期末全册复习专题（8大考点20类题型）（教师版）-苏科版(2024)九上

期末全册复习专题（8大考点20类题型）目录TOC\o"1-2"\h\u一.基础篇 2【考点一】概念与定义判断 2【★题型1】一元二次方程（定义、一般形式、系数识别） 2【★题型2】圆的基本概念（圆心、半径、弦与弧、圆周角与圆心角） 3【★题型3】数据统计概念（平均数、中位数、众数、方差的定义） 5【★题型4】概率概念（等可能性、随机事件、概率的取值范围） 7【考点二】基础运算与求解 9【★题型5】一元二次方程解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 9【★题型6】圆的计算（弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积） 13【★题型7】统计量计算（利用平均数、中位数、众数、方差进行判断） 15【★题型8】一元二次方程根的判别式 18【考点四】核心性质应用 21【★题型9】圆的性质（垂径定理求弦长、圆周角定理求角度） 21二综合篇 27【考点五】章内综合 27【★★题型10】用树状图或列表法求概率 27【★★题型11】一元二次方程综合（根的定义+代数式化简求值） 30【★★题型12】圆的综合（垂径定理+圆周角定理+弧长计算） 33【★★题型13】圆的综合（切线性质与判定+圆周角定理+弧长与面积运算） 38【考点六】跨章综合 44【★★题型14】一元二次方程+圆（用方程求圆的半径或弦长） 44【★★题型15】概率+统计（用频率估计概率的统计应用） 47【考点七】实际应用 53【★★题型15】一元二次方程应用（增长率、利润、几何面积） 53【★★题型16】圆的应用（拱桥、滚轮行程、扇形统计图） 56【★★题型17】统计应用（用平均数、众数、中位数、方差做决策） 56【★★题型18】概率应用（几何概率、游戏公平性判断、抽奖概率计算） 61三培优篇 65【考点八】压轴题 65【★★★题型19】一元二次方程与几何综合 65【★★★题型20】圆的动态探究 74【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题一.基础篇【考点一】概念与定义判断【★题型1】一元二次方程（定义、一般形式、系数识别）1．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）下列方程是关于的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断．本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．解：A.，不一定是一元二次方程，不符合题意；B.，是一元二次方程，符合题意；C.，有两个未知数，不符合题意；

D.，分母有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；故选：B．2．（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如果是一元二次方程的一个根，那么多项式的值等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是求解代数式的值，一元二次方程的解的含义，由m是方程的根，可得，代入多项式化简即可．解：∵m是方程的根，∴，∴，∴．∴的值为2023．故选：C3．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为（其中）.根据二次项系数不为零的条件求解即可.解：∵关于的方程是一元二次方程，∴二次项系数，解得：.故答案为：.4．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程化成一般形式是；一次项系数是．【答案】【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般形式．先将方程右边的括号展开，然后移项使方程右边为0，合并同类项化为一般形式，再根据一般形式识别一次项系数．解：．，．可知一次项系数为．故答案为：，．【★题型2】圆的基本概念（圆心、半径、弦与弧、圆周角与圆心角）1．（25-26九年级上·广东汕头·月考）下列说法正确的是（

）A．直径是弦，弦是直径 B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径C．相等的弦所对的弧相等 D．在同圆中直径的长度是半径的2倍【答案】D【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、弧和半径的关系．根据圆的定义和性质逐一判断选项的正确性即可．解：A．直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故该选项错误，不符合题意；B．过圆内一点，若该点是圆心，可作无数条直径；若该点不是圆心，只能作一条直径（连接该点与圆心并延长），故该选项错误，不符合题意；C．相等的弦所对的弧不一定相等，因为弧有优弧和劣弧之分，只有在同圆或等圆中且对应同类型弧时才相等，故该选项错误，不符合题意；D．在同圆中，直径的长度是半径的2倍，故该选项正确，符合题意；．故选：D．2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列语句中，正确的有（

）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弧对等弦；③平分弦的直径垂直于弦；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键；根据圆的性质，判断每个语句的正确性，考虑同圆或等圆的条件以及弦是否为直径，然后问题可求解．解：∵①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，故①错误；∵②等弧对等弦，故②正确；∵③平分弦的直径垂直于弦，当弦为直径时不一定垂直，故③错误；∵④经过圆心的直线是圆的对称轴，故④正确；∴正确的有②④，共2个；故选B．3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键．解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交，故图中的圆周角有和，共个，故选：B．4．（24-25九年级上·北京顺义·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是（填写所有正确选项的序号）．①圆是轴对称图形；②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等；③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；④圆中垂直于弦的直径平分弦．【答案】②③【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可．解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上，∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是②③．故答案为：②③．【★题型3】数据统计概念（平均数、中位数、众数、方差的定义）1．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，下列四个温度计显示度数的平均数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是平均数的计算，根据四个温度计显示度数分别是，直接计算平均数即可．解：由图知，四个温度计显示度数分别是，∴四个温度计显示度数的平均数为，故选：D．2．（25-26八年级上·全国·单元测试）某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数和中位数是（

