专题06 空间向量与立体几何（期末复习讲义）【原卷版】

1/27专题06空间向量与立体几何（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律一：空间向量线性运算1.熟练掌握线性运算及运算律，能结合图形完成向量运算.2.灵活运用共线/共面向量定理解决线面平行、四点共面等问题，奠定后续学习基础.3.掌握线性运算及运算律；4.运用共线/共面向量定理解决基础问题.1.题型：期末以选择、填空为主，偶在解答题中作为基础步骤综合考查.2.重点：期末核心考查共线/共面向量定理的简单应用，以及向量表达式化简.3.难度：偏低，属于基础送分题，是期末必考点，考查频率稳定.二：空间向量基本定理1.理解定理内涵，能判断基底、完成向量基底分解.2.运用推论解决四点共面问题，建立基底分解的解题思维.3.理解定理，能判断基底并完成向量分解；4.运用推论解决四点共面问题.1.题型：期末多以选择、填空题形式考查，较少在解答题中单独出现.2.重点：期末考查核心是向量基底分解，偶尔涉及四点共面推论的应用.3.难度：中等，侧重基础理解与简单应用三：空间向量坐标运算1.快速准确建立坐标系，熟练运用坐标运算公式.2.通过坐标运算解决向量问题，形成“几何→代数→几何”的解题链条.3.熟练建系及坐标运算公式；4.用坐标运算解决向量问题.1.题型：贯穿期末选择、填空、解答题，是解答题中立体几何问题的核心解题工具.2.重点：期末核心考查坐标系建立、向量坐标求解及基础坐标运算的准确性.3.难度：中等，是期末高频考点，运算量适中，侧重基础公式的应用.四：空间向量研究线面关系1.熟练求解方向向量与法向量.2.运用向量准确判断线线、线面、面面关系，求解各类空间角.3.熟练求方向向量、法向量；4.用向量判断线面关系、求空间角.1.题型：期末解答题核心考点，选择、填空题也会涉及，综合度较高.2.重点：期末考查重点是法向量求解、线面垂直/平行的证明，以及异面直线夹角、线面角计算.3.难度：中等偏上，是期末立体几何板块的核心得分点，不涉及复杂探究性问题五：空间向量研究距离与夹角问题1.熟练运用向量公式求解各类空间距离.2.准确求解各类空间角，规避范围与公式错误.3.熟练用向量求空间距离；1.题型：期末选择、填空、解答题均有考查，常与线面关系判断综合命题.2.重点：期末核心考查点到平面距离、二面角的基础计算，难度低于高考.3.难度：中等偏上，侧重基础公式应用与转化思想，是期末拉开分差的关键考点之一.考点一：空间向量线性运算1.核心概念：线性运算（加法：三角形/平行四边形法则；减法：三角形法则；数乘：，为实数）；共线向量定理（时，存在唯一，使）；共面向量定理（不共线时，与共面⇔存在唯一，使）.2.核心公式：运算律（；；）；共线判定（）；共面判定（不共线)）.3.易错点：混淆“共线”与“共面”（共线向量一定共面，共面向量不一定共线）；忽略共线定理中的条件，直接用判定共线.4.常考结论：四点共面且（为空间任一点）；直线且与不重合.考点二：空间向量基本定理1.核心概念：基底（不共面的三个向量，基向量非零）；定理（任一空间向量可唯一表示为）.2.核心公式：向量分解式（，唯一）；四点共面推论（且共面）.3.易错点：将共面向量作为基底（如正方体中同一面的三个边向量不可作基底）；忽略分解系数的唯一性，多解或漏解.4.常考结论：选基底优先选“从同一顶点出发的三条棱向量”（如正方体中）；若且为基底，则唯一确定.考点三：空间向量坐标运算1.核心概念：空间直角坐标系（以两两垂直且共点的直线为坐标轴）；向量坐标（，由起点、终点坐标差求得）.2.核心公式：线性运算（；）；数量积（）；模长（）；夹角（）；共线（）；垂直（）.3.易错点：建系错误（坐标轴不垂直，如将斜棱柱的侧棱作为轴）；坐标计算错（中点坐标漏除2、对称点坐标符号搞反）；夹角公式漏绝对值（直接用求线线角）.4.常考结论：点关于面对称点为，关于原点对称点为；若，则（直接用坐标判定）.考点四：空间向量研究线面关系1.核心概念：方向向量（与直线平行的非零向量，如直线的）；法向量（与平面垂直的非零向量，如平面的）；线面关系（平行、垂直、夹角：异面直线角、线面角、二面角）.2.核心公式：异面直线角（，）；线面角（，）；二面角（，，符号由图形判断）；线面平行（且直线不在平面内）；线面垂直（）.3.易错点：法向量求解漏解（忽略相反向量，如与均为法向量）；线面角与法向量夹角混淆（误用求线面角）；二面角符号判断错（直接取，忽略钝角）.4.常考结论：正方体/长方体中，可直接取棱向量为方向向量，面的法向量可由棱向量叉乘快速求得；若直线的与平面的平行，则（期末高频证明）.考点五：空间向量研究距离与夹角问题1.核心概念：空间距离（点到直线、点到平面、平行直线间、平行平面间距离）；空间夹角（异面直线角、线面角、二面角，范围不同公式有别）；核心公式（点到直线：；点到平面：；平行直线/平面间距离转化为点到直线/平面距离；夹角公式同考点四）.2.易错点：距离转化错（平行平面间距离直接用两法向量距离计算）；夹角范围记错（异面直线角误取，实际为）；点到平面距离公式漏绝对值（直接用）.3.常考结论：若平面α∥β，则α内任一点到β的距离都相等（期末简化计算）；求异面直线距离时，若两直线垂直，可直接用公垂线段长度（结合向量更简便）.题型一向量线性运算化简与求值解｜题｜技｜巧解题关键：熟练掌握三角形法则、平行四边形法则，利用几何体棱的平行/相等关系转化向量.答题模板：1.审题标注：明确目标向量，圈出已知向量及几何体中棱的平行、相等关系（如、）；2.向量转化：将目标向量逐步拆分为已知向量的线性组合，利用几何体结构特征替换等价向量；3.运算化简：依据向量加法、减法、数乘运算律（交换律、结合律、分配律）整理表达式；4.验证结果：检查运算过程中符号、系数是否正确，确保化简结果简洁且符合题意.【典例1】（24-25高二下·云南·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则.题型二共线/共面向量定理应用答｜题｜模｜板解题关键：牢记共线判定、四点共面判定且.答题模板：1.共线判断模板：①提取两条直线对应的方向向量、；②假设（），列出横、纵、竖坐标对应的等式；③求解，若存在唯一非零满足所有等式，则两直线共线（平行），否则不共线.2.共面判断模板：①选取空间任意一点（优先选几何体顶点，简化计算）；②写出、、、的向量关系，整理为的形式；③计算系数和，若等于1，则、、、四点共面，否则不共面.【典例1】（24-25高二上·广东广州·月考）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．3【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（

