专题3.4 圆锥曲线二级结论小题归纳（期末复习讲义）解析版

1/3专题3.4圆锥曲线二级结论小题归纳（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律焦半径、焦点弦掌握焦半径的坐标式、角度式公式，焦点弦长、定比模型重难必考点，常出现在小题压轴。焦点三角形面积、周长掌握椭圆双曲线焦点三角形的面积公式、周长公式。高频必考点，常出现在小题，熟练公式，会推导会用。垂径定理与第三定义掌握点差法推导垂径定理与第三定义。高频必考点，常出现在小题。椭圆与双曲线公焦点掌握椭圆双曲线共焦的性质。重难必考点，常出现在小题。焦点三角形的内切圆与外接圆掌握椭圆双曲线焦点三角形的内切圆与外接圆的性质重难必考点，常出现在压轴小题。双曲线的渐近线掌握双曲线的渐近线一些常考的结论性质。高频必考点，考双曲线就离不开渐近线的性质。阿基米德三角形掌握阿基米德三角形的结论、性质。重难必考点，考抛物线的多选题蒙日圆掌握蒙日圆相关的结论。重难点，常出现在小题知识点01焦半径、焦点弦1、椭圆焦半径设为椭圆上的一点，F为椭圆的一个焦点，∠PFO=θ焦半径坐标式①焦点在轴：焦半径(左加右减)；②

焦点在轴：焦半径(上加下减)．焦半径角度公式：PF2、双曲线焦半径设为双曲线上的一点，F为双曲线的一个焦点，∠PFO=θ①焦点在轴：在左支，在右支；②焦点在轴：在下支，在上支．焦半径角度公式：PF=3、抛物线焦半径设为抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，∠PFO=θ①焦点在轴：焦半径PF=x②

焦点在轴：焦半径PF=y焦半径角度公式PF4、定比模型椭圆、双曲线的过焦点的弦AB倾斜角为α，斜率为k，若焦点分得AF|BF|=λ，则e知识点02焦点三角形的周长与面积1、椭圆面积椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则，PF1 PF2、双曲线的面积双曲线的焦点为F1、F2，P为双曲线上的点，∠F1S3、若P(x知识点03垂径定理与第三定义椭圆的垂径定理与第三定义已知直线l与椭圆E:x2a2+y2b已知A，B为椭圆E:x2双曲线的垂径定理与第三定义已知直线l与双曲线E:x2a2−y2b如图，已知A，B为双曲线E:x另外，若A，B为双曲线渐近线上两点，M为AB中点，若斜率都存在同样也有k知识点04椭圆与双曲线共焦点椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2，P是它们的一个公共点，设∠1、由△F1PF2、根据e12=c2知识点05焦点三角形的内切圆与外接圆椭圆的焦点三角形内切圆点P(x0,y0)为椭圆C:x2结论一、e=IM结论二、有xI=e双曲线的焦点三角形内切圆结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为a知识点06双曲线的渐近线双曲线渐近线的一些性质：双曲线的焦点到渐近线的距离为b.以两焦点F1F2过双曲线上点P作两渐近线的平行线PA，PB，它们和渐近线围成的平行四边形的面积为定值ab过双曲线上点P作两渐近线的垂线PA，PB，则有PAPB=过双曲线上点P作双曲线的切线交两渐近线于A、B两点，则△AOB为双曲线的渐近三角形，则P是AB的中点，OA∙知识点07阿基米德三角形阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。1、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）性质1：MF性质2：MN//x轴；性质3：S2、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）性质1、阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．性质2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点Cx0,y0，则点P的轨迹为直线y0y=p半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则xp=性质3、若P点轨迹为直线ax+by+c=0，且该直线与抛物线没有公共点，则定点Cc设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标性质4、阿基米德三角形的面积的最大值为a3性质5、∠PFA=∠PFB，PF²=AF×BF知识点08蒙日圆蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是：‌圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，切线交点的轨迹构成一个圆‌。以下是具体性质和结论：1、椭圆的蒙日圆：x²+y²=a²+b²2、双曲线的蒙日圆：x²+y²=a²−b²题型一焦半径、焦点弦解｜题｜技｜巧焦半径、焦点弦的角度式公式均由圆锥曲线的第二定义推导而来，即圆锥曲线上的点到焦点跟到准线的距离比等于离心率e。熟悉角度式公式，要会推导，能应用。【典例1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的上，下焦点分别为，，抛物线的焦点与椭圆的上焦点重合，过的倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意以及椭圆的几何性质得，，以及抛物线的标准方程以及其在点处的切线方程，进而即可求解.【详解】解：由题可知，直线AB的斜率k为，设，则椭圆的离心率，所以，，即焦点坐标为，所以抛物线方程为，故在点处的切线方程为，令，，因为，所以是首项2，公比的等比数列，即故选：A.【典例2】（多选）（24-25高二上·吉林·期末）过抛物线C：的焦点F作弦AB交抛物线于，两点，O为坐标原点，则（