）A．岁和岁 B．岁和岁 C．岁和岁 D．岁和岁【答案】D【分析】本题考查众数与中位数的概念及统计图分析，利用众数（出现次数最多的数）和中位数（排序后中间位置数）的定义求解，关键是准确统计人数并确定中位数位置，易错点是未排序或数错总人数；解题思路为：从条形图得各年龄人数，找出现次数最多的数得众数，统计总人数确定中位数位置得中位数．解：从图中可知：21岁3人、22岁1人、23岁2人、24岁5人、25岁1人；众数：24岁（出现次数最多）；总人数：，中位数是第6、7个数的平均数，排序后第6、7个数平均数为岁，故中位数为岁；故选D．3．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知一组数据：、、、、，这组数据的平均数是，方差是．【答案】【分析】本题考查了求平均数和方差．先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差即可．解：这组数据为、、、、，共个数据，故平均数；方差．故答案为：，．4．（25-26八年级上·山东烟台·期中）实验中学规定学生的学期体育成绩满分100分，其中健康知识考试成绩、课外体育活动情况、体育技能考试成绩按的比例确定最终体育成绩，小明本学期这三项成绩（百分制）依次为95、90、94，则小明这学期的体育成绩为．【答案】93【分析】本题考查加权平均数的计算，根据比例，将各项成绩乘以相应权重后求和．解：健康知识考试成绩、课外体育活动情况、体育技能考试成绩的比例为，因此权重分别为、、，小明的成绩依次为95、90、94，故体育成绩为故答案为93．【★题型4】概率概念（等可能性、随机事件、概率的取值范围）3．（24-25九年级上·广东清远·期中）下列说法错误的是（

