绳球与杆球模型对比试卷

绳球与杆球模型对比试卷一、基础概念辨析题（一）填空题绳球模型中绳子只能提供____（填“拉力”或“支持力”），杆球模型中轻杆既能提供____又能提供____。质量为m的小球在长为L的轻绳约束下做竖直面圆周运动，通过最高点的最小速度为____；若换成轻杆约束，最小速度为____。绳球模型在最低点时，绳子拉力T与重力mg的关系为T=；杆球模型在最高点时，若杆表现为支持力，则杆的作用力F与重力的关系为F=。（二）判断题绳球模型在圆周运动过程中，绳子始终处于绷紧状态（）杆球模型在最高点时，杆对小球的作用力一定竖直向上（）两种模型在最低点时的向心加速度大小均为v²/L（）二、动力学分析计算题（一）绳球模型专项例题1：如图所示，质量m=0.5kg的小球用长L=1m的轻绳悬挂于O点，在最低点以v₀=5m/s的初速度水平抛出，忽略空气阻力（g=10m/s²）。求：（1）小球通过最高点时的速度大小；（2）小球在最高点时绳子的拉力；（3）若绳子能承受的最大拉力为35N，判断小球能否完成完整圆周运动。解析：（1）由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_0^2=mg\cdot2L+\frac{1}{2}mv^2$代入数据解得：$v=\sqrt{v_0^2-4gL}=\sqrt{25-40}=\sqrt{5},\text{m/s}$（注：此处需验证v是否满足最小速度要求$\sqrt{gL}=3.16,\text{m/s}$，因$\sqrt{5}\approx2.24<3.16$，故实际无法通过最高点，题目条件需修正初速度为v₀=6m/s，则v=√(36-40)无意义，说明需重新设定初速度使v≥√gL）修正题：将初速度改为v₀=7m/s，求最高点速度：$v=\sqrt{7^2-4\times10\times1}=\sqrt{49-40}=3,\text{m/s}$（仍小于√10≈3.16m/s，继续修正为v₀=8m/s）$v=\sqrt{64-40}=\sqrt{24}\approx4.9,\text{m/s}>\sqrt{10},\text{m/s}$，满足条件。（2）最高点向心力方程：$T+mg=m\frac{v^2}{L}$代入数据：$T=0.5\times\frac{24}{1}-0.5\times10=12-5=7,\text{N}$（3）最低点拉力计算：$T-mg=m\frac{v_0^2}{L}$$T=0.5\times\frac{64}{1}+5=32+5=37,\text{N}>35,\text{N}$，绳子断裂，无法完成圆周运动。（二）杆球模型专项例题2：质量m=1kg的小球固定在长L=0.5m的轻杆一端，绕另一端O在竖直面内做圆周运动，通过最高点时速度v=2m/s（g=10m/s²）。求：（1）杆对小球的作用力大小及方向；（2）若小球在最高点时杆的作用力为零，求此时速度；（3）若小球恰好能通过最高点，求最低点的初速度。解析：（1）假设杆提供支持力（方向向上），向心力方程：$mg-F=m\frac{v^2}{L}$$F=mg-m\frac{v^2}{L}=10-1\times\frac{4}{0.5}=10-8=2,\text{N}>0$，假设成立，方向竖直向上。（2）作用力为零时：$mg=m\frac{v^2}{L}\Rightarrowv=\sqrt{gL}=\sqrt{5}\approx2.24,\text{m/s}$（3）“恰好通过最高点”对应最小速度v_min=0，由机械能守恒：$\frac{1}{2}mv_0^2=mg\cdot2L\Rightarrowv_0=\sqrt{4gL}=\sqrt{20}\approx4.47,\text{m/s}$三、临界条件分析题（一）多解问题讨论例题3：小球在轻杆约束下做竖直圆周运动，当通过某位置时杆的作用力为零，该位置可能在（）A.最高点B.最低点C.左侧水平位置D.右侧水平位置答案：A解析：杆的作用力为零仅在重力恰好提供向心力时成立，此时$v=\sqrt{gL}$，该速度仅在最高点可能出现（水平位置向心力需由杆的水平分力提供，无法为零）。（二）能量与临界综合题例题4：如图所示，光滑轨道由四分之一圆弧AB与水平轨道BC平滑连接，圆弧半径R=0.8m。质量m=0.2kg的小球从A点静止释放，进入BC段后与轻杆模型（杆长L=0.4m）连接，继续在竖直面内做圆周运动（g=10m/s²）。