第2章 对称图形-圆 重难点检测卷（压轴卷）（教师版）-苏科版(2024)九上

第二章对称图形—圆（压轴卷）（满分120分，考试时间120分钟，共28题）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；4.测试范围：对称图形—圆全章内容；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）选择题（8小题，每小题3分，共30分）1．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的是（）A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长；C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．【答案】D【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误．B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中；D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确；故选：D．2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（）A．点在圆外 B．点在圆上C．点在圆内 D．不能确定【答案】B【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．先求出的半径，再根据点与圆的位置关系求解即可．【详解】解：的直径为，的半径为，点到圆心的距离为，点在上．故选：B．3．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，点，，在上，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是圆周角定理，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解题的关键．连接，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出结论．【详解】解：连接，，，，，，即原图中的度数是．故选：B．4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为的直径，点C、D在圆上，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由圆周角定理得出、，再根据直角三角形两锐角互余即可解答．【详解】解：∵为的直径，∴，∵∴，∴．故选：A．5．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．解题的关键是掌握扇形面积公式．【详解】解：根据题意可得：∵，，，∴，，∴，故选：C．6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论．【详解】解：连接，如下图，∵，∴，∵，∴，∴，∵是直径，∴，∴，即为等腰直角三角形，∴，∴，∴．故选：D．7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，找到线段长度的最大值的条件成为解题的关键．如图：连接，由圆周角定理可得，如图：过Q作，由垂径定理可得、，则可得；再根据勾股定理可得，则，即当最大时，取最大值；如图：设与的两边都相切于G、H，连接，再根据切线的性质证明可得，则，进而得到当三点共线时，的最大值为，进而确定线段长度的最大值即可．【详解】解：如图：连接，∵在中，，∴，如图：过Q作，∴，，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，∴当最大时，取最大值；如图：设与的两边都相切于G、H，连接，∵与的两边都相切且半径为1，∴，，∵，∴，∴，∴，∴当三点共线时，的最大值为．∴取最大值为．故选D．8．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据是等边三角形，以及圆周角定理得出，从而证明是等边三角形，求出，再证明，证出，过点作，算出，，连接，过点作，得出，再用勾股定理即可解答；【详解】∵是等边三角形，，，，∴是等边三角形，，，，∴，，过点作，则，，，连接，过点作，则，，，解得：．故选：B．【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质判定，特殊直角三角形，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．第II卷（非选择题）二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是．【答案】相交【分析】本题考查直线与圆的位置关系．求出圆心到y轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案．【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点B，∵点，∴，，∵的半径为4，∴与y轴相交，故答案为：相交．10．（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是．【答案】【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得所在的直线是的垂直平分线，则三点共线，运用垂径定理和勾股定理列式计算，即可作答．【详解】解：过点作，连接∵，，∴所在的直线是的垂直平分线，∴三点共线，∴，在中，，设的半径是，则，在中，，∴，解得，故答案为：．11．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为．【答案】【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解．【详解】解：∵正五边形内接于，∴，，∴，∴，故答案为：．12．（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是【答案】/29度【分析】本题主要考查圆的切线性质及圆周角定理．连接，由切线的性质可得，再利用余角的性质可得，然后根据圆周角定理即可求得．【详解】解：如图，连接，∵过点的切线交的延长线于点，∴，∴，∴，∴．故答案为：．13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是【答案】或【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．【详解】解：作于，如图所示：∵，，∴，∵的面积，∴，即圆心到的距离，∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；∵，∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或．故答案为：或．14．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为．【答案】或【分析】本题考查垂径定理的推论，三角形形的外角，等边三角形的判定和性质，分为弧是劣弧或弧是优弧，作射线交于点F，即可得到，进而求出的度数，利用三角形的外角解答即可．【详解】解：如图，当弧是劣弧时，连接交于点F，∵弧弧，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；如图，当弧是优弧时，连接并延长交于点，∵∵弧弧，∴，∵，∴，又∵，∴是等边三角形，∴，∴；故答案为：或．15．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）在中直径，，点D是弦上动点，连接，则最小值．【答案】3【分析】作，于点M，于点N，连接，则，，由垂线段最短知，，求出的长度即可．【详解】解：如图，作，于点M，于点N，连接，，，，又，，，由垂线段最短知，，，直径，．，，，又，，，，最小值为3，故答案为：3．【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，垂线段的性质，平行线的性质，圆的基本知识，勾股定理等，将转化成是解题的关键．16．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，，半径为3的与的两边相切，点P是上任意一点，过点P向的两边作垂线，垂足分别是E、F．设，则p的取值范围是．【答案】【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】解：设与两边的切点分别为、，连接、，延长交于点，由切线的性质可得，，，和是等腰直角三角形，，，，，，如图，延长交于点，同理可得，是等腰直角三角形，，，，当与相切时，有最值，连接，、都是切点，，，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，的最大值为；如图，同理可证，，四边形是正方形，的最值为；综上，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，估算无理数的大小等知识，证明，并且当与相切时，有最大或最小值是解题的关键．三、解答题（11小题，共82分）17．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，以为直径的交边于，于．求证：是的切线．【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的性质，能综合运用这些性质进行推理是解答本题的关键．连接，由等边对等角可得，可知，由，进而可推出，即可证明结论．【详解】证明：连接，，，，，，，，，为的切线．18．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数．