）A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为B．不可能事件发生的概率为0C．买一张彩票会中奖是随机事件D．连续掷一枚质地均匀的硬币，若5次都是正面朝上，则第6次是正面朝上【答案】D【分析】本题考查了概率是反映事件发生机会的大小的概念，解题的关键是掌握概率只是表示发生的机会的大小，机会大不一定发生，机会小也有可能发生．必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1．不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率并且．解：A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率，第一个出现4的机会是，第二个出现4的机会也是，因而点数都是4的概率为，故选项正确，不符合题意；B.不可能事件发生机会为0，正确，不符合题意；C.买一张彩票会中奖是随机事件，正确，不符合题意；D.连续掷一枚质地均匀的硬币，若5次都是正面朝上，则第6次不一定是正面朝上，故选项错误，符合题意．故选：D．7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于则密码的位数至少需要位．【答案】四/4【分析】本题考查了概率，分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键．解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；取两位数时一次就拨对密码的概率为；取三位数时一次就拨对密码的概率为；取四位数时一次就拨对密码的概率为；所以密码的位数至少需要四位，故答案为：四．8．（20-21八年级下·江苏常州·期中）在名男生和名女生的班级，随机抽签确定一名学生代表，则做代表的可能性较大（填写“男生”或“女生”）．【答案】男生【分析】依题意，分别求出男生作代表和女生做代表的概率，比较之即可求得答案．解：选男生做代表的概率为：，选女生作代表的概率为：，．男生做代表的可能性较大．故答案为：男生．【点拨】本题考查了概率的应用，掌握概率的简单计算是解题的关键．9．（2020·福建泉州·二模）一个盒子中有白球m个，红球5个，黑球n个（每个球除了颜色外都相同）．如果从中任取个球，取得是红球的概率和不是红球的概率相同，那么m+n=．【答案】5【分析】取得红球的概率与不是红球的概率相同，球的总数目是相同的，那么红球数与不是红球的球数相等．解：取得是红球的概率与不是红球的概率相同，即红球数目与不是红球的数目相同，而已知白球m个，红球5个，黑球n个，必有m+n=5．故答案为：5．【点拨】本题考查了概率的公式，用到的知识点为：在总数相同的情况下，概率相同的部分的具体数目相等．【考点二】基础运算与求解【★题型5】一元二次方程解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）12．（25-26九年级上·新疆昌吉·月考）解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．（1）利用因式分解法求解；（2）利用因式分解法求解；（3）利用直接开平方法求解；（4）利用因式分解法求解．解：（1）解：或∴；（2）解：或，∴；（3）解：或∴（4）解：或∴．13．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程（1） （2）【答案】（1），；（2），【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选用是解答的关键．（1）利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．解：（1）解：，，，∴，∴，∴，；（2）解：原方程化为∴∴或∴，．14．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（1） （2）【答案】（1），；（2）【分析】本题考查了一元二次方程与分式方程的解法，解题的关键是整式方程通过展开化简后因式分解求解，分式方程需去分母转整式方程并检验增根．（1）将方程展开化简为一元二次方程，因式分解求解；（2）分式方程去分母转整式方程，化简求解后检验增根，即可解答．解：（1）解：解得，；（2）解：或检验：当时，，（舍去）．∴方程的解为．15．（25-26九年级上·江苏常州·期中）解下列方程：（1） （2）（3） （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开平方即可得到答案；（2）利用公式法解方程即可；（3）把方程左边利用平方差公式分解因式，再解方程即可得到答案；（4）先把原方程化为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，最后解方程即可得到答案．解：（1）解：∵，∴，∴，解得；（2）解：∵，∴，∴，解得；（3）解：∵，∴，∴或，解得；（4）解：∵，∴，∴，∴或，解得．【★题型6】圆的计算（弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积）4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，连接，若的半径为5．则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，求弧长．连接，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，然后弧长公式计算即可．解：连接，∵，，∴，∴，∵四边形内接于，∴，∴，∴，∵的半径为5，∴的长为．故选：C10．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是．【答案】【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．直接运用圆锥的侧面积公式求解即可．解：∵圆锥的底面半径为，母线长为，∴这个圆锥的侧面积是．故答案为．11．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三个点均在格点上，连接，并作，过点B．则图中阴影部分的面积为．（结果保留）【答案】【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，圆周角定理的应用，弓形面积的计算，先证明，，再证明，再利用割补法求解阴影部分的面积即可．解：如图，连接，由勾股定理可得：，，∴，∴，∴为直径，∵，∴，∵，，∴；故答案为：．16．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和）【答案】【分析】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形的面积，先根据扇形面积公式：求出扇形的面积，然后根据阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积求解即可．解：∵扇形的半径为4，圆心角为，∴扇形的面积为，又四边形的面积为，∴阴影部分的面积为．【★题型7】统计量计算（利用平均数、中位数、众数、方差进行判断）1．（25-26八年级上·全国·单元测试）二中为了招聘一批优秀教师，对入选的三名候选人进行技能与专业知识两项考核，最终李老师、于老师、王老师三人的考核成绩统计如下：如果视教学技能与专业知识水平同等重要，那么候选人将被录取；如果视教学技能水平比专业知识水平重要，并且赋予它们6和4的权重，则将被录取．候选人百分制教学技能考核成绩专业知识考核成绩李老师8592于老师9185王老师8090【答案】李老师于老师【分析】此题考查平均数和加权平均数的计算．当两项考核同等重要时，计算算术平均数；当赋予不同权重时，计算加权平均数，再比较大小以决定录取．解：当视教学技能与专业知识水平同等重要时，计算各候选人的算术平均数：李老师：于老师：王老师：比较得，故李老师将被录取．当视教学技能水平比专业知识水平重要，并赋予它们6和4的权重时，计算各候选人的加权平均数：李老师：于老师：王老师：比较得，故于老师将被录取．二、解答题2．（2025·江苏·中考真题）为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：分）．表1评委评分数据评委评委评分小红7878777879小丽7768888878表2评委评分数据分析选手平均数中位数众数小红7小丽8根据以上信息，回答下列问题：（1）表2中______，______，______；（2）你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由．【答案】（1）；7；8；（2）小丽的成绩较好，理由见分析【分析】本题主要考查了平均数，中位数和众数，熟知平均数，中位数和众数的定义是解题的关键．（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可；（2）两人平均成绩相同，而小丽的中位数和众数大，据此可得结论．