C.2D.4

数学·第1页(共6页)

凹凸学长

5.已知0为坐标原点，过双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂

线，垂足为点M,过M作x轴的垂线，垂足为N,若N为OF的中点，则双曲线的离

心率为

A.1B.√2C.√3D.2

6.如图1是某古代建筑的屋顶结构模型，其中ABCD为矩形，AB=40m,AE,DE,BF,

CF为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10m,圆心角为已知区域ABFE和DCFE

是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为

A.

B.

图1

C.200πm²

D.

7.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为

√3,角A的平分线交边BC于D,且BD=2DC,则a为

A.√14B.√10

C.√2D.1

8.已知函数若对于任意的实数x,不等式16f(2x-a)≤f(x²+2)

恒成立，则实数a的取值范围为

A.(1,+∞)

B.[1,2]

C.

D.(2,+∞)

数学·第2页(共6页)

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二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知0为坐标原点，F是抛物线C:y²=8x的焦点，A,B,D是C上的三个点，且

A(m,2√2),则下列说法正确的是

A.C的准线方程为x=-2

B.|AF|=4

C.直线OA的斜率为√2

D.若B,D,F三点共线，则|BD|的最小值为8

10.已知等比数列{a,|的公比为q,前n项和为S₀,a₁+a₂=3,a₄+a₅=24,则下列说法正

确的是

A.q=2B

C.a₇+ag+a₉=504

11.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,线段B₁D₁上有两个动点E、F,且EF=√2,则

下列说法正确的是

A.AC⊥EF

B.三棱锥A-EFC的体积为定值

C.过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等

D.点P是平面BDD₁B₁内一点，若BP⊥PC₁,则点P的轨迹长度是√6π

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知函数y=ax-2025+2025(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为

13.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6),先后抛掷

两次，将得到的点数分别记为m,n,若向量a=(2m-3,n-1,4),6=(1,1,-1),

则a⊥6的概率是

14.已知f(x)=x³+mx²+nx+p(m,n,p∈R),f'(x)是f(x)的导函数，若f(x)有且只有两

个不同的零点，且f(x)和f'(x)的零点均在集合|3,1,-3|中，则f(x)的极大值为

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四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周

参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学在某一周参与志愿服务的数据，结果

如下表：

一周参与志愿服务次数123456合计

男生人数46643225

女生人数11359625

合计579912850

(1)若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”,其余的称

为“一般参与”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，

能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系；

志愿服务

性别合计

一般参与积极参与

男生

女生

合计

(2)若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”,在样本的8名“最

美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y,求Y的分布

列和数学期望.

附：,n=a+b+c+d.

α0.10.050.01

xa2.7063.8416.635

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16.(本小题满分15分)

在正项数列{a}中，a₁=4,an+1-aₙ=4√aₙ+4.

(1)证明：数列{√an是等差数列；

(2)记设数列{bn}的前n项和为Sₙ,证明：

17.(本小题满分15分)

如图2,在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD,M是AD的中点，P是BM的中点，点

Q在棱AC上，且AQ=3QC.

(1)求证：PQ//平面BCD;

(2)若△BCD是边长为2的等边三角形，且三棱锥A-BCM的体积为,求平面

BCM与平面ACD夹角的余弦值.

图2

数学·第5页(共6页)

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18.(本小题满分17分)

已知F₁,F₂是椭圆厂：(a>b>0)的左、右焦点，椭圆厂的离心率为·,短轴

长为2√3.

(1)求椭圆厂的标准方程；

(2)不重合的两直线l,l₂过点F₂且分别与椭圆I交于A,B和C,D两点，L₁,l₂

不与坐标轴平行或重合，并满

(i)试判断两直线l,l₂的斜率关系并写出证明过程；

(ii)若两直线l₁,l的斜率正负号相同，M,N分别为线段AB和CD的中点，求证：

MN过定点(4,0).

19.(本小题满分17分)

已知函(x+1).

(1)若a=b=0,c=1,求f(x)在x=0处的切线方程；

(2)若b=2a,c=0且f(x)在定义域内有三个零点x₁,x₂,x₃(x₁<x₂<x₃),求a的取

值范围；

(3)在(2)的条件下，请找出f(x)与的关系，并证明：

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数学参考答案

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求)

题号12345678

答案BBCDBDAD

【解析】

3.由题,所以故选C.

另解：

4.,所以m=4,故选D.

5.双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线的距离为得|FMFb,又

|OFFc,所以|OM|=a,又MN⊥OF且N为OF中点，所以a=b,即该双曲线为等轴

双曲线，所以离心率,故选B.