）A．抛物线C的准线方程为 B．C． D．【答案】ACD【分析】设AB直线方程为，根据抛物线的几何性质，设而不求法及根与系数的关系，即可分别求解．【详解】物线C：的焦点到准线的距离为，焦点F为，准线方程为，选项正确；设AB直线方程为，联立，可得，又，，，，选项正确；，，，选项正确；，，，选项错误．故选：ACD.【变式1】（多选）（24-25高二上·湖北武汉·期末）抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．若，则 D．【答案】BCD【分析】由题设直线AB的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断A，B；再依次应用抛物线焦点弦长公式和焦半径公式计算即可判断C，D..【详解】对于AB，由抛物线的方程可知，，即，，直线AB的斜率不可能为0，设其方程为，联立，消去x，得，，故，故A错误，B正确；对于C，若，则，则，C正确；对于D，由抛物线的定义知，，又，，即选项D正确.故选:BCD【变式2】（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为，过点作直线交椭圆于，两点，若直线的倾斜角为45°，且，则椭圆的离心率是．【答案】/【分析】如图，设，，由，，椭圆的定义及余弦定理可得，据此可得答案.【详解】如图，为椭圆右焦点，由题可得，设，则，又，则由余弦定理：.设，则，又，则由余弦定理：.从而，所以.故答案为：

题型二焦点三角形的周长与面积解｜题｜技｜巧熟记焦点三角形的周长公式、面积公式【典例1】（多选）（24-25高二上·四川达州·期末）已知焦点在轴上的椭圆，左焦点，右焦点，为椭圆上且不在轴上的一点，则下列说法正确的是（

）A．的取值范围是B．当焦距为4时，离心率为C．当离心率为时，的周长为D．当长轴长为时，的面积最大值为4【答案】CD【分析】根据椭圆方程以及几何性质可得AB错误，由焦点三角形周长计算可得C正确，根据面积最大值的表达式可得D正确.【详解】对于A，因为椭圆的焦点在轴上，因此可得，即A错误；对于B，当焦距为4时可得，即，可得，所以；因此离心率为，即B错误；对于C，结合B选项可得，；所以的周长为，即C正确；对于D，当长轴长为时可得，又，所以的面积最大值为，即D正确.故选：CD【典例2】（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）设双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则双曲线C的两条渐近线的方程是B．若点P的坐标为，则双曲线C的离心率大于3C．若，则的面积等于D．若双曲线C为等轴双曲线，且，则【答案】BCD【分析】对于A双曲线的两条渐近线的方程是即可判断，对于B将点代入双曲线方程即可得，由即可判断，对于C若，则有，根据双曲线的定义有，最后由面积公式即可判断，对于D若双曲线C为等轴双曲线，则，得，由，得，，代入余弦定理即可判断.【详解】对于A：当，时，双曲线的两条渐近线的方程是，故A错误；对于B：若点，则，故B正确；对于C：若，则有，根据双曲线的定义有，所以有，所以的面积为，故C正确；对于D：若双曲线C为等轴双曲线，则，所以，因为，，，在中，由余弦定理有，故D正确.故选：BCD.【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的离心率为 B．存在点使得C．若，则 D．面积的最大值为12【答案】BCD【分析】根据离心率的公式即可判断A；设，根据向量的数量积即可判断B；根据椭圆的定义可判断C；由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断D.【详解】由，则，，，焦点在轴上，，，对于A，离心率，故A错误；对于B，设，，，若，则,即，解得，故存在点A使得，故B正确；

对于C，在中，，若，则，当为通径时，，当为长轴时，，所以，此时满足，故C正确；对于D，当点在左右顶点时，面积的最大值，即.故选：BCD.【变式2】（多选）（25-26高二上·四川达州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（