解：（1）解：由题意得，；把小红的10位评委的评分按照从低到高排列为：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，∴小红的10位评委的评分的中位数为分，即；∵小丽的10位评委的评分中，评分为8分的人数最多，∴小丽的10位评委的评分的众数为8，即；（2）解：小丽的成绩较好，理由如下：从平均数来看，两人的平均成绩相同，从中位数和众数来看，小丽的中位数和众数均大于小红的中位数和众数，故小丽的成绩较好．3．（2025·广东潮州·模拟预测）为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：组别平均数中位数众数方差甲组762.6乙组72（1）在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______．（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．【答案】（1）6，7，7；（2）小明可能是甲组的学生，解释原因见分析；（3）选乙组参加决赛，理由见分析【分析】本题考查了平均数，中位数，众数及方差的意义，关键是熟练应用特征数做决策．（1）根据方差、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；（2）根据中位数的意义即可得出答案；（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．解：（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．∴中间两个数的平均数是，则中位数；∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．∴，∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，∴众数．故答案为：6，7，7（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分，∴小明在小组中属中游略偏上．（3）选乙组参加决赛．理由如下：∵甲、乙两组学生平均数相同，而，∴乙组的成绩比较稳定，故选乙组参加决赛．【★题型8】一元二次方程根的判别式1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）已知关于x的方程．（1）若该方程的一个根为1，求m的值和该方程的另一个根；（2）求证：不论m取何值时，该方程都有两个不等实数根．【答案】（1），另一根为；（2）见分析【分析】本题考查了一元二次方程的求解，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．（1）将代入方程求出m的值，再求解方程即可得到另一个根即可；（2）证明一元二次方程的根的判别式恒为正即可．解：（1）解：将代入方程得，解得：，此方程为，因式分解为，∴，，解得：，，∴方程的另一个根为；（2）解：，∵，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）已知关于x的一元二次方程．（1）当时，求方程的实数根；（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．【答案】（1），；（2）【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程；（1）把代入方程中，解方程即可；（2）根据题意得到，对计算求解即可．解：（1）解：当时，，．（2）解：方程有两个不相等的实数根，，即，，．3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）．（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；（2）若、为该方程的两个实数根，且满足，求的值．【答案】（1）证明见分析；（2）【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）整理，即可证明无论取何值，方程总有实数根；（2）理解题意，得出，再结合，进行列式计算，即可作答．解：（1）解：∵关于的一元二次方程∴；∴无论取何值，方程总有实数根；（2）解：∵、为该方程的两个实数根，∴，∵，∴，解得．4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知关于的一元二次方程．（1）若该方程有一个根为，求方程的另一个根；（2）若该方程有两个相等的实数根，求的值．【答案】（1）另一个根是；（2）【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键；（1）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解；（2）根据一元二次方程根的判别式可进行求解．解：（1）解：设方程的另一个根为，则由一元二次方程根与系数的关系可得：，∴，即方程的另一个根是；（2）解：该方程有两个相等的实数根，，．【考点四】核心性质应用【★题型9】圆的性质（垂径定理求弦长、圆周角定理求角度）1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接、．点E为的中点，连接．（1）若，求的长；（2）若，求的度数．【答案】（1）3；（2）【分析】（1）根据垂径定理得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到的长；2.利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出，然后利用得到．解：（1）解：∵，∴，，∴，∵点E为的中点，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵点E为的中点，∴，∴．【点拨】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，．（1）求证：；（2）如果弦的长为8，与间的距离是3，求的长．【答案】（1）见分析；（2）【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．（1）过点O作，延长交⊙O于点E，根据题意可得：，推出，即可证明；（2）根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，即可求解．解：（1）证明：如图，作垂足为点，延长交⊙O于点E，∵是⊙O的直径，，∴，，∴，∴；（2）解：∵，则，∵，与间的距离是3，即，∴，∴，∴．3．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．（1）过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；（2）在边上找一点，使得．【答案】（1）作图见详解；（2）见分析【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握中线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）根据三角形中线平分三角形面积作图即可；（2）根据直径或半圆所对圆心角为直角，可得，结合可得是线段的垂直平分线，如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，可证，可得，由此即可求解．解：（1）解：∵点是边的中点，∴，∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，∴（2）解：∵以为直径的经过点，∴，即，又∵，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，平分，即，如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴．4．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，．（1）求证：；（2）猜想与的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2），理由见分析【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明；（2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可．解：（1）证明：∵，∴，由圆周角定理得：，∴；（2）解：，理由如下：∵，即∴，∴，∵，∴，∴，由圆周角定理得：，∴，∴．5．（25-26九年级上·北京密云·期中）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．（1）求证：；（2）若，当时，求半径的长．【答案】（1）见分析；（2）【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理，对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，