6.由题意知区域ABFE和DCFE全等，且都是底面半径为10m,高为40m

的圆柱的侧面的一部分.将区域ABFE还原到如图1所示圆柱中，可知

AO₁=10m,AB=40m.由扇形的弧长公式可知，

,由圆柱的侧面积公式可知

图1

,所以被瓦片

覆盖的区域ABFE和DCFE的总面积为故选D.

7.因为,且角A的平分线交边BC于D,且BD=2DC,所以

,即AB=2AC,

数学参考答案·第1页(共10页)

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所以AB·AC=4,所以AB=2√2,AC=√2,由余弦定理BC²=AB²+AC²-2AB·

所以BC=√14,即a=√14,故选A.

8.由题意得如图2所示，因为x²+2≥2,所

以f(x²+2)=[(x²+2)-2]²=x⁴,所以16f(2x-a)≤f(x²+2)=x⁴,

即,因为所以可设(≥2),

所以所以原不等式即又f(x)是

图2

R上的增函数，所以对x∈R恒成立，所以x²-8x+4a+8≥0,则

△=64-4(4a+8)≤0,即a≥2,故选D.

二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

题号91011

答案ADABABD

【解析】

9.对于选项A:由抛物线方程可得2p=8,即p=4,且焦点在x轴正半轴上，所以C的准线

方程为.,故A正确；对于选项B:令y=2√2,得x=1,所以A(1,2√2),由

抛物线定义得：|AF|=1+2=3,故B错误；对于选项C:由选项B知A(1,2√2),所以直

线OA的斜率为,故C错误；对于选项D:若B,D,F三点共线，则|BD|的

最小值为通径，令x=2得y²=16,所以y=±4,所以|BD|的最小值为8,故D正确，故

选AD.

10.对于A,,则q=2,A正确；对于B,由a₁+a₂=3,有a₁+2a=3,所

以a₁=1,所以，,B正确；对于C,S₃,S₆-S₃,

数学参考答案·第2页(共10页)

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S₉-S₆成等比数列，S₃=7,S₆-S₃=56,所以S₉-S₆=56×8=448,即a₇+a₈+ag=448,

C错误；对于D,a=a₁·q”⁻¹=2”-¹,所!,D错

误，故选AB.

11.对于A,因为AC⊥BD,BD//EF,所以AC⊥EF,A正确；对于B,取B₁D₁中点0,

则由于正方体的结构特征及已知，EF⊥平面ACO,以平面ACO为底面，则

为定值，B正确；对于C,过点A与体对角线平行或重合的4

条直线均满足要求，C错误；对于D,点P在以BC₁的中点G为球心，半径为√2的球面

上，动点P的轨迹为平面BDD₁B₁与球G的球面的交线，点P在四边形BDD₁B₁内的轨迹

是圆，AC⊥平面BDD₁B₁,设球心G到平面BDD₁B₁的距离为,平面BDD₁B₁

截球G所得截面圆的半径为r,,因此动点P的轨迹长度为√6π,D正

确，故选ABD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

题号121314

答案(2025,2026)0

【解析】

12.令x-2025=0,解得x=2025,此时y=a⁰+2025=2026,所以函数y=aˣ-202⁵+2025

(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P(2025,2026).

13.先后抛掷两次正方体骰子，用数组(m,n)表示可能的结果，m是第一次抛掷的点数，n是

第二次抛掷的点数，则试验的样本空间为Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有

36个样本点，由a⊥b得a·b=0,∴2m+n=8,满足题意的样本点共3个：

{(1,6),(2,4),(3,2)},所以a⊥b的概率

14.由题意可知，f(x)有且只有两个不同的零点，设f(x)=(x-a)(x-b)²(a≠b),则

数学参考答案·第3页(共10页)

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.令f'(x)=0,得.,x=b,由(

中，且a≠b,经检验得1,a=3,b=-3.此时f(x)=(x-3)(x+3)²,

f'(x)=3(x+3)(x-1).令f'(x)=0,得x=-3或x=1,由单调性可知，f(x)的极大值为

f(-3)=0.

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

解：(1)根据统计表格数据可得列联表如下：

志愿服务

性别合计

一般参与积极参与

男生20525

女生101525

合计302050

……………………(2分)

零假设为H₀:性别与参与志愿服务情况独立，即性别因素与学生志愿服务的参与积极性

无关，…………………(3分)

根据列联表的数据计算可得

………………………(5分)

因为x²≈8.333>3.841,………………·6分)

所以，依据小概率值α=0.05的x²独立性检验，认为性别因素与学生参与志愿服务的积

极性有关系.

