专题4-4 数列求和、不等式归类（期末复习专项训练）（原卷版及全解全析）

2/24专题4-4数列求和、不等式归类题型1分组求和：公式型题型9裂项相消：指数倍数型题型2分组求和：分段型题型10裂项相消：分子分母和的倍数（重点）题型3分组求和：奇偶正负型（重点）题型11裂项相消：分子分母齐次消去法题型4分组求和：插入数型题型12裂项相消：分母有理化法题型5倒序求和：函数中心法（常考点）题型13裂项相消：幂指同构裂项法题型6错位求和：整数型题型14求和证明不等式题型7裂项相消：基础型（难点）题型15先放缩再求和证明不等式题型8裂项相消：分子为分库差的倍数（重点）题型16三角函数型2/24题型一、分组求和型：公式型（共2小题）1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的通项分别为，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（

）A．21 B．38 C．42 D．432．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（

）．A． B． C． D．题型二、分组求和型：分段型（共2小题）3．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知数列满足，，且，则的前51项的和为（

）A．37 B．40 C．42 D．464．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知数列满足，，记，则数列的前100项的和为（

）A． B．25 C． D．50题型三、分组求和型：奇偶正负型（共2小题）5．（24-25高二下·四川成都·月考）已知等差数列中，，，则数列的前项和为（）A． B． C． D．6．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为82，则写错之前这个数为（

）A．64 B． C．100 D．题型四、分组求和型：插入数型（共2小题）7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，且，.在数列的每相邻两项、之间依次插入、、……、，得到数列：、、、、、、、、、、……，的前22项和为（

）A．34 B．36 C．37 D．398．（24-25高二上·黑龙江绥化·月考）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（

）A． B． C． D．题型五、倒序求和：函数对称中心法（共2小题）9．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（

）A． B． C． D．10．（24-25高二下·北京西城·月考）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（

）A．2025 B．2024 C．1013 D．1012题型六、错位求和：整数型（（共2小题））11．（24-25高二下·广西崇左·期末）若数列满足，，的前项和为，则的整数部分为（

）A． B． C． D．12．（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（

）A．8 B．9 C．10 D．11题型七、裂项相消：基础型（共2大题）13．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和．(1)求与的通项公式；(2)若，求数列的前n项和；(3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值．14．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．(1)求数列的通项公式(2)记，数列前项和为，求证：．题型八、裂项相消：分子为分母差的倍数（共2大题）15．（25-26高三上·四川绵阳·月考）设数列的前n项和为，已知．(1)求的值和数列的通项公式；(2)数列的前n项和为，求证：．16．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和.题型九、裂项相消：指数倍数型（共2大题）17．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）数列满足：，各项均为正数的等差数列的前项和为，4是的等比中项，且．(1)求，的通项公式；(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．题型十、裂项相消：分子为分母和的倍数（共2大题）19．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知等差数列满足是关于的方程的两个根.(1)求数列的通项公式.(2)设，求数列的前项和.20．（25-26高二上·甘肃·期中）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列.(1)证明：数列是等差数列；(2)已知，，求数列的前n项和.题型十一、裂项相消：分子分母齐次消去法（（共2大题））21．（25-26高三上·河北·期中）已知为正项等差数列，为的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和为，证明：.22．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．(1)求的通项公式；(2)令（），求数列的前项和．题型十二、裂项相消：分母有理化法（（共2大题））23．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知递增数列满足.(1)求；(2)证明：数列为等差数列；(3)令，求数列的前项和.24．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知数列的前n项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)证明：题型十三、裂项相消：幂指同构裂项法（共2大题）25．（2025·河南·模拟预测）已知数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；(3)记，数列的前项和为，证明：.26．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设是数列的前项积，求证：.题型十四、求和证明不等式（（共2小题））27．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：．28．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，数列满足.(1)证明为定值，并求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.题型十五、先放缩再求和证明不等式（（共2小题））29．（2025高三下·全国·专题练习）已知实数，函数（e为自然对数的底数）．(1)求函数的单调区间及最小值；(2)若对任意的恒成立，求实数a的值；(3)证明：．30．（24-25高三下·广东惠州·月考）已知数列的前项和为，且，(1)证明是等差数列；(2)求；(3)求证：题型十六、三角函数型（（共2小题））31．（24-25高二下·湖北·月考）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）(1)证明：①倍元关系：；②平方关系：(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；(3)证明：．32．（2025·河南·三模）若存在正实数a，对任意，使得，则称函数在D上是一个“函数”．(1)已知函数在区间上是一个“函数”，求a；(2)当时，．证明：函数在区间上是一个“函数”；(3)证明：．