再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；

对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可.解：（1）证明：连接，

∵为直径∴，

∴，

∵，∴，

∴，

∴，

∵，

∴；（2）解：连接，

∵，∴，

∴，∵为直径，，∴，

在中，，

∴，

设的半径为x，，∵，∴，解得，∴的半径为.二综合篇【考点五】章内综合【★★题型10】用树状图或列表法求概率1．（2025·江苏·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．（1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是；（2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．【答案】（1）；（2），见分析【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．（1）直接利用概率公式即可解题；（2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可．解：（1）解：盒子里装有四张卡片，从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是，故答案为：．（2）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种，∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：．2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．（1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；（2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．【答案】（1）；（2）转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．（1）直接由概率公式求解即可；（2）列举出所有情况，乙盘指针落在C区域未落在Q区域的情况数，再进一步求解即可．解：（1）解：旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是．（2）解：列表如下：由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种，∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为．3．（2025·江苏宿迁·中考真题）某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有两个项目供学生选择：A文明交通劝导志愿行，B乡村教育关爱行，每名学生只能选择其中一个项目．（1）甲同学选择A项目的概率为___________；（2）请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了概率的基本计算，画树状图法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）直接由概率公式求解即可；（2）先画出树状图得到所有等可能的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．解：（1）解：∵有两个项目供学生选择，∴甲同学选择A项目的概率为，故答案为：；（2）解：画树状图为：