）A．的周长为16 B．面积的最大值为12C．存在点P，使得∠ D．的取值范围为【答案】BCD【分析】求出给定椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可.【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，

对于A：的周长为，A错误；对于B：设，，则，B正确；对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交，当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确；对于D：，，D正确.故选：BCD题型三垂径定理与第三定义解｜题｜技｜巧遇到弦的中点或者两个关于原点对称的点时，又跟斜率一起出现，可以考虑使用垂径定理与第三定义的结论。【典例1】（多选）（24-25高二上·四川内江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线交椭圆C于A、B两点，P为椭圆C上的一动点，则（

）A．当时，四边形的周长为定值8B．当为直角三角形时，C．当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为D．当直线与的斜率之差为2时，【答案】ACD【分析】由题意，根据椭圆的定义即可判断A；当时，求出点P的坐标，代入三角形面积公式中即可判断B；设出A，B，P的坐标，结合斜率公式即可判断C；将直线与的斜率之差表述出来，结合点P在椭圆上，可得，代入三角形面积公式中即可判断D.【详解】对于A：因为椭圆，所以，，，即，，则四边形的周长为，正确；对于B：当时，设，因为点P在椭圆上，解得，取，则，错误；对于C：因为直线交椭圆C于A，B两点，所以A，B两点关于原点对称，设，，，因为，两式相减并整理得，因为，，所以，正确；对于D：易知，，所以，整理得，因为点P在椭圆上，所以，解得，则，正确．故选：ACD【典例2】（多选）（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的右顶点为，过点A作的一条切线与双曲线交于点B，若AB中点为P，且，过点A作的另一条切线与双曲线交于点D，设直线AB，AD的斜率分别为，，则下列结论正确的是（

）A．双曲线方程为 B．双曲线的离心率C． D．过定点【答案】ABD【分析】根据题意设点代入方程化简得出即求出离心率判断B，得出轨迹方程可判断A，结合点到直线距离及韦达定理即可判断C，应用斜率公式计算求解得出定点判断D.【详解】设，，将，代入双曲线方程得：①，②，①-②得：，即，由题可知，，，所以，又因为是AB中点，所以，，即，所以，则，故B正确;由题得，，所以双曲线方程为，故A正确；圆M的圆心为，半径为r，设切线方程为，则，即，则，是上述方程的两根，根据韦达定理可得，故C错误;由，则，，设AD的中点为Q，由①可得：，即：，，因为，，所以③，④，因为，将③④分别代入，则：，即⑤，，即⑥，⑤-⑥得：，所以直线BD过定点，故D正确.故选：ABD.【变式1】（24-25高二上·河南·月考）如图，已知，是双曲线的右支上的两点（点在第一象限），点关于坐标原点对称的点为，且，若直线的斜率为，则该双曲线的离心率为．【答案】【分析】作图，取的中点并连接，得到，，从而求出直线的斜率，设，，利用点差法得到的值，再根据离心率的公式计算即可得结果.【详解】如图，设直线与轴交于点，取的中点，连接，由双曲线的对称性可知为线段的中点，则，所以．由直线的斜率，得，则直线的斜率．设，，则两式相减，得，化简得，即，所以该双曲线的离心率．故答案为：【点睛】方法点睛：本题主要用到了点差法，即利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出两交点的中点坐标和直线斜率的关系，然后再结合题中的相应条件建立等式便可解决问题.【变式2】（多选）（25-26高二上·福建漳州·期中）已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（