【答案】【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等，连接，可得，得到，又由等腰三角形的性质可得，即可由三角形外角性质得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：连接，如图，∵为的切线，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．19．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：、、、、．(1)的外接圆圆心点的坐标______，图中点与的位置关系是______；(2)的外接圆的半径______，的内切圆的半径______．【答案】(1)，在圆上(2)，【分析】（1）分别找出与的垂直平分线，交于点，即为圆心，画出圆，如图所示，即可得到圆心坐标及判断点与的位置关系；（2）先由直角三角形外接圆的圆心为斜边中点，求出的长即可得到圆的半径；再由等面积法即可求出内切圆半径．【详解】（1）解：画出的外接圆，如图所示：的外接圆圆心点的坐标为；点与的位置关系是点在上；故答案为：，在圆上；（2）解：如图所示：；的外接圆的半径为，设的内切圆的半径为，圆心为，则根据内切圆定义，由等面积法可得，，解得；故答案为：，．【点睛】本题属于圆的综合题，涉及三角形外接圆作法、写出平面直角坐标系中点的坐标、点与圆的位置关系、勾股定理、三角形内切圆定义、等面积法求内切圆半径、分母有理化等知识，先在平面直角坐标系中描出各点，熟记三角形外接圆、内切圆定义及性质，数形结合是解决本题的关键．20．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知．(1)利用直尺和圆规作出的内切圆；(2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆．（2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案．【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求．（2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，，的周长为，．的面积为，，，，它的内切圆的半径为．21．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．(1)求证：．(2)若，求的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键．（1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证；（2）由勾股定理得，即可求解；【详解】（1）证明：∵，是半径，∴，∴∴（2）解：设的半径是，如图，连接，∵由垂径定理得：，∵∴∴∴的半径是5.22．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，C为上一点（C不与点A，B重合）连接，，过点C作，垂足为点．将沿翻折，点D落在点E处得，交于点F．(1)求证：是的切线；(2)若，，求阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查翻折的性质、切线的判定与性质和垂径定理，熟记梯形和扇形的面积公式是解题的关键．（1）连接OC，求得，推出，再由平行线的性质求出，即可得证；（2）连接，过点O作于点G，求出、、、、、的长，再根据计算即可得解．【详解】（1）证明：连接OC，∵，∴，∵沿翻折得到，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴是的切线；（2）解：如图，连接，过点O作于点G，∵，∴，，∵，∴，，∵，∴，∵，，，∴，，∴，∴，，∴．23．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心．(1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得．(2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2）【答案】(1)见解析(2)点是图中的外心，理由见解析【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键．（1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到；（2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心．【详解】（1）解：如图所示，点D为所求：∵点是的外心，∴是的外接圆，∵点是的内心，∴平分，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：点是图中的外心，理由如下：如图，连接，由（1）知，∴，即，∴，∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心．24．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：(1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想；(2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；(3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度．【答案】(1)＜；证明见解析(2)不成立；；证明见解析(3)【分析】（1）四边形为圆O的内接四边形，则，在中，，即可求解；（2）延长交圆O于点E，则，在中，，即可求解；（3）延长交于E，求得，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可．【详解】（1）解：连接，∵四边形为圆O的内接四边形，∴，在中，，∴，故答案为：；（2）解：（1）的结论不成立，，理由：延长交圆O于点E，连接，则，在中，，∴，即；（3）解：延长交于E，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，在中，，，∴，∴．【点睛】本题考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准圆内接四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点．25．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为度；【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程．【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为．【答案】【初步感知】45；【深入探究】见解析；【启发应用】【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．初步感知：根据圆周角定理即可得出答案；深入探究：先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论；启发应用：先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论．【详解】解：初步感知：∵，∴，故答案为：45；深入探究：证明：如图，延长至点E，使，连接，∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，∵是等边三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴；启发应用：如图，延长至点G，使，连接．∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．26．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）．【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）．（3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．【创新思考】（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一）【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键．（1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求；（2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；（3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可；（4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可．【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接；②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心；③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求；（2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，故材料的疏水性随着接触角的变大而变强；故答案为：变强；（3），理由如下：连接，则：，∴，∵为切线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（4）∵水滴弧的长度为：，∴，∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越