由树状图可知一共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的结果数有2种，∴甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率是．4．（2025·江西·中考真题）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废．（1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（

）A．必然事件

B．随机事件

C．不可能事件（2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．【答案】（1）B；（2）【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键．（1）直接根据随机事件的定义即可解答；（2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可．解：（1）解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能，∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件．故选B．（2）解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，根据题意列表如下：ABCDAA，BA，CA，DBB，AB，CB，DCC，AC，BC，DDD，AD，BD，C则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2．所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为．【★★题型11】一元二次方程综合（根的定义+代数式化简求值）1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且则．【答案】或【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系得，，再代入得，然后解方程并检验即可，解题的关键是熟悉：一元二次方程的两个根为，则，．解：∵是方程的两个实数根，∴，，∵，即把，，代入整理得，解得，∵方程有两个实数根，∴∴，解得：，∵都满足，∴．2．（2025·四川南充·一模）已知方程的两根分别为m、n，则的值为．【答案】﹣1【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，再整体代入求值即可得到答案；解：由条件可知：，，∴，∴．故答案为：．3．（2024·湖南·模拟预测）已知，是关于x的一元二次方程的两根，则．【答案】13【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．根据一元二次方程根与系数的关系得，，代入，即可解答．解：已知，，，，，，∴．故答案为：13．4．（2025·四川成都·一模）方程的全体实数根的积为．【答案】【分析】用换元法转化为关于的分式方程．先求，再求检验后求它们的积即可．本题主要考查了换元法解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤以及解分式方程的方法和步骤．解：原方程变形为：，设，于是原方程变为，整理，得，解得，，当时，则，即，解得，；当时，则，即，，无解，经检验，，是原方程的根，．故答案为：．【★★题型12】圆的综合（垂径定理+圆周角定理+弧长计算）1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接．（1）求证：平分；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见分析；（2）．【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用及利用勾股定理建立方程求解线段长度是解题的关键．（1）利用垂径定理得，再结合同弧所对的圆周角相等，证明．（2）先由垂径定理得的长度，设圆的半径为，用表示的长度，再在中利用勾股定理列方程求解．解：（1）证明：∵，∴，∴，∴平分；（2）解：∵，，∴，设的半径为，则，，在中，由勾股定理得，即，解得：．2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是弧上一动点，，的延长线交于点．连接．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．【答案】（1）25°；（2）2【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．（1）利用垂径定理和圆周角定理即可解决问题；（2）连接．证明是等边三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，即可解决问题．解：（1）解：如图，连接．，是的直径，．，．，，，．．（2）如图，连接．，．，是等边三角形，，∵，，，，，是的直径，．3．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图1，图2，在中，为直径，为圆上的两个动点，连接．（1）如图1，当点与点位于同侧时，连接，若于点．①若，求的度数；②若，求的半径；（2）如图2，当点与点位于异侧（点不与点重合）时，连接．若，直接写出的值．【答案】（1）①，②；（2）【分析】（1）①连接，如图所示，先由垂径定理得到，再由题中已知条件，有，从而有，最后根据圆周角定理求角度即可得到答案；②由垂径定理可知，设的半径为，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案；（2）延长至点，使，连接，如图所示，先由圆内接四边形性质得到，进而证得，再由全等三角形的性质得到，最后由等腰直角三角形的判定与性质求解即可得到答案．解：（1）解：①连接，如图所示：∵，∴，∵，∴，是的直径，∴，，；②∵，，设的半径为，，，在中，由勾股定理可知，即，解得，的半径为；（2）解：的值为．延长至点，使，连接，如图所示：四边形为的内接四边形，，，，在和中，，，，是的直径，，，，，为等腰直角三角形，，．【点拨】本题考查圆综合，涉及垂径定理、圆中弦与弧的关系、圆周角定理、勾股定理、圆内接四边形性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟记圆的相关性质及几何性质，并灵活运用是解决问题的关键．4．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，是上一点，，垂足为，．（1）求这段弯路的半径；（2）若m，，在不计公路宽度的前提下，计算该段公路的展直长度．（结果保留）【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了垂径定理，弧长公式，勾股定理等知识．（1）设该段弯路的半径为，由垂直定理得出，再利用勾股定理得出，代入数值计算即可得出答案．（2）根据该段公路的展直长度为计算即可．解：（1）解：设该段弯路的半径为，∵，，∴，在中，，解得：（米）．（2）解：根据题意：，∴展直长度为：【★★题型13】圆的综合（切线性质与判定+圆周角定理+弧长与面积运算）1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的外接圆，是直径，作与过点A的切线交于点D，连接并延长交的延长线于点E．（1）求证：；（2）若，，求线段的长度．【答案】（1）证明见分析；（2）【分析】本题考查切线性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理等知识，熟练掌握圆相关知识是解答的关键．（1）连接，先根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，然后证明可得结论；（2）先根据切线性质和全等三角形的性质得到，设半径为，利用勾股定理求得，进而可求解．解：（1）证明：连接，，，，，，且，，，；（2）解：是的切线，，，设半径为，则，，，解得，．2．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E．（1）求证：为的切线；（2）求证：；（3）若，，求的半径．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理：（1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论；（2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；（2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．解：（1）证明：连接，∵，∴，∵，∴，∵为的直径，∴，∴即，∵是的半径，∴为的切线；（2）证明：延长交于点，连接，∵，，∴垂直平分，∴，，∵为的切线，∴，∵为的直径，∴，∴四边形为矩形，∴；（3）解：由（2）知四边形为矩形，，，∴，∴，设的半径为，则：，在中，由勾股定理，得：，解得：；即：的半径为．3．（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见详解；（2）3【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定定理及勾股定理．（1）连接，根据为直径得出，由已知条件推得，从而证得，进而得出结论；（2）利用勾股定理得出，根据已知条件得出，解得的值，进而得到的半径．解：（1）证明：如图，连接，∵为直径，∴，即，又∵，，∴，∴，即，又∵是的半径，∴是的切线．（2）解：∵，在中，由勾股定理得，，∵，，，∴，∴，∴的半径为3．4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作，与的延长线交于点（1）求证：是的切线；（2）若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______．【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）设交于点，由是的直径，是的中点，得，，所以，，推导出，则，由，得，即可证明是的切线；（2）根据题意先证明四边形是正方形，再根据计算即可求解．解：（1）证明：如图1，设交于点，是的直径，是的中点，，，，，，，，，平分，，，，是的半径，且，是的切线．（2）解：如图2，是的直径，且的半径为2，，，∴四边形是矩形又∵∴四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，故答案为：【点拨】本题考查圆周角定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、切线的判定、扇形的面积公式等知识，推导出是解题的关键．【考点六】跨章综合【★★题型14】一元二次方程+圆（用方程求圆的半径或弦长）1．（23-24九年级上·山东德州·期末）已知，的半径为一元二次方程的根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答．解：∵∴故的半径为，∵，∴直线与圆相离故选：C．二、填空题2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知的两直角边分别是一元二次方程的两根，则此的外接圆半径与内切圆半径的和是．【答案】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直角三角形的外接圆和内切圆的问题．解出方程，可得两直角边是3或4，再由勾股定理可得的长，可求出的外接圆的半径；设的内切圆圆心为点O，与三边的切点分别为点D，E，F，连接，设内切圆的半径为r，结合切线长定理可求出内切圆的半径，即可求解．解：解方程，得：，即两直角边是3或4，根据勾股定理得：斜边长为：，即的外接圆直径为5，∴的外接圆的半径为．