）A． B． C．1 D．3【答案】BCD【分析】首先利用点差法求出，然后设，写出的表达式，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设，因为直线的斜率为1，的中点坐标为，所以，，，把代入椭圆方程得，两式相减得，整理得，即，所以，所以椭圆方程为，设，则，由二次函数性质可知当时，，当时，，所以的取值范围为，适合题意的有BCD中的数值，故选：BCD题型四椭圆与双曲线共焦点解｜题｜技｜巧椭圆与双曲线共焦点，则焦距一致，且焦点三角形一致。【典例1】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设椭圆与双曲线的离心率分别为、，利用圆锥曲线的定义与余弦定理建立、、的关系式，进而推导出，结合，利用不等式的性质算出的取值范围．【详解】设椭圆的长轴长为2m，双曲线的实轴长为2n，它们的焦距为2c，且设点P在第一象限，则根据椭圆与双曲线的定义，可得，解得在中，，由余弦定理得，即，整理得两边都除以c，可得，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则可得，整理得，因为，所以，可得，所以，可得，可得故选：【典例2】（24-25高二上·重庆·期末）已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根据椭圆和双曲线定义可求得，再利用勾股定理以及离心率定义化简计算可得结果.【详解】如下图所示：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为；易知，解得；又，利用勾股定理可得，即，整理可得，即，即，所以.故选：D【变式1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P、Q是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为【答案】1【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用椭圆与双曲线的性质、余弦定理得，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值.【详解】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，部分设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义得，所以，因为，所以，根据对称性知四边形为平行四边形，所以，所以为等边三角形，所以，在中，由余弦定理得，化简得，即，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1．故答案为：1【变式2】（多选）（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，记与的离心率分别为与.下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．的最小值为1D．记的内心为M，若垂直于x轴，则垂足H为的右顶点【答案】ABD【分析】根据给定条件，利用椭圆与双曲线的定义，结合它们离心率的定义逐项进行判断.【详解】令，由，得，对于A，，解得，，解得，因此，A正确；对于B，由，，得，则，，而，则，B正确；对于C，，则，，C错误；对于D，令的内切圆切分别于点，由轴于，得为圆切的切点，显然，由，得，因此，解得，即点为的右顶点，D正确.故选：ABD

题型五焦点三角形的内切圆与外接圆解｜题｜技｜巧圆与三角形切点分得三角形边长关系，找内切圆圆心的位置。内切圆的圆心是三角形角分线的交点，再者可以考察角分线定理。还可以通过面积公式，算内切圆的半径。【典例1】（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为．【答案】【分析】直线的方程为，设，联立方程组利用弦长公式求得，结合弦长可得，进而可求离心率，结合，求得椭圆的方程，进而求得的坐标，进而利用外心与内心的性质求得的坐标，进而可求.【详解】由题意可得直线的方程为，设，联立，消去，得，整理得，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以离心率；当时，可得，所以椭圆的方程为，所以，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得或，可得，故在轴上，设内切圆的半径为，所以，所以，所以，即，又的中点坐标为，的中点坐标为，，所以的垂直平分线的方程为，即，的垂直平分线的方程为，即，联立，解得，所以，所以.故答案为：；；【点睛】关键点点睛：关键在于利用直线方程与椭圆方程联立方程组求得弦长，利用已知可得，进而可求离心率.【典例2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若，的内切圆半径分别为，，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】联立直线与双曲线，求出点和，根据双曲线定义，结合焦点三角形的面积、周长公式，可分别求得和的内切圆半径，，相乘即可.【详解】双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且倾斜角为，故方程为.联立直线方程与双曲线方程，得，解得或，故不妨设交点，，则，，在和中，有和，所以，，则的周长为，的周长为，分别设和的内切圆半径为，，则，，又，，所以，解得，同理可得，所以.故选：A.【点睛】思路点睛：由题设先求出A、B两点坐标，再双曲线定义以及两点间距离公式求出两三角形的三边，再利用与三角形内切圆相关的三角形面积公式即可求解.【变式1】（多选）（24-25高二上·河北保定·期末）已知，分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆C上一动点，I为内切圆的圆心，连接MI并延长交x轴于Q，若，则（

）A．椭圆C的离心率B．的取值范围为C．若l是C在M点处的切线，过，分别作l的垂线，垂足为A，B，则D．点I的轨迹方程为【答案】ABD【分析】A.根据角平分线定理，以及椭圆的性质，即可判断；B.根据向量数量积的极化恒等式，以及的范围，即可判断；C.根据椭圆的切线方程，以及代入点到直线的距离公式，即可判断；D.【详解】连接，，，，故A正确；，因为，所以，，则，的取值范围为，故B正确；设，直线l的方程为，即，则，，故C错误；设，，由等面积可得，，即，故D正确.故选：【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据角平分线的几何性质，以及内切圆的几何性质，结合坐标解决问题.【变式2】（多选）（24-25高三上·山东泰安·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（