专题4-4数列求和、不等式归类题型1分组求和：公式型题型9裂项相消：指数倍数型题型2分组求和：分段型题型10裂项相消：分子分母和的倍数（重点）题型3分组求和：奇偶正负型（重点）题型11裂项相消：分子分母齐次消去法题型4分组求和：插入数型题型12裂项相消：分母有理化法题型5倒序求和：函数中心法（常考点）题型13裂项相消：幂指同构裂项法题型6错位求和：整数型题型14求和证明不等式题型7裂项相消：基础型（难点）题型15先放缩再求和证明不等式题型8裂项相消：分子为分库差的倍数（重点）题型16三角函数型2/24题型一、分组求和型：公式型（共2小题）1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的通项分别为，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（

）A．21 B．38 C．42 D．43【答案】D【分析】利用分组求和列出关于和的不等式，求出其解后可得的最小值【详解】因为，故，若，则，由可得，若，则，故，不合题意，舍；故，故，故此时.若，其中，其中，，由可得，而，故即，故，当时，由可得，此时，故.综上，故选：D2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】成首项为1公比为3的等比数列，成首项为3公比为3的等比数列，由分组求和、等比数列求和公式即可求解.【详解】因为，且，所以，所以，所以成首项为1公比为3的等比数列，成首项为3公比为3的等比数列，所以.故选：D.题型二、分组求和型：分段型（共2小题）3．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知数列满足，，且，则的前51项的和为（

）A．37 B．40 C．42 D．46【答案】B【分析】分为奇数和偶数讨论，分组求和得到答案.【详解】当为奇数时，也是奇数，因为，所以当为奇数时，，，令，则，令，则，令，则，令，则，以此类推，偶数项为和交替，前项中有项奇数项，和为，有项偶数项，有个、个，和为，所以的前51项的和为.故选：B.4．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知数列满足，，记，则数列的前100项的和为（

）A． B．25 C． D．50【答案】B【分析】先由递推关系式得到数列的周期为2，再利用并项求和法计算前100项的和即可.【详解】由题意得，，，，，…，所以数列的周期为2，所以数列的前100项的和为．故选：B题型三、分组求和型：奇偶正负型（共2小题）5．（24-25高二下·四川成都·月考）已知等差数列中，，，则数列的前项和为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件求出，即可求出数列的通项公式，再利用并项求和法可求得数列的前项和.【详解】设等差数列的公差为，由可得，所以，故，对任意的，，所以数列的前项和为.故选：D.6．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为82，则写错之前这个数为（

）A．64 B． C．100 D．【答案】A【分析】由并项求和及等差数列的求和公式即可直接求得答案．【详解】，则其前20项和为．设写错项为，则，解得，故写错之前这个数为．故选：A．题型四、分组求和型：插入数型（共2小题）7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，且，.在数列的每相邻两项、之间依次插入、、……、，得到数列：、、、、、、、、、、……，的前22项和为（

）A．34 B．36 C．37 D．39【答案】C【分析】根据题意先求，根据数列的形成规律，分组即可求解.【详解】由题意有：当时，，所以，所以数列：设，所以，又，所以，所以的前22项是由7个1与15个2组成．所以的前22项的和为：，故选：C.8．（24-25高二上·黑龙江绥化·月考）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依据题意构造数列，分析规律，结合等比数列前项和公式即可求解.【详解】依题意，，，，，，，由等比数列的前项和公式，得，所以的通项公式.故选：A题型五、倒序求和：函数对称中心法（共2小题）9．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可.【详解】由题意得，设，，设，倒序得，两式相加得到，解得，故只有A正确.故选：A10．（24-25高二下·北京西城·月考）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（