）A． B． C． D．题型三基底的判断与选择答｜题｜模｜板解题关键：明确基底必备条件（三个向量不共面、非零），优先选择同一顶点出发的三条棱向量作为基底.答题模板：1.基底判断模板：①第一步验证向量非零：确认三个向量均不为零向量；②第二步假设共面：假设三个向量、、共面，根据共面向量定理设；③第三步求解方程：列出坐标等式组，若方程组无解，则向量不共面，可作为基底；若有解，则共面，不可作为基底。2.基底选择模板：①优先选同一顶点出发、两两垂直或夹角明确的三条棱向量（如正方体中、、）；②确保所选基底能便捷表示几何体中其他所需向量，减少后续运算量.【典例1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）在三棱柱中，为的中点，则.【变式1】（24-25高二上·湖南邵阳·期末）平行六面体中，，，，则．【变式2】（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正四面体中，，则（用，，表示）．若，则．题型四向量的基底分解答｜题｜模｜板解题关键：利用几何体中的平行、相等、垂直关系，通过线性运算拆分目标向量，结合定理唯一性确定系数.答题模板：1.确定基底：明确选定的基底，标注基底向量的方向和长度关系；2.拆分目标向量：结合几何体结构，将目标向量沿基底方向拆分，利用等关系转化为基底相关向量；3.列等式：根据向量相等的定义，将目标向量表示为的形式，对应基底向量的系数；4.求解系数：通过几何体中的长度、平行关系列方程，解出、、，最终写出分解式.【典例1】（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则.【变式1】（23-24高二下·福建宁德·期末）四棱锥的底面是平行四边形，且，若则．【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则.题型五坐标运算与向量性质判断答｜题｜模｜板解题关键：熟记坐标运算公式，求线线角时注意夹角公式取绝对值，垂直判定直接用数量积为0.答题模板：1.明确向量坐标：写出已知向量、的坐标；2.执行运算：①线性运算：，；②数量积：；③模长：；④线线角：（）.3.性质判断：①共线：、、（存在唯一）；②垂直：，即.【典例1】【多选题】（24-25高二上·福建三明·期末）设，向量，，，且，，则（