）A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为B．若，且，则双曲线的离心率为C．若，，则的取值范围是D．若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为【答案】BD【分析】根据渐近线斜率与夹角的关系可判断A错误；根据双曲线定义以及勾股定理计算可判断B正确；由内切圆性质可得所在直线方程为，根据直线的倾斜角范围与渐近线关系可得，即C错误；利用三角形相似以及余弦定理计算可得D正确.【详解】对于A，若双曲线渐近线的夹角为，则或，故可得或，即A错误；对于B，设，则由以及双曲线定义可得，故，则又，即可得，因此，解得，又，即，可得，即，故双曲线的离心率为，即B正确；对于C，如下图所示：令的内切圆切分别为，则，所以，令点，而，因此，解得；又，则点的横坐标为，同理可得的横坐标也为，即所在直线方程为；设直线的倾斜角为，则，在中，，在中，，又，可得渐近线斜率为，且，因为均在右支上，故，即，因此，可知C错误；对于D，由可得,故，而，可得，又直线的斜率为，所以，由余弦定理可得，解得，即则双曲线的离心率为，可得D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：在求解焦点三角形内切圆问题时，要利用双曲线定义以及切线长性质得出内切圆圆心的横坐标为双曲线的顶点坐标，再利用内心性质可求出半径.题型六双曲线的渐近线解｜题｜技｜巧对双曲线而言，考察的最多的就是渐近线的性质。所以要熟练掌握双曲线的常考的一些性质。【典例1】（2025高二上·全国·专题练习）已知双曲线，椭圆上一点（不在的渐近线上），过点分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，分别交渐近线于，两点，且，则（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】先把点的坐标设成参数形式，再由平行关系可得直线，的方程，与淅近线方程联立可得E，F点的坐标，再由四边形是平行四边形及可得.【详解】由双曲线，得，，故双曲线的渐近线为，设，，，如图：故直线的方程为，直线的方程为.由，解得，即；由，解得，即.再由四边形是平行四边形，且，，所以.故选：B．【典例2】（24-25高二下·四川眉山·期末）已知O为坐标原点，双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为．【答案】【分析】首先画出图形，根据题意先确定是等腰三角形，然后根据双曲线的定义可求得，然后根据离心率求得双曲线的方程，从而得到渐近线方程，然后根据点到直线的距离公式即可求出结果.【详解】设半焦距为，延长交于点，由于是的平分线，，所以是等腰三角形，所以，且是的中点，根据双曲线的定义可知，即.由于是的中点，所以是的中位线，所以，又双曲线的离心率为，所以，所以双曲线的方程为.所以，双曲线的渐近线方程为.设，点到两渐近线的距离为，则.又点在双曲线的右支上，所以，即.则点到两渐近线的距离为.故答案为：.

【变式1】（25-26高二上·安徽·月考）过双曲线上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，.若的面积为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点到直线的距离求出，再由三角形面积公式求出面积，解方程得出，即可求出离心率.【详解】如图，设，因为点在双曲线上，所以，即，因为双曲线的两条渐近线的方程为，所以，设渐近线的倾斜角为，此时，易知，因为，所以，所以的面积，解得，则双曲线的离心率.故选：A【变式2】（25-26高二上·河北沧州·期中）已知双曲线：与椭圆有公共的左、右焦点，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于点，，且线段的中点在另一条渐近线上，则（为坐标原点）的面积为.【答案】6【分析】由椭圆的方程写出焦点，的坐标，得到以线段为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线联立求得点的坐标，进而得到线段的中点的坐标，代入另一条渐近线求得的值，得到双曲线的方程，与圆的方程联立求得点的坐标，根据（为坐标原点）的面积等于求得其面积.【详解】由椭圆知，所以.双曲线：的渐近线方程为.以线段为直径的圆的方程为.由，得，所以，所以.记线段的中点为，则.点在上，所以，解得，所以.所以双曲线的方程为：.由，得，所以.所以（为坐标原点）的面积为.故答案为：.题型七阿基米德三角形解｜题｜技｜巧阿基米德三角形是抛物线小题中重难考点，指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。配合切线方程及三角形的一些性质。【典例1】（多选）（24-25高二上·安徽宣城·期末）抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．三角形ABC面积的最小值为4 D．的最小值为【答案】ACD【分析】求出两点的坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D.【详解】由可得，抛物线的焦点为，准线方程为，对于A，当时，可得，，故A正确；对于B，当时，直线l的方程为，与抛物线方程联立，消去y，化简整理得，解得或，所以，，所以，故B错误；对于C，设直线l的方程为，与抛物线方程联立消去x，化简整理得，设，则，，所以又点C到直线l的距离，所以当且仅当时，等号成立，三角形ABC面积的最小值为4，故C正确；对于D，由抛物线的定义得，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ACD.【典例2】（多选）（25-26高二上·江西九江·月考）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（