求：（1）小球到达B点时的速度；（2）小球通过杆球模型最高点的最小速度；（3）判断小球能否完成杆球模型的完整圆周运动。解析：（1）圆弧轨道机械能守恒：$mgR=\frac{1}{2}mv_B^2\Rightarrowv_B=\sqrt{2gR}=\sqrt{16}=4,\text{m/s}$（2）杆球模型最小速度为0（3）假设小球能通过最高点，由机械能守恒：$\frac{1}{2}mv_B^2=mg\cdot2L+\frac{1}{2}mv^2$$v^2=v_B^2-4gL=16-16=0$，恰好到达最高点速度为0，能完成圆周运动。四、实验探究题实验目的：验证绳球与杆球模型在竖直圆周运动中的临界速度差异实验器材：铁架台、轻绳、轻杆、小球（质量m已知）、秒表、刻度尺、力传感器实验步骤：组装绳球模型，测量绳长L，用传感器记录绳子拉力随时间变化；使小球从不同高度释放，观察能否通过最高点，记录最小释放高度h₁；换用轻杆重复实验，记录最小释放高度h₂；计算理论值：绳球模型h₁=5L/2（由mg(h₁-L)=1/2m(gL)推导），杆球模型h₂=2L。数据处理：|模型类型|实际最小高度（m）|理论最小高度（m）|相对误差||----------|-------------------|-------------------|----------||绳球|||||杆球||||误差分析：空气阻力导致实际高度大于理论值；绳/杆的微小形变影响长度测量；传感器响应延迟导致拉力峰值测量偏差。五、综合应用题例题5：如图所示，质量m=2kg的小球用长L=1m的轻杆连接，绕O点在竖直面内做圆周运动，通过最低点时速度v₁=6m/s，重力加速度g=10m/s²。求：（1）小球在A（与O等高的右侧位置）的速度大小；（2）小球在B（最高点）和C（最低点）时杆的作用力，并比较两者大小关系；（3）若在最高点时突然剪断杆，小球做何种运动？经多长时间落地？解析：（1）机械能守恒：$\frac{1}{2}mv_1^2=mgL+\frac{1}{2}mv_A^2$$v_A=\sqrt{v_1^2-2gL}=\sqrt{36-20}=4,\text{m/s}$（2）最低点C：$T_C-mg=m\frac{v_1^2}{L}\RightarrowT_C=20+2\times36=92,\text{N}$（竖直向上）最高点B：$\frac{1}{2}mv_1^2=mg\cdot2L+\frac{1}{2}mv_B^2\Rightarrowv_B=\sqrt{36-40}=\text{无解}$（修正v₁=7m/s，则v_B=√(49-40)=3m/s）$T_B+mg=m\frac{v_B^2}{L}\RightarrowT_B=2\times9-20=-2,\text{N}$（负号表示方向竖直向上，为支持力）（3）剪断杆后小球做平抛运动，下落高度H=2L=2m，竖直方向：$H=\frac{1}{2}gt^2\Rightarrowt=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{0.4}\approx0.63,\text{s}$六、拓展创新题问题：若将绳球模型中的绳子替换为劲度系数k=100N/m的轻质弹簧，小球质量m=0.1kg，原长L=0.5m，在最低点以v₀=4m/s速度运动，求弹簧伸长量x在最高点时的可能取值（g=10m/s²）。提示：需考虑弹簧弹力的方向不确定性，分拉力和推力两种情况列方程：弹力为拉力：$kx+mg=m\frac{v^2}{L+x}$弹力为推力：$mg-kx=m\frac{v^2}{L+x}$结合机械能守恒：$\frac{1}{2}mv_0^2=mg\cdot2(L+x)+\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2$（注：弹簧弹性势能需纳入能量方程，计算过程较复杂，建议取x=0.1m验证）参考答案及评分标准一、基础概念辨析题（一）填空题拉力；拉力；支持力√(gL)；0mg+mv²/L；mg-mv²/L（二）判断题×（速度过小会导致绳子松弛）×（速度过大时表现为拉力，方向向下）√二、动力学分析计算题（一）绳球模型专项（例题1修正后）（1）v=√(v₀²-4gL)=√(64-40)=√24≈4.9m/s（2分）（2）T=mv²/L-mg=0.5×24/1-5=7N（3分）（3）最低点T=mv₀²/L+mg=0.5×64