）．A． B． C． D．【变式1】【多选题】（24-25高二上·浙江杭州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（

）A． B．A，B，C三点共线C． D．在上的投影向量为【变式2】【多选题】（24-25高二上·河南郑州·期末）已知空间向量，则下列结论正确的是（

）A．与共面B．C．在上的投影向量为D．与夹角的余弦值为题型六线线、线面、面面平行/垂直的证明答｜题｜模｜板解题关键：熟练求解方向向量、法向量；牢记判定关系（如线面垂直直线方向向量与平面法向量平行）.答题模板：1.准备工作：建立空间直角坐标系（若未建立），写出相关点的坐标；2.求向量：①方向向量：取直线上两点，计算两点坐标差得方向向量（如直线的方向向量）；②法向量：设平面法向量，取平面内两个不共线向量、，列方程组，求解得法向量（取最简整数比）；3.判定证明：①线线平行：（存在使）；线线垂直：；②线面平行：且直线上一点不在平面内；线面垂直：（存在使）；③面面平行：（存在使）；面面垂直：；4.写结论：结合判定条件，得出平行/垂直的最终结论.【典例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点，为侧棱上的动点.(1)求证：平面平面；(2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由.【变式1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，且，M为AD的中点，动点P满足，且.(1)若时，求证：；(2)若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值；(3)若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围.【变式2】（24-25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为.题型七空间角的计算答｜题｜模｜板解题关键：明确各角范围，熟记夹角公式（异面直线角用方向向量夹角绝对值的余弦，线面角用方向向量与法向量夹角绝对值的正弦），准确求解法向量.答题模板：1.异面直线角计算模板：①求方向向量：分别求出两条异面直线的方向向量、；②代入公式：（）；③求角度：根据的值，结合特殊角三角函数值求出.2.线面角计算模板：①求向量：求出直线方向向量和平面法向量；②代入公式：（）；③求角度：根据的值求出（注意区分线面角与法向量夹角，避免用错公式）.【典例1】（24-25高一下·海南·期末）如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，M、N、P、D分别是、、、的中点.(1)求证：平面；(2)求直线平面所成角的正弦值.【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【变式2】（24-25高二下·福建宁德·期末）如图，直四棱柱的底面是正方形，，，分别为线段，上的点，且满足.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.题型八点到平面距离的计算答｜题｜模｜板解题关键：熟记点到平面距离公式（为平面内点，为法向量），平行平面间距离转化为平面内任一点到另一平面的距离.答题模板：1.点到平面距离模板：①确定向量：选取平面内任意一点，目标点为，求出；求平面的法向量；②代入公式：（绝对值保证距离非负）；③计算结果：代入坐标计算数量积和模长，得出距离值.2.平行关系距离转化模板：①平行直线间距离：转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离（同点到直线距离方法）；②平行平面间距离：转化为其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离（同点到平面距离方法），无需额外求法向量.【典例1】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为.【变式1】（24-25高二上·天津和平·期末）正方体的棱长为分别为的中点，为底面的中心，则点到平面的距离为.【变式2】（24-25高二上·上海宝山·期中）平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为．题型九二面角与距离综合计算答｜题｜模｜板解题关键：先准确求解两个平面的法向量，判断二面角大小（锐角/钝角），再结合距离公式计算，注意运算准确性.答题模板：1.求二面角：①建立坐标系，写出两个平面内相关点的坐标；②分别求出两个平面的法向量、；③计算法向量夹角余弦值：；④判断二面角类型：根据几何体图形，判断二面角为锐角或钝角，二面角与相等或互补，得出的大小.2.求距离：①若求点到平面距离，按题型9模板计算；②若求异面直线距离，先找公垂线方向向量（可由两直线方向向量叉乘得到），再取两直线上各一点构造向量，投影到公垂线方向向量上求模长。3.综合总结：整理二面角大小和距离结果，规范书写答题步骤.【典例1】（25-26高二上·北京·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD.