）A．2025 B．2024 C．1013 D．1012【答案】D【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可.【详解】由函数，得，令，则，两式相加得，解得.故选：D.题型六、错位求和：整数型（（共2小题））11．（24-25高二下·广西崇左·期末）若数列满足，，的前项和为，则的整数部分为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由递推关系式变形可构造出数列是首项为2，公比为2的等比数列，得到，再利用分组求和及错位相减法求和即可得到，再取的整数部分即可.【详解】，，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，设数列的前项和为，则，，两式相减得：，解得，所以，所以，故的整数部分为.故选：A.12．（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】由题意可得是以为首项，2为公比的等比数列，从而可得，利用错位相减法可求得，可求解.【详解】因为，所以，又，所以，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以所以，所以，所以，又，，所以使得成立的最小整数为.故选：B.题型七、裂项相消：基础型（共2大题）13．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和．(1)求与的通项公式；(2)若，求数列的前n项和；(3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，结合等差、等比数列通项公式代入已知条件解出，从而得到与的通项公式；（2）由（1），利用裂项相消法求数列的前n项和；（3）由（1）求，，条件可转化为对任意的恒成立，利用不等式法求数列的最小值，由此可得结论.【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，由，可得，解得（舍去），所以，.（2）由（1）知，可得，则，所以数列的前项和．（3）由（1），，由，，则，即对任意的恒成立，当时，，当时，设数列在第项取得最小值，则解得，而，则，此时取得最小值，由于，则数列在时取最小值，所以，则实数的最大值为．14．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．(1)求数列的通项公式(2)记，数列前项和为，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由向量的数量积得，根据与的关系得到递推关系，再由累乘法求出通项公式；（2）利用裂项相消法求出数列前项和为，再证明.【详解】（1）因为，即：①当时，，又，所以．当时，，②由①-②整理得：整理得，由累乘法得：，代入比值：当时，，符合上式，所以数列的通项公式为（2）由，得，所以．因为，所以，，所以．题型八、裂项相消：分子为分母差的倍数（共2大题）15．（25-26高三上·四川绵阳·月考）设数列的前n项和为，已知．(1)求的值和数列的通项公式；(2)数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)；，(2)证明见解析【分析】（1）由递推关系求出，再给出数列是以首项为，公差为的等差数列，进而写出数列的通项公式；（2），由裂项相消法求出前n项和为，即可求证．【详解】（1）数列中，，当时，，而，则；当时，，所以．，当时，，两式相减，得，即，整理，得．又因为，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，即．（2）因为，所以16．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解；（2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解.【详解】（1）由，当时，，两式相减得，即，①则，②由①②整理得，，所以；又，则当时，，当时，，则，所以，满足，所以，故数列为等差数列，且首项为，公差为.（2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列，所以，则，所以.题型九、裂项相消：指数倍数型（共2大题）17．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据和等比数列的定义求出是首项和公比均为的等比数列，进而求出的通项公式；（2）由（1）得，利用裂项相消法即可求出答案.【详解】（1）当时，，解得，由，可得，两式相减得，即时，，所以，所以是首项和公比均为的等比数列，所以，即.所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，所以.所以数列的前项和.18．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）数列满足：，各项均为正数的等差数列的前项和为，4是的等比中项，且．(1)求，的通项公式；(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，；，(2)【分析】（1）由题干等式关系可得，通过两式作差即可求解的通项公式；再根据4是的等比中项，得：，然后利用基本量的运算求解及公差，进而求解数列的通项公式.（2）首先代入并求解出的通项公式，然后通过裂项相消法求解出，由于，进而根据求解即可.【详解】（1）令，得：.又①②由①②得到即：，经检验，，也成立，故数列的通项公式，.由于是，的等比中项，因此可得：，即得：，又由，得：，即由，解得：或，当时，，不满足题意舍去；当时，，由此可得：，.（2），则.由于，所以，因此可得若恒成立，则，解得或，实数的取值范围为．题型十、裂项相消：分子为分母和的倍数（共2大题）19．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知等差数列满足是关于的方程的两个根.(1)求数列的通项公式.(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用等差数列的定义，结合韦达定理计算即可；（2）利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由题意可知.不妨设的公差为d，则，作差得，所以.又，所以，所以.（2）由上可知：，所以.20．（25-26高二上·甘肃·期中）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列.(1)证明：数列是等差数列；(2)已知，，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式得到，然后利用得到，最后根据等差数列的定义证明即可；（2）利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）证明：因为，故，又为等差数列，所以，，当时，，，又，所以数列是一个以为首项，公差为的等差数列；（2）由于，结合（1）知，，，所以.题型十一、裂项相消：分子分母齐次消去法（（共2大题））21．