……………………(7分)

(2)由题可知8名“最美志愿者”有2名男生，6名女生，所以Y的所有可能取值为

0,1,2,………………(8分)

且Y服从超几何分布，Y的分布列为：,k=0,1,2,

数学参考答案·第4页(共10页)

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…………………(11分)(写对一个给1分，共3分)

………………………(13分)

(备注：体现期望公式E(Y)=YP₁+Y₂P₂+Y₃P₃得1分，结论1分)

16.(本小题满分15分)

证明：(1)由a叫-a=4√aa+4,得a₄+₁=(√aₙ+2)²,…(3分)

因为数列{a,}为正项数列，所以√a+1=√aₙ+2,即√aa+-√an=2,

………………………(5分)

又因为√a=2,所以数列{√a是以√a₁=2为首项，2为公差的等差数列.

…………………(7分)

(2)由(1)可知，√aₙ=2+2(n-1)=2n,即aₙ=4n²,(9分)

………(12分)

,………(14分)

∵n∈N',.……(15分)

17.(本小题满分15分)

(1)证明：取BD的中点为E,在CD上取点F,使DF=3FC,

连接PE,EF,QF,如图3,………………(1分)

因为P是BM的中点，所以PE//AD,

……………(2分)图3

又因为AQ=3QC,所以QF//AD,,………(3分)

所以PE//QF,PE=QF,…………(4分)

数学参考答案·第5页(共10页)

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即四边形EFQP为平行四边形，所以PQ//EF,(5分)

因为PQα平面BCD,EFc平面BCD,

∴PQ//平面BCD.………(6分)

(2)解：设AD=a(a>0),

因为AD⊥平面BCD,M是AD的中点，

所以VA-BCD=Vc-BAD=2Vc-BAN=2VA-BCM,

所以a=4.…………(7分)

分别取CD,AC的中点0,G,连接OB,OG,如图4,

则OG//AD,

因为AD⊥平面BCD,所以OG⊥平面BCD,

又因为△BCD为正三角形，所以OB⊥CD,

即OB,OC,OG两两垂直，图4

以OB,OC,OG为x,y,z轴建系，……………………(8分)

则BC=(-√3,1,0),CM=(0,-2,2),(9分)

设平面BCM的一个法向量为m=(x,y,z),

则

=m=(1,√5,3),……(11分)

平面ACD的一个法向量为n=(1,0,0),(12分)

所以,………(14分)

所以平面BCM与平面ACD的夹角的余弦值为.………………(15分)

18.(本小题满分17分)

(1)解：由题意得，短轴长为2√3,所以2b=2√3,解得b=√3,

……(1分)

数学参考答案·第6页(共10页)

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,所,则a=2,……(2分)

所以椭圆厂的标准方程为.………………(3分)

(2)(i)解：↓与l2斜率存在且不为零，不妨设l的方程为y=k₁(x-1)(k₁≠0),

联立,消去y,可得(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0,

……………………(4分)

设A(x,y₁),B(x₂,y₂),则

△=64k⁴-4(3+4k²)(4k²-12)=144(k²+1)>0,……(5分)

………………(7分)

在|AB|的表达式中用“k₂”代“k₁”可得|

……………………(9分)

…………………(10分)

,(3+4k²)(k²+1)+(3+4k2)(k²+1)=7(k²+1)(k²+1),

得k²k²=1,则k₁k₂=1或k₁k₂=-1.……(12分)

(ii)证明：解法1:由第(2)(i),由M是AB中点，则

……………(13分)

数学参考答案·第7页(共10页)

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,即;………………(14分)

将换,………………(15分)

k₁,则

则直线MN的方程为

…………………(16分)

则直线MN恒过定点(4,0)得证.……………(17分)

解法2:由第(2)(i),由M是AB中点，则

…………………(13分)

,即;………………(14分)

将k换为……………(15分)

₁,则

记定点(4,0)为点T,

MN过定点(4,0)得证.…………(17分)

19.(本小题满分17分)

解：(1)由a=b=0,c=1可得则f(0)=1,

…………(1分)

数学参考答案·第8页(共10页)

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,则f'(0)=-2,…………………(3分)

所以f(x)在x=0处的切线方程为y-1=-2(x-0),即y=-2x+1.

…………………(4分)

(2)由知，f(0)=0,

………………(5分)

…………