如图，设的内切圆圆心为点O，与三边的切点分别为点D，E，F，连接，设内切圆的半径为r，∴，，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，即内切圆的半径为1，此的外接圆半径与内切圆半径的和是．故答案为：三、解答题3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则点为该一元二次方程的衍生点．（1）若一元二次方程，写出该方程的衍生点的坐标______．（2）若关于的一元二次方程为．①求该方程的衍生点的坐标．②若以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，求的值．（3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．【答案】（1）；；（2）①；②；（3）有，【分析】（1）利用因式分解法求解方程的解，然后根据定义即可求解；（2）①利用因式分解法解方程，再根据衍生点的定义求解；②由条件得出圆心到坐标轴的距离相等，建立等式即可求解；（3）求出直线的恒过定点，将其视为衍生点，再利用根数系数的关系建立等式求解即可．解：（1）解：，解得：，点为该一元二次方程的衍生点，故答案为：．（2）①，，解得：，该方程的衍生点的坐标为：；②当以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，，解得：；（3）解：，该直线过定点：，根据定义，满足，当为，会使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上，由得；，．【点拨】本题考查了求一元二次方程的解，根与系数的关系、一次函数图象恒过定点问题、圆等问题，解题的关键是读懂衍生点的定义，根据定义进行求解衍生点，再解决问题（3）时，需要将定点视为衍生点才是解题的突破口．【★★题型15】概率+统计（用频率估计概率的统计应用）1．（2025·河北唐山·三模）“推进全民阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了九年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：时间（小时）678910人数58121510（1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数；（2）根据上述表格补全条形统计图；（3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于8小时的概率是多少？【答案】（1）平均数为，众数是9，中位数为；（2）见分析；（3）【分析】本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式．（1）先得出50名学生读书的总时间，除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，9出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，从而求出中位数是8.5；（2）根据题意直接补全图形即可．（3）从表格中得知在50名学生中，读书时间不少于8小时的有37人再除以50即可得出结论．解：（1）解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：，故这组样本数据的平均数为；∵这组样本数据中，9出现了15次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是9；∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，∴这组数据的中位数为；（2）补全图形如图所示，（3）∵读书时间是8小时的有12人，读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10人，∴读书时间不少于8小时的有（人），∴被抽到学生的读书时间不少于8小时的概率是．2．（2024·山东济宁·中考真题）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表分数80859095100人数33ab3【分析数据】八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表统计量班级平均数中位数众数方差八年级（1）班9541.5八年级（3）班919026.5【应用数据】根据以上信息，回答下列问题．（1）请补全条形统计图：（2）填空：______，______；（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．【答案】（1）见详解；（2）91，92.5；（3）八年级（1）班成绩较好，理由见详解；（4）【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统即可；（2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，，根据平均数和中位数的定义进行计算即可；（3）从平均数，中位数和众数综合分析得八年级（1）班成绩较好；（4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示，八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，用列表法表示出所有可能结果，再从中找出2名学生恰好在同一个班级的结果数，再根据概率的计算公式进行计算即可．解：（1）解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统计图如图所示：（2）解：由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，，∴，一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数，．（3）解：八年级（1）班和八年级（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好．（4）解：设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，则随机抽两名学生的所有情况如下：（1）班（3）班ABCXYAABACAXAYBBABCBXBYCCACBCXCYXXAXBXCXYYYAYBYCYX一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有共8种，∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为：．【点拨】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．3．（2025·贵州黔东南·二模）某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分．对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两位同学得分的折线图：b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：同学甲乙丙平均数m根据以上信息，回答下列问题：（1）求表中m的值；（2）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致（填“甲”或“乙”）；（3）如果学校打算从甲、乙、丙三位同学中选择2人参加学校开放日活动的表演，请用列表法或画树状图法计算选择甲的概率是多少．【答案】（1）；（2）甲；（3）【分析】本题主要考查列表法或树状图法求概率折线统计图、平均数、方差等知识点，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键．（1）根据平均数的定义即可解答；（2）计算甲、乙两同学的方差，即可求解；（3）通过列表法列出所有结果，再求概率即可．解：（1）解：．（2）解：甲同学的方差：，乙同学的方差：，，∴评委对甲同学演唱的评价更一致．故答案为：甲．（3）解：列表如下：甲乙丙甲（甲，乙）（甲，丙）乙（乙，甲）（乙，丙）丙（丙，甲）（丙，乙）总共有6种等可能的结果，选择甲的结果有4种，则P（选择甲）．【考点七】实际应用【★★题型15】一元二次方程应用（增长率、利润、几何面积）1．（2025·辽宁·模拟预测）新能源汽车是指采用非常规车用燃料（如电能、氢能等）作为动力来源，或使用新型车载动力装置的汽车，其核心特点是通过先进技术实现节能减排，推动汽车行业的绿色转型．某品牌新能源汽车年的销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，年的销售量比年增加了万辆．若设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．解：设从年到年该品牌新能源汽车销售量的年平均增长率为，由题意得，，故选：．2．（2024·福建龙岩·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？【答案】（1）；（2）50【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．解：（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意，得解得，（不合题意，舍去）答：该品牌头盔销售量的月增长率为．（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得整理，得解得因尽可能让顾客得到实惠所以不合题意，舍去．所以．答：该品牌头盔每个售价应定为50元．3．（2024·安徽蚌埠·二模）【观察思考】如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．【规律总结】请用含n的式子填空：（1）第n个图案中黄梅花的盆数为；（2）第n个图案中红梅花的盆数可表示为；【问题解决】（3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查了图形类规律探索，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键．（1）观察图案中黄梅花的盆数，得出规律即可；（2）观察图案中红梅花的盆数，得出规律即可；（3）根据题意列出方程，求解即可．解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为，第2个图案中黄梅花的盆数可表示为，第3个图案中黄梅花的盆数可表示为，第4个图案中黄梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中黄梅花的盆数可表示为；故答案为：；（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中红梅花的盆数可表示为；故答案为：；（3）根据题意得，整理得，即，解得（舍去）或．4．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个．（1）若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？（2）原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值．【答案】（1）B生产线至少加工6小时；（2）a的值为2【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可；根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．解：（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据题意可得：，

