专题04 排列组合（考点清单9个考点清单+11类题型解读）（原卷版）

专题04排列组合（9个考点清单+11类题型解读）知识点01：两个计数原理1、分类加法：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.2、分步乘法：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.知识点02：排列数、组合数计算1、排列数的计算及性质的应用①（连乘形式）：，，②（阶乘形式），，2、组合数的计算及性质的应用或：（，）.（1）性质1：（2）性质2：知识点03：特殊元素（位置）法【一般策略】对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。知识点04：捆绑法【一般策略】捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉.知识点05：插空法【一般策略】插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.知识点06：倍缩法【一般策略】部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法.知识点07：排数问题【一般策略】对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.知识点08：分组、分配问题【一般策略】①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．知识点09：涂色问题【一般策略】解决涂色问题的一般思路(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析．(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题题型一：两个计数原理 3题型二：排列数与组合数的计算与证明 4题型三：排列问题 5题型四：组合问题 6题型五：特殊元素（位置）法 6题型六：捆绑法 7题型七：插空法 8题型八：倍缩法 9题型九：排数问题 9题型十：分组、分配问题 11题型十一：涂色问题 11【题型一：两个计数原理】一、单选题1．（24-25高二上·全国·随堂练习）从地到地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（

）A．3 B．9 C．24 D．以上都不对2．（23-24高二下·河北·阶段练习）从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（

）A． B． C．21 D．2103．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（

）A．24种 B．10种 C．9种 D．15种4．（24-25高二下·全国·课后作业）某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则不同种法有（

）12345A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种5．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（

）种灯光组合.A． B． C． D．【题型二：排列数与组合数的计算与证明】一、解答题1．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算：(1)；(2)；(3)已知，求2．（24-25高二下·全国·课后作业）证明下列等式．(1)；(2)．3．（24-25高二上·甘肃武威·期中）（1）计算：；（2）若，则x的值为_____；（3）若，求正整数n．4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知m是自然数，n是正整数，且．求证：(1)；(2)．5．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于的不等式；（2）解不等式：.6．（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程:（2）计算（3）解不等式.【题型三：排列问题】一、单选题1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（

）A．48 B．24 C．20 D．162．（24-25高二下·全国·课后作业）为了丰富学生的课余生活，某校拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供选择．若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选法共有（

）A．60种 B．80种 C．120种 D．150种3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（

）A．432 B．864 C．1728 D．25924．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为（

）A．24 B．26 C．32 D．405．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（

）A． B．C． D．6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（

）A．192 B．240 C．360 D．720【题型四：组合问题】一、单选题1．（2024·河北承德·二模）对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（

）A．97个 B．91个C．84个 D．75个2．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（

）个A．44 B．45 C．54 D．553．（23-24高二下·广东广州·期末）以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（

）A．70 B．64 C．58 D．244．（23-24高二下·全国·单元测试）从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（

）A． B．

C． D．5．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（

）A．504 B．126 C．112 D．566．（24-25高二上·福建龙岩·期中）从含有3件次品的8件新产品中，任意抽取4件进行检验，抽出的4件产品中恰好有2件次品的抽法种数为（

）A． B． C． D．【题型五：特殊元素（位置）法】一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）将字母a，b，c，d，e，f排成一排，其中a必须在b的左边，则不同的安排方法种数为（

）A．260 B．300 C．360 D．3802．（2024高三·全国·专题练习）2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（

）A．1440种 B．1360种C．1282种 D．1128种3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（

）A．192 B．240 C．360 D．7204．（24-25高二上·甘肃武威·期中）年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种5．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（

）A．44 B．46 C．48 D．54【题型六：捆绑法】一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为（

）A．6 B．12 C．16 D．202．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种3．（24-25高三上·山东德州·开学考试）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（

）A．48 B．36 C．24 D．124．（24-25高二下·全国·课后作业）四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（

）A．288种 B．144种 C．96种 D．72种5．（2024高三·全国·专题练习）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有（

）A．48种 B．40种 C．32种 D．24种【题型七：插空法】一、单选题1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）7名同学（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙两人相邻但不排在两端，不同的排法种数是（

）A．480 B．720 C．960 D．14402．（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（

）A．120种 B．24种 C．36种 D．12种3．（24-25高二下·全国·课后作业）某校举办校运动会，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人不跑相邻棒的排法有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种4．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（

）A．6 B．7 C．10 D．125．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏．如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（

）A．21 B．35 C．70 D．126【题型八：倍缩法】一、单选题1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（

）A．6种 B．12种 C．18种 D．36种2．（23-24高二下·江苏镇江·期中）某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（

）A．15 B．18 C．22 D．263．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（

）A．840种 B．839种 C．2520种 D．2519种4．（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（

）A．240种 B．188种 C．144种 D．120种5．（23-24高二下·湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（

）A．350 B．140 C．560 D．280【题型九：排数问题】一、单选题1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知0，1，2，3，4，5这6个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（

）A．20个 B．30个 C．40个 D．55个2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（

）A．42 B．38 C．54 D．483．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（

）A．68种 B．136种 C．272种 D．544种4．（23-24高二下·湖北·阶段练习）在数学中，自然常数．小布打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到密码．如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（

）．A．30 B．32 C．36 D．485．（24-25高二下·全国·课后作业）从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个6．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）我们把各位数字之和为8的四位数称为“八合数”(如2024是“八合数”)，则“八合数”共有（

）个.A．35 B．56 C．120 D．165【题型十：分组、分配问题】一、单选题1．（24-25高三上·河南新乡·期中）将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（

）A． B． C．105 D．2．（2024高三·全国·专题练习）每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为（

）A．540 B．120 C．90 D．603．（24-25高三上·广西·期中）为促进城乡教育均衡发展，某地区教育局安排包括甲、乙在内的5名城区教师前往四所乡镇学校支教，若每所学校至少安排1名教师，每名教师只能去一所学校，则甲、乙不安排在同一所学校的方法数有（

）A．1440种 B．240种 C．216种 D．120种4．（2024·湖南湘西·模拟预测）三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（

）A．18种 B．21种 C．24种 D．36种5．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神，搭建中学与高校交流的平台，拓展学生视野，今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动，学生可自