专题4.3 数列求通项与求和方法全归纳（期末复习讲义）原卷版

1/3专题4.3数列求通项与求和方法全归纳（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律数列的常见递推式求通项掌握几种经典递推型的转化方法（如累加、累乘、构造法）高频中档考点，常在解答题第一问出现数列求和的常用方法能根据通项特征选择合适求和方法（裂项相消、错位相减、分组求和）高频核心考点，解答题重点考查。知识点01由an与Sn由题目给出an与S可以考虑退位相减，构造Sn−1，然后根据Sn注意：构造Sn−1后，n知识点02累加法求通项公式an+1=an+f(n)&知识点03累乘法求通项公式an+1an=f(n)型（f(n)&a知识点04构造数列法求通项公式a目标把an+1=pan+q拆分成(an+1+A)=p(aa目标把an+1=pan+kn+b拆分成(an+1+A(n+1)+B)=p(a两边同时除以qn+1，得an+1q知识点05倒数法求通项公式an−1化成1an−知识点06递推式求周期性数列同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。an+1=Aan+Ban+1+aa分段式数列以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。知识点07裂项相消法求和对通项进行裂项变换，使得裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．下面给出一些常见的裂项模型。模型1：等差型（1）（2）（3）（4）对等差型的分式，例14n2−1，先对分母进行因式分解(2n−1)(2n+1)，把目标分解成12模型2：根式型（1）（2）（3）利用分母有有理化的方法。模型3：指数型（1）（2）方法类似等差型。知识点08错位相减法求和等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列an,等比数列bn，对数列找出等比数列bn的公比q(q≠1,0)然后用Sn−qS知识点09倒序相加法求和等差数列的求和方法即倒序相加法。若数列整个顺序颠倒后，同原数列放一起，每个相同序号的两项的和相等，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．知识点10分组求和若数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．题型一由an与Sn解｜题｜技｜巧根据Sn消Sn求得a消an求得S如果题目给出的是某个有规律的数列连加时，要联想到是S【典例1】（24-25高二上�江苏南京�期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高二上�广东深圳�期末）已知数列的前项和为，其中，，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，前项和为，若，求数列的通项．【变式2】（多选）（24-25高二上�广东深圳�期末）已知为数列的前n项和，且，，，则（

）A．为常数列 B．为单调递增数列C． D．的前n项和恒小于1题型二累加法求通项公式解｜题｜技｜巧根据an+1−a【典例1】（24-25高二上�安徽淮南�期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则．【典例2】（24-25高二上�浙江杭州�期末）已知数列满足，，则的最大值为（

）A．420 B．380 C．342 D．6【变式1】（24-25高二上�广东广州�期末）已知数列中，则数列通项公式．【变式2】（24-25高二上�江苏连云港�期末）已知数列满足，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．题型三累乘法求通项公式解｜题｜技｜巧根据an+1an=f(n)对左右两边进行累【典例1】（24-25高二上�浙江温州�期末）已知数列的前n项和为，满足，对于恒成立，则的最小值为（

）A． B．0 C．1 D．4【典例2】（多选）（24-25高二上�江苏南通�期末）已知数列的前n项和为且则（

）A． B．C． D．数列的前n项和为【变式1】（24-25高二上�浙江衢州�期末）已知正项数列，满足，，则（

）A．2 B． C．2024 D．【变式2】（24-25高二上�江苏淮安�期末）数列满足，，数列的前n项和为（

）A． B．C． D．题型四构造法求通项公式解｜题｜技｜巧构造法求通项公式均可以用待定系数法，构造一个等比数列，通过待定系数来拆分f(n)项。【典例1】（24-25高二上�广西贵港�期末）设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（

）A．4 B．8 C．10 D．12【典例2】（25-26高二上�江苏镇江�期中）已知数列中，，且，则（

）A． B． C． D．【变式1】（25-26高二上�福建莆田�月考）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．数列的前20项的和为250【变式2】（25-26高三上�河南新乡�期中）在数列中，，，则.题型五倒数法求通项公式解｜题｜技｜巧先能识别出递推式符合倒数成等差数列，直接除以an+1an【典例1】（24-25高二上�福建福州�期末）已知数列满足，且，则（

）A． B． C． D．【典例2】24-25高三上�黑龙江哈尔滨�期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【变式1】（25-26高二上�浙江宁波�期中）已知数列满足，则下列结论正确的是（

）A．B．C．的前项和D．的前项和【变式2】（24-25高二下�河南南阳�期中）已知数列中，，且，则．题型六由递推关系求周期数列解｜题｜技｜巧周期数列的样式可以参考前面给出的几种形态，当符合要求时，具体的数列周期可自行计算出。【典例1】（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（）A． B． C． D．【典例2】（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列满足.若，则（

）A．3 B． C． D．【变式1】（多选）（25-26高三上·山西·月考）已知数列满足，，记数列的前项之积为，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·广西贵港·期末）若数列满足，则.题型七错位相减法求和解｜题｜技｜巧等比数列的求和方法即错位相减法。若有差数列an、等比数列bn【典例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【典例2】（24-25高二上·广东清远·期末）已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且．(1)求数列、的通项公式；(2)令，求数列的前项和．【变式1】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知数列中，，.(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)设，求的前项和．【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，数列满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前项和.题型八分组求和法求和解｜题｜技｜巧一般分段数列、奇偶数列、绝对值数列会用到分组求和，根据规律把数列先分组，再按照其余的求和方法分别对其求和即可。【典例1】（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和．【典例2】（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.(1)求的通项公式；(2)若求数列的前项和.【变式1】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.【变式2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知首项为的数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．题型九倒序相加法求和解｜题｜技｜巧等差数列的求和可以用到倒序相加法，通常也会跟函数联合在一起，根据函数的基本性质，再来使用倒序相加的方法来求和。【典例1】（2025高二�全国�专题练习）设，，求的值．【典例2】（24-25高二下�陕西西安�月考）若等差数列满足，则（

）A．2025 B． C． D．【变式1】（24-25高二下�黑龙江哈尔滨�月考）若等差数列满足，则（

）A．2025 B． C． D．【变式2】（24-25高二下�广东佛山�月考）已知，若等比数列满足，则（

）A． B．1013 C．2025 D．2026题型十裂项相消法求和解｜题｜技｜巧难点在对通项进行裂项的方法上，对常见的几种裂项方式熟练掌握，等差分式、分母有理化、指数型这三种考察的比较多。【典例1】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求证：．【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且，，，设．(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．【变式1】（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知数列为等差数列，前n项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由．【变式2】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且.(1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式;(2)若，记为数列的前n项和，求证：.期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（24-25高二上�浙江杭州�期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为.2．（24-25高二上�江苏�期末）在数列中，，则等于（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上�江苏连云港�期末）已知数列中，，则.4．（2025高三�全国�专题练习）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2026高三�全国�专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式．期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（2026高三�全国�专题练习）在数列中，，，则．2．（24-25高二上·河南洛阳·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），，当时，（

）A．92 B．106 C．113 D．1203．（多选）（24-25高二上�江苏�期末）数列满足，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知无穷数列的通项公式为，其前项和为，若对于任意，有恒成立，则实数的取值集合为（）A． B．C． D．5．（多选）（24-25高三上�浙江宁波�期末）已知函数，数列满足，前项和为．则（

）A．函数的对称中心为B．函数为奇函数C．不等式的解集为D．若，，则的最小值为期末综合拓展练（测试时间：15分钟）1．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列和，数列的前n项和，（），数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和；(3)若对一切恒成立，求实数m的取值范围.2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为且(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前