）A．焦点到抛物线的准线的距离为4B．C．若的中点的纵坐标为4，则D．若，则【答案】ABD【分析】对A，由抛物线方程求得焦点坐标和准线方程可求解判断；对BCD，设直线，设，则联立直线与抛物线，利用韦达定理求解判断.【详解】对于A：抛物线的焦点，准线方程为：，所以焦点到准线的距离为，A正确；对于B：设直线，设，则由得，所以，又由抛物线定义可得，所以，B正确；对于C：若的中点的纵坐标为，则，得，所以，，C错误；对于D：若，则，又，所以，整理得，又，所以，即，因为，所以，所以，解得，所以，D正确；故选：ABD.【变式1】（多选）（24-25高三上·江苏·期末）已知抛物线C：的焦点为F，A，B为抛物线上的两点，O为坐标原点，分别过点A，B作抛物线C的切线，交于点M，且与x轴分别交于点D，E，则（

）A．若，则点B．若，则直线恒过定点C．若直线过点，则点M恒在直线上D．若直线过点F，则【答案】BCD【分析】根据焦半径公式求点的坐标，判断A，设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示，即可判断B，设直线方程为，与抛物线方程联立，并且利用导数求切线的方程，结合韦达定理，求交点的坐标，判断C,根据C的和过程，分别求点的坐标，代入两点间距离公式，判断D.【详解】A.设，，则，则，即，故A错误；B.设直线，，，联立抛物线方程得，，即，，，所以，得，所以直线恒过定点，故B正确；C.，所以直线方程为，联立，得得，，，则，所以切线，即，同理切线，联立，，得，，则焦点恒在直线上，故C正确；D.由C可知，，，，所以，，所以，故D正确.故选：BCD【变式2】（多选）（25-26高三上·广东湛江·月考）设O为坐标原点，抛物线的准线，P为C上不与O重合的动点，以P为圆心，1为半径作圆，过点作圆P的两条切线交圆P于M,N两点，则（

）A．l始终与圆P相离 B．无最值C．存在点P，使得 D．时，P到l的距离为3【答案】AB【分析】对于A，利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即得；对于B，先求出的取值范围，再根据等面积求出的表达式，推得，即可判断；对于C，通过计算的斜率，利用，可判断不重合，排除该项；对于D，通过反向思考，由结论作为条件，推出矛盾，从而排除D项.【详解】对于A，因抛物线的准线，则，解得，故．设，则，那么P到l的距离为，即l与圆相离，故A正确；对于B，设点，则，因，则四边形AMPN的面积为，可得，故B正确；对于C，因为，AP的斜率为，而OP的斜率为，两者相等当且仅当，而这与题意矛盾，所以与不可能垂直，故C错误；对于D，运用反向思考，若点P到l的距离为3，则易得，由对称性，不妨取，则，由已知，且，可得O，M，P三点共线，由，可得，此时PM斜率为，而AM的斜率为，此时，，即AM与PM不垂直，这与题意矛盾，故D错误．故选：AB．题型八蒙日圆解｜题｜技｜巧以蒙日圆为背景出题，但是题目本质还是考圆锥曲线。记住椭圆双曲线的蒙日圆方程。【典例1】（24-25高二上·福建宁德·期末）加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（

）A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14【答案】D【分析】由椭圆的性质，结合矩形的面积公式及基本不等式的应用求解．【详解】已知椭圆，则，，，结合题意得，该椭圆的“蒙日圆”的半径为，对于A，椭圆M的离心率为，正确；对于B，椭圆M的蒙日圆方程为，正确；对于C，若G为正方形，设G的边长为m，则，即，正确；对于D，G的长为m，宽为n，则，则，当且仅当时取等号，即长方形G的面积的最大值为28，错误．故选：D【典例2】（多选）（24-25高二上·广东揭阳·期末）画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，、为椭圆上两个动点．直线的方程为．则下列结论正确的有（