(1)证明：；(2)若，求二面角的余弦值；(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离.【变式1】（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，分别为棱，的中点．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【变式2】（24-25高二下·四川凉山·期末）如图，在圆锥中，为底面圆的内接四边形，对角线过圆心，圆锥母线长为，，.(1)若，平面与平面的交线为，证明：；(2)若，求平面与平面所成角的正弦值.题型十动态问题中的向量应用（含动点、动直线/平面）答｜题｜模｜板解题关键：1.用参数（如、）表示动态点的坐标或动态向量；2.将几何条件（平行、垂直、角度范围）转化为关于参数的代数方程/不等式；3.借助函数值域或不等式求解参数范围.答题模板：1.参数化建模：①建立空间直角坐标系，设动点坐标（含参数，如，用表示其中1-2个变量）；②写出动态直线的方向向量或动态平面的法向量（含参数）.2.转化条件：①根据题意列出几何条件（如线面垂直则方向向量与法向量共线、角度则余弦值）；②将向量关系代入，转化为关于参数的方程或不等式.3.求解参数：①解代数方程/不等式，确定参数的取值范围；②若求最值，结合函数单调性或基本不等式计算极值.4.验证结论：结合动态场景验证参数范围的合理性，确保几何意义与代数结果一致.【典例1】【多选题】（25-26高二上·浙江杭州·期中）棱长为2的正方体中，点在棱上运动，点是棱的中点，则下列说法正确的是（

）A．若是棱的中点，则平面B．存在点使C．若与平面所成的角记为，则D．点到直线的距离最小值为【变式1】【多选题】（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（

）A．B．三棱锥的体积是C．的最小值为D．不存在点使直线与直线夹角的余弦值为【变式2】【多选题】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知正方体棱长为2，点在底面内运动，则（）A．三棱锥体积为定值B．二面角为定值C．直线与平面所成角的正弦值取值范围为D．的最小值为题型十一空间角与距离的最值问题答｜题｜模｜板解题关键：1.将角或距离表示为关于某个变量的函数（如线段长度、角度参数）；2.利用向量公式转化函数表达式，结合变量的取值范围求最值；3.区分“角的最值”与“三角函数值的最值”（如异面直线角最小对应余弦值最大）.答题模板：1.变量设定：①建立坐标系，设影响角/距离的变量（如线段上动点的参数，）；②写出相关点的坐标与向量坐标（含变量）.2.函数转化：①代入空间角或距离公式，将所求量表示为关于变量的函数（如、）；②化简函数表达式，明确变量的取值范围（由几何体边界确定）.3.求最值：①利用一次函数单调性、二次函数顶点式或基本不等式求函数最值；②结合角的范围（如二面角）转化函数最值，得到几何量的最值（如最小则最大）.4.确定最值条件：找到取得最值时的变量值，明确对应的几何位置（如动点的具体坐标）【典例1】（24-25高一下·黑龙江·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点在底面的投影恰为的重心．(1)求证：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点（不包括端点）．①求四棱锥的体积；②求平面与平面夹角的余弦值的最大值．【变式1】（24-25高二下·云南丽江·期末）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；(2)若且，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围．【变式2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，．(1)求四棱锥的体积的最大值：(2)在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．题型十二折叠问题中的空间向量求解答｜题｜模｜板解题关键：1.区分折叠前后的“不变量”（长度不变、共面关系不变）与“变量”（空间位置关系变化）；2.折叠后以“不变的垂直关系”为依据建立坐标系；3.注意折叠后平面与平面的交线，以此为桥梁关联前后坐标.答题模板：1.分析折叠前后的关系：①标注平面图形中的垂直关系、线段长度（不变量）；②确定折叠后几何体的结构，明确交线（如折痕为交线）.2.建系与坐标求解：①以折叠后仍垂直的两条线段为坐标轴，折痕上的顶点为原点；②利用不变的线段长度，写出折叠后各顶点的坐标（注意折叠后空间位置的变化，避免坐标符号错误）.3.向量运算：①计算方向向量与法向量，验证折叠后的垂直/平行关系；②代入空间角或距离公式计算所求量.4.验证合理性：结合折叠的动态过程，验证所求角或距离是否符合空间几何体的实际位置关系.【典例1】（25-26高二上·安徽芜湖·期中）如图，在平面四边形中为等腰直角三角形，为正三角形，，将沿翻折至，其中为动点.(1)三棱锥的各个顶点都在球的球面上：①当二面角的大小为时，求球的表面积；②求球的表面积的最小值；(2)求二面角的余弦值的最小值.【变式1】（25-26高二上·江西宜春·月考）如图1，在平面四边形中，，，，，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.(1)求证：平面；(2)设线段的中点为，求平面与平面所成的二面角的余弦值.【变式2】（25-26高三上·湖北襄阳·月考）如图，在中，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥为棱上一动点（不包含端点）．(1)若为棱的中点，证明：平面；(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求.题型十三向量法解决探索性问题（存在性问题）答｜题｜模｜板解题关键：1.假设存在满足条件的点或直线，用参数表示其坐标或方向向量；2.将几何条件转化为向量的代数方程；3.若方程有解则存在，无解则不存在.答题模板：1.假设与参数化：①假设存在满足条件的点（或直线），设的坐标为（含参数，如在某线段上则用表示为，）；②写出相关直线的方向向量或平面的法向量.2.条件转化：①将题目条件（如平面则垂直平面内两条相交直线）转化为向量关系（如且）；②代入坐标得到关于参数的方程组.3.求解验证：①解方程组，判断是否存在符合条件的参数（如）；②若存在，求出参数值并确定点/直线的位置；若不存在，说明方程无解的原因.4.总结结论：明确写出“存在”或“不存在”，并补充对应的几何位置（如存在点，当时位于线段中点）.【典例1】（25-26高三上·北京昌平·月考）如图，四边形、均为直角梯形，，，，且．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【变式1】（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为1，，，平面平面，点，满足，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值；(3)是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【变式2】（25-26高二上·河北秦皇岛·期中）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，为中点．(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．期末基础通关练（测试时间：30分钟）一、单选题1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（21-22高一下·重庆沙坪坝·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（）A． B．C． D．3．（25-26高二上·湖北孝感·期中）设空间向量.若不能构成空间向量的一组基底，则（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（