（25-26高三上·河北·期中）已知为正项等差数列，为的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，设正项等差数列的公差为，进而结合等差数列的角标和性质解方程得，再求公差与通项公式；（2）由（1）知，再根据错位相减法求解即可；（3）由（2）知，进而根据裂项求和求解即可证明.【详解】（1）根据题意，设正项等差数列的公差为，因为所以，所以是关于的一元二次方程的两个实根，故，所以，所以所以数列的通项公式为；（2）由（1）得，所以，所以，，两式作差得，所以.（3）由（2）得，所以因为，所以，所以.22．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．(1)求的通项公式；(2)令（），求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可；（2）由裂项相消法求和即可．【详解】（1）令，，又由有，则有，所以．又因为数列的各项均为正数，所以．（2）由，知．题型十二、裂项相消：分母有理化法（（共2大题））23．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知递增数列满足.(1)求；(2)证明：数列为等差数列；(3)令，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）利用递推关系，赋值首项和第二项的方程组求解，再通过单调性确定一组解即可；（2）利用一元二次方程根与系数关系，来求解通项公式，即可证明等差数列；（3）利用裂项相消法来求和即可.【详解】（1）由可得：，代入消元得：，解得或，因为当时，，不满足递增数列，故舍去，而当时，，满足递增数列，所以；（2）由可得：，又因为，所以是方程的两个根，而解方程可得：，根据递增数列，所以即，所以数列为等差数列；（3）由，可得，所以.24．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知数列的前n项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)证明：【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用即可求解；（2）由（1）知，得，利用错位相减法即可求解；（3）由（2）知，，又，利用裂项相消法即可得证.【详解】（1）在中令，得，即，解得．当时，，又，所以，即又，所以，数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以；（2）由（1）知，所以．设数列的前项和为，则，两边同时乘以4，得，两式相减，得，所以；（3）证明：由（2）知，所以，所以．因为，所以，所以，所以，综上所述，．题型十三、裂项相消：幂指同构裂项法（共2大题）25．（2025·河南·模拟预测）已知数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；(3)记，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)(3)证明见解析.【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证.（2）由（1）求得，再利用累加法求出通项.（3）由（2）求得，再利用裂项相消法求和即得.【详解】（1）在数列中，由，得，由，得，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）知，当时，，满足上式，所以的通项公式为.（3）由（2）得，，则，显然是递增数列，因此，又，则，所以.26．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设是数列的前项积，求证：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由已知可得，与原式相减，可得到，进而可求出数列的通项公式；（2）由（1）得，利用裂项相消法，可求出数列的前项和；（3）令，利用导数判断函数的单调性，可得对恒成立，进而得，从而可得，计算可证结论,【详解】（1）当时，得，两式相减得，所以，当当时，，适合上式，所以数列的通项公式为；（2），，所以数列的前项和；（3）令，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，即对恒成立，当且仅当时取等号，所以，，，，，，两边分别相加得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.题型十四、求和证明不等式（（共2小题））27．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）令，求出的值，对任意的，由可得，两式作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立.【详解】（1）因为①，所以，解得，对任意的，②，②-①得，即，所以，即，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即．（2）因为，所以，因为，数列为单调递增数列，所以，即．28．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，数列满足.(1)证明为定值，并求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）首先证明，再利用倒序相加法即可求出；（2）裂项得，再求和即可证明.【详解】（1）由题意得，则，得到，两式相加得，即.（2）由题意得，则，当时，无限趋近于0且大于0，则，且小于，而，在上单调递增，故得证.题型十五、先放缩再求和证明不等式（（共2小题））29．（2025高三下·全国·专题练习）已知实数，函数（e为自然对数的底数）．(1)求函数的单调区间及最小值；(2)若对任意的恒成立，求实数a的值；(3)证明：．【答案】(1)函数的单调递增区间是，单调递减区间是，(2)实数a的值为1(3)证明见解析【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数的单调区间，根据单调性求最值；（2）若对任意的恒成立，即对a>0恒成立，即可求实数a的值；（3）根据（2）的结论得到，对不等式每一项进行放缩，再结合裂项相消计算即可.【详解】（1）函数定义域为R，，当时，若，得函数在上是增函数；若，得函数在上是减函数．则当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．即在处取得极小值且为最小值，最小值为．（2）若对任意的恒成立，等价为，由（1）知，，设，则，由，得，由，得，此时函数单调递增，由，得，此时函数单调递减，在处取得最大值，即，因此的解为．所以实数a的值为1．（3）证明：由（2）可知时恒成立，即，则．，．【点睛】关键点点睛：最后一问关键是根据前问得到，再进行适当放缩，结合数列求和证明.30．（24-25高三下·广东惠州·月考）已知数列的前项和为，且，(1)证明是等差数列；(2)求；(3)求证：【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明.（2）先根据等差数列的定义得出和是等差数列；再根据等差数列的通项公式求出，及；最后利用等差数列的通项公式即可解答.（3）先变