）A．的蒙日圆的方程为B．在直线上存在点，椭圆上存在、，使得C．记点到直线的距离为，则的最小值为D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为．【答案】ABD【分析】由在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得、关系，由此可知A正确；由过且在蒙日圆上，可知当、恰为切点时，，知B正确；根据椭圆定义可将转化为，可知时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C错误；由题意知，蒙日圆为矩形的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知D正确．【详解】对于A选项，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：，，所以，在蒙日圆上，则蒙日圆方程为，由，得，所以，椭圆的蒙日圆方程为，故A正确；对于B选项，由直线的方程知，直线过，又满足蒙日圆方程，所以，在圆上，当、恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，，故B正确；对于C选项，因为在椭圆上，所以，，所以，，当时，取得最小值，最小值为到直线的距离，又到直线的距离，所以，，故C错误；对于D选项，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆，所以，矩形的对角线为蒙日圆的直径，设矩形的长和宽分别为、，则，所以，矩形的面积，当且仅当时取等号，即矩形面积的最大值为，故D正确.故答案为：ABD．【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项．【变式1】（24-25高二上·湖北咸宁·期末）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆：，若直线：上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是.【答案】【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点.由椭圆方程，如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和，其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径，即，所以，所以椭圆离心率，所以.故答案为：【变式2】（25-26高二上·黑龙江·期中）已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.已知椭圆及其蒙日圆，且椭圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形的面积的比值为．【答案】【分析】根据蒙日圆的定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可.【详解】蒙日圆的标准方程为，不妨设为蒙日圆与轴正、负半轴交点，为蒙日圆与轴负、正半轴交点，可知.则直线的方程为，由，消得到，令，解得，，所以，所以，所以四边形的面积为，易知四边形为正方形，且，所以四边形的面积为，所以四边形与四边形的面积的比值为，因为椭圆离心率为，所以，得，即，所以.故答案为：.期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（多选）（25-26高二上·陕西延安·期中）已知，是椭圆：的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的离心率为 B．弦长的取值范围为C．面积的最大值为12 D．存在点使得【答案】CD【分析】根据离心率的公式即可判断A；根据椭圆性质可判断B，由点在左右顶点时，面积的最大值，可判断C,根据向量的数量积即可判断D；【详解】由，则，，，焦点在轴上，，，对于A，离心率，故A错误；对于B，当时，，当直线与轴重合时，，所以弦长的取值范围为,故B错误；对于C，当点在左右顶点时，面积的最大值，即.故C正确；对于D,对于B，设，，，若，则,即，解得，故存在点A使得，故D正确；故选：CD2．（多选）（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，、是圆与轴的交点，点为该平面内异于、的动点，且直线与直线的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（）A．若，则曲线的离心率为B．若，则曲线方程为C．若，则曲线有渐近线，其渐近线方程为D．若，，过原点的直线与曲线交于、两点，则面积最大值为【答案】ACD【分析】根据斜率的乘积、双曲线、椭圆、三角形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题、，设，有，，且.对于A选项，，即，则，，所以离心率为，A正确；对于B选项，，即，B错误；对于C选项，，即，则，，所以，曲线有渐近线，其渐近线方程为，C正确；对于D选项，，即，由题意可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，有，则，，所以，而点到直线的距离为，所以，所以当时，面积取最大值，D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．3．（24-25高三下·天津·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于两点，，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先直线方程与椭圆方程联立，再根据条件，以及韦达定理，建立等量关系，即可求离心率.【详解】由条件可知，，过点且倾斜角为的直线方程为，设，因为，所以，得，即联立，得，所以，，①，②由①②可得，又因为得，且，得，，所以双曲线的离心率.故选：B4．（24-25高二上·江西上饶·期末）椭圆的左、右焦点分别是，斜率为1的直线过左焦点，交于两点，且的内切圆的面积是，若线段的长度的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合椭圆的定义和的内切圆半径表示的面积，再结合点到直线的距离和线段表示的面积，列式可得关于的关系，再根据的取值范围可求离心率的取值范围.【详解】如图：因为的内切圆的面积是，所以的内切圆的半径为1.结合椭圆的定义：.由到直线：的距离为：，所以.由，又，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用两种方法表示的面积，得到的关系，再求离心率的取值范围.5．（多选）（24-25高三上·河南·期末）已知抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为4，直线经过交于点，分别过作的切线，且两切线交于点，则（

