专题4-1 等差数列及函数性质13题型（期末复习专项训练）（原卷版）

2/24专题4-1等差数列与函数性质题型1等差数列定义与判定题型9比值错项型题型2构造递推型定义（常考点）题型10前n项和的二次函数性质（重点）题型3等差数列函数性质：单调性（重点）题型11等差数列正负不等式型（难点）题型4等差中项性质题型12等差数列压轴题型5等差数列“高斯”性质（常考点）题型13等差数列压轴第19题题型6奇数项与偶数项和题型7sn与an关系（重点）题型8双等差比值型2/24题型一、定义与判定（共3小题）1．（2025高三·全国·专题练习）“存在，使得”是“为等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型二、构造递推型定义（共3小题）4．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，设数列的前n项和为，前n项积为，则下列说法错误的是（

）A．数列是等差数列 B．数列的最大项为C．使得取得最小值的n为7 D．有最小值，无最大值5．（24-25高二下·广东茂名·月考）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（

）A． B． C． D．6．（24-25高二下·广东广州·开学考试）设数列的前项之积为，满足，则（

）A． B． C． D．题型三、等差函数性质：单调性（共3小题）7．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（23-24高二下·重庆·月考）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2020·广东广州·二模）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（

）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d题型四、等差中项性质（共3小题）10．（24-25高二下·山东德州·月考），若存在使得成等差数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．11．（24-25高一下·上海·月考）若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足则称成“β等差数列”．已知集合，则由M中的三个元素组成的所有数列中“β等差数列”的个数为（

）A．50 B．51 C．100 D．10112．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（

）A． B．5 C．5或－5 D．或题型五、等差数列“高斯”性质（共3小题）13．（24-25高二下·陕西西安·月考）若等差数列满足，则（

）A．2025 B． C． D．14．（24-25高三上·江苏泰州·期中）在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．15．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，若存在正整数m，n，p，q满足时有成立，则等于（

）A．4 B．1C． D．由等差数列的首项的值决定题型六、奇数项与偶数项和（共3小题）16．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（

）A．4 B．5 C．9 D．1117．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（

）A． B． C． D．18．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（

）A．10 B．19 C．21 D．2919．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知正项数列前项和为，首项且，则以下说法中正确的个数是（

）①；②当为奇数时，；③.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型七、sn与an关系（共3小题）20．（23-24高二下·辽宁·期中）设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（

）A． B． C． D．21．（2024·浙江温州·三模）数列的前项和为，则可以是（

）A．18 B．12 C．9 D．622．（16-17高三上·四川资阳·月考）设，分别是等差数列，的前项和，若，则A．2 B．3 C．4 D．6题型八、双等差比值型（共3小题）23．（24-25高二下·云南昆明·月考）设等差数列的前项和分别是，若，则（

）A． B． C． D．24．（20-21高二上·甘肃白银·月考）设等差数列、的前项和分别是、.若，则的值为（

）A． B． C．1 D．2题型九、比值错项型（共3小题）25．（2022·四川·二模）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（

）A． B．C． D．326．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设，分别是等差数列，的前n项和，若，则（

）A． B． C． D．327．（15-16高一下·江苏宿迁·期中）设,分别是等差数列,的前项和,已知,,则．题型十、前n项和的二次函数特征（共3小题）28．（2023·河北·三模）设等差数列的前项和为，若，那么等于（

）A．10 B．80 C． D．29．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．202330．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为．若，则的值是（

）A．5 B．7 C．8 D．9题型十一、前n项和的最值（共3小题）31．（2024·全国·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则使得的的取值范围为（

）A． B．C． D．32．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．当时，最大 B．当时，最小C．数列中存在最大项，且最大项为 D．数列中存在最小项33．（24-25高三上·广东东莞·月考）设等差数列的前n项和为，若>0，，则时，n的最大值为（

）A．14 B．13 C．11 D．7题型十二、等差数列正负不等式型（共3小题）34．（21-22高三上·江苏南京·月考）设是等差数列的前项和，且，则下列结论正确的有（

）A． B． C． D．35．（2020·浙江杭州·模拟预测）设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（

）A． B．C． D．【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题36．（21-22高二下·湖南·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．2021题型十三、等差数列函数型求参（共3小题）37．（2025高三·全国·专题练习）对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则的不可能取值为（）A．2 B． C． D．38．（22-23高二下·广西河池·期末）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．39．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型十三、等差数列压轴小题（共3小题）40．（21-22高一下·四川成都·期末）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，人们把函数，称为高斯函数（其中表示不超过x的最大整数，例如：，）．已知数列的首项，前n项和记为．若k为函数，值域内的任意元素，且当整数时，都有成立，则的通项公式为．41．（20-21高三下·全国·月考）已知首项为的数列的前项和为，若，且数列，，…，成各项均不相等的等差数列，则的最大值为．42．（20-21高二上·上海宝山·期中）设数列的前项和为，，()，(，).且､均为等差数列，则.题型十四、等差数列压轴第19题（共3小题）43．（24-25高二下·北京房山·月考）设和是两个等差数列，记（，2，3，…），其中表示，，…这s个数中最小的数.(1)若，，求证：不是等差数列；(2)若，，证明：是等差数列；(3)证明：或者对任意实数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得，，，…是等差数列.44．（2025·北京丰台·一模）已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列.(1)若，写出数列的自身子数列的前4项；(2)证明：；(3)若数列与是公差分别为，的等差数列.（i）证明：；