）A． B． C．4 D．3二、多选题5．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知空间中三点，则（

）A．向量与向量垂直B．平面的一个法向量为C．与的夹角余弦值为D．三、填空题6．（25-26高二上·天津河东·期中）在空间直角坐标系中，若，四点共面，则．7．（25-26高二上·云南·月考）如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则.

8．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知正方体的边长为，点是的中点，则点到直线的距离为.9．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为.10．（24-25高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为.期末重难突破练（测试时间：60分钟）一、单选题1．（24-25高二上·河南周口·月考）在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·吉林松原·期末）郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（

）A．3 B． C． D．63．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．（24-25高一下·广东云浮·期末）已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（

）A．正四面体外接球的表面积为B．正四面体内切球的体积为C．的最大值为D．的最小值为5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在长方体中，，空间中的点满足，则下列说法正确的是（

）A．若，则点在平面上B．若，且，则与面所成角最小值的正切值为C．若，则的最小值为D．若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为6．（2025·湖南·三模）如图，两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.点，分别是对角线，上的动点，且，的长度相等，记，点是线段上的一点.下列结论正确的是（

）

A．B．的最小值是C．三棱锥与三棱锥的体积相等D．若点，，，，，在同一个球的球面上，则该球的体积是三、解答题7．（25-26高二上·福建福州·期中）如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示．(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．8．（23-24高二上·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，，，且平面平面ABCD，在平面ABCD内过B作，交AD于O，连PO.

(1)求证：平面ABCD；(2)求面APB与面PBC所成角的正弦值；(3)在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为，求PM的长.9．（24-25高一下·重庆·期末）已知梯形中，，如图1.将沿折起到，得到三棱锥，如图2，分别为棱､的中点.(1)若，求证：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值；(3)是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.10．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图，在四棱台中，．底面ABCD为菱形，，点E为的中点．，连接AC、BD，设交点为O，连接．(1)求证：；(2)若，且二面角大小为60°，求三棱锥外接球的表面积．期末综合拓展练（测试时间：6-分钟）1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分别为，，，则球面三角形ABC的面积为.

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；(2)将图1中四面体OABC截出得到图2，若平面三角形ABC为直角三角形，，延长AO与球O交于点D，连接BD，CD.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，且，，S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值.2．（24-25高一下·山西运城·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面