）A．的方程为B．若，则的中点到轴的距离为10C．是直角三角形D．若的中点为，则直线与轴垂直【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义、导数与切线方程、直线交点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，上的动点到焦点的距离的最小值为，则，所以的方程为，故A正确；对于B，焦点，设，因为，则，即，所以的中点到轴的距离为5，故B错误；对于，设直线，由得，则，且，因为，所以，所以是直角三角形，故C正确；对于D，切线的方程为，又，所以切线的方程为.同理，切线的方程为.由且，解得，即.又，所以垂直于轴，故D正确.故选：ACD期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（多选）（24-25高二上·云南玉溪·期中）已知椭圆的左，右焦点为，，A，B分别为它的左右顶点，点P为椭圆上的动点（P不在x轴上），下列选项正确的是（

）A．存在点P使得B．的周长为C．直线PA与直线PB的斜率乘积为D．的最小值为【答案】BD【分析】首先求出、、，根据椭圆的几何性质可知当在椭圆的短轴顶点时取得最大值，即可判断A；根据椭圆的定义判断B；设，求出即可判断C；利用基本不等式判断D.【详解】椭圆，则，，，则，，对于A：当在椭圆的短轴顶点时取得最大值，不妨取，此时，所以为锐角，所以不存在点使得，故A错误；对于B：因为，，所以的周长为，故B正确；对于C：因为，，设，则，故C错误；对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确；故选：BD2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线与椭圆有相同的左、右焦点，分别为，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于，两点，且线段的中点在另一条渐近线上，则的面积为（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】A【分析】首先求出，的坐标以及以线段为直径的圆的方程，联立圆和可得点坐标，进而得出的中点坐标，代入，结合即可求出双曲线方程，再与圆的方程联立可得点坐标，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】由题意可知，所以，，，以线段为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线方程为，由可得，即，因为点在第一象限，所以，，所以，中点为，因为点在渐近线上，所以，即，所以，又由解得，，所以双曲线，联立可得，解得，因为在第一象限，所以，所以的面积，故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出中点坐标，代入结合解出双曲线方程，求出点坐标.3.（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是.【答案】【分析】由椭圆方程和双曲线方程的定义可得，进而由得，设，由，可得，，由可得.【详解】设椭圆和双曲线的方程分别为，，所以，可得，设椭圆的半焦距为，因为，所以，即，化简得，即，即，令，则，取，因为，，所以，，所以，故，则，时，，因为，所以，所以，所以故答案为：4．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线，其左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与双曲线左支交于点中点为．若内切圆半径为，则直线的斜率为．【答案】【分析】根据双曲线的定义及三角形的面积公式，求得.代入双曲线的方程，并由得点P在以O为圆心，c为半径的圆上，联立双曲线和圆的方程，即可求得点P的坐标，从而得到直线的方程，与双曲线方程联立，可求得，利用中点坐标公式求得点M的坐标，进而求得直线的斜率.【详解】如图：由题可知，化简得，即.因为，所以，所以，所以双曲线，设点，则点P在以O为圆心，c为半径的圆上，所以点P的坐标满足，解得，即.所以直线的斜率为，所以直线的方程为.当点在第一象限时，联立，得，所以或，所以.所以，所以直线的斜率为.根据双曲线的对称性，可得当点在第四象限时，直线的斜率为.直线的斜率为.故答案为：5．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为．【答案】/【分析】根据双曲线定义及内切圆性质可知轴于点，且为双曲线的左焦点，设，，根据直角三角形正切值可得，结合，可得离心率.【详解】如图所示，设内切圆圆心为，内切圆圆心，且圆与各边分别相切于，，，则，，，又点在双曲线左支，则，则，且轴，即点在直线上，同理点在直线上，即轴于点，且，设，则，则，，即，又，则，化简可得，即，解得或（舍），故答案为：.期末综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（多选）（25-26高二上·江西抚州·月考）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（）A．的最大值为B．若为的中点，则的离心率的最小值为C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为【答案】ABD【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D.【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为，又椭圆，所以，所以，故A正确；对于B，若为的中点，则，则，故，B正确；对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误；对于D，因为点在上，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的蒙日圆面积最小为，D正确.故选：ABD.2．（多选）（25-26高二上·云南昆明·月考）某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（

）A．椭圆的“蒙日圆”的面积为B．对直线上任意点，都有C．椭圆的标准方程为D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3【答案】ACD【分析】根据条件，得出，，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个