解得：答：生产线至少加工小时；（2）解：由题意可得：，

整理得：，

解得，（不符合题意，舍去），

答：的值为．【★★题型16】圆的应用（拱桥、滚轮行程、扇形统计图）【★★题型17】统计应用（用平均数、众数、中位数、方差做决策）1．（2025·广东广州·中考真题）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示：选手内容能力效果甲乙（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．【答案】（1）甲、乙的平均成绩均为90分，不能以此确定两人的名次；（2）甲排名第一，乙排名第二；（3）设计三项成绩的比为，理由内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一）【分析】本题考查了加权平均数，算术平均数，权重等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．（）利用算术平均数即可求解；（）利用加权平均数即可求解；（）改变权重即可．解：（1）解：不能以此确定两人的名次，甲的平均成绩：（分），乙的平均成绩：（分），∴，∴不能以此确定两人的名次；（2）解：甲的平均成绩：（分），乙的平均成绩：（分），∴，∴甲排名第一，乙排名第二；（3）解：设计三项成绩的比为，理由，内容是演讲的核心，占比最高，效果直接影响观众，次之，能力是基础，占比最低．（答案不唯一）2．（2024·四川攀枝花·中考真题）每年中考结束后，老师要对每道试题作分析．2023年全市有12180名学生参加中考，数学选择题共设置了12道单选题，每题5分，其中第10题每一位学生在A、B、C、D四个选项中都选择了其中一个答案，该题正确答案为B，学生答题情况不完整统计如表：选项ABCD人数365448721218占参考人数比（）302010根据表格绘制了图1、图2两幅不完整的统计图，请你根据信息解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）求扇形统计图中选B答案的学生人数占比所对的圆心角的度数；（3）本次中考，第10题全市平均分是多少？【答案】（1）见分析；（2）；（3）分【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，平均数等，掌握数据分析能力是解题的关键．（1）先利用总人数减去选项A，B，D的人数，得到选项C的人数，再补全条形统计图；（2）用选项B的人数除以总人数，再乘以，得到圆心角的度数；（3）用选项B的人数乘以5，再除以总人数，得到平均分．解：（1）解：，则补全条形统计图为：（2）解：，∴选B答案的学生人数占比所对的圆心角的度数为；（3）解：（分），答：本次中考，第10题全市平均分是分．3．（2025·河北·中考真题）某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：产品数据

类别调整前单价成本（元/件）调整后单价成本（元/件）方案甲方案乙（1）求调整前产品的年产量；（2）直接写出，的值；（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．【答案】（1）万件；（2），；（3）甲种方案总成本较低【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键；（1）先求得总产量，然后求得的年产量，最后求得产品的年产量；（2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解；（3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解．解：（1）万件，产品的年产量为：万件，∴调整前产品的年产量为：万件（2）∵方案甲的平均数与调整前的相同，∴解得：，∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为调整后为，∴（3）解：方案甲的总成本为：（万元）方案乙的总成本为：（万元）∴甲种方案总成本较低4．（2025·福建·中考真题）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）日期队员2月10日2月21日3月5日3月14日3月25日4月7日4月17日4月27日5月8日5月20日甲75807381908385929596乙82838682928387868485其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是．信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）年份20202021202220232024获奖分数线9089908990试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：（1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；（2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；（3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？【答案】（1），见分析；（2）甲，见分析；（3）选甲更合适．理由见分析【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键．（1）先求出乙的方差，然后比较即可；（2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可；（3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可．解：（1），即．因为，所以，所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定．（2）由已知得，获奖分数线的平均数为，从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．（3）选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适．【★★题型18】概率应用（几何概率、游戏公平性判断、抽奖概率计算）1．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可．解：如图所示，过点A作于点D∵是直径∴∵∴是等腰直角三角形∵∴，∴∴，∴该粒米落在扇形内的概率为．故选：D．【点拨】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．2．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，用六块全等的含的灰色直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，现在向大正六边形内部投掷飞镖，则飞镖射中灰色部分的概率为．【答案】【分析】本题考查几何概率的求解，勾股定理，设直角三角形中所对的直角边边长均为1，则斜边为2，利用勾股定理求出另一条直角边，分别求出小正六边形，大正六边形的面积，再求概率即可．解：设直角三角形中所对的直角边边长均为1，则斜边为2，所以另一条直角边为，小正六边形的边长为，小正六边形的面积为，大正六边形的面积为，飞镖射中灰色部分的概率为，故答案为：．3．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．【答案】（1）；（2）树状图见分析，该游戏对双方公平【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：（1）根据概率计算公式求解即可；（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．解：（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，故答案为：；（2）解：画树状图如下所示：由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，∴小明和小红获胜的概率相同，∴该游戏对双方公平．4．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．【答案】（1）；（2）这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见分析【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性：（1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可；（2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论．解：（1）解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，∴甲获胜的概率为；（2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，∴乙获胜的概率为，∵，∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．三培优篇【考点八】压轴题【★★★题型19】一元二次方程与几何综合1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上．连接，若平分，四边形是平行四边形，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点F作于H，的延长线于的延长线交于T，连接，设，则，证明四边形为菱形，则，在中由勾股定理得，即，整理得，由此解出x即可得出答案．解：过点F作于H，的延长线于