专题04 排列组合常考的16大解题技巧题型（期末复习专项训练）（原卷版）

2/24专题04排列组合的解题技巧题型1分类加法与分步乘法的综合题型9正难则反间接法题型2数字的排列问题题型10相同元素隔板法（难点）题型3图形的染色问题题型11完全平均分组问题题型4特殊元素/特殊位置优先法（重点）题型12部分平均分组问题（重点）题型5相邻问题捆绑法（重点）题型13先分组再分配问题（重点）题型6不相邻问题插空法（重点）题型14圆桌排列问题题型7相邻与不相邻综合（重点）题型15配套问题题型8定序问题倍缩法题型16多条件叠加综合复杂题型（难点）题型一分类加法与分布乘法的综合（共3小题）1．将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为.123452．(25-26高三上·重庆第十一中学校教育集团·)中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（

）A．3人选择的作品均不同的方法总数为24B．恰有2人选同一部作品的方法总数为27C．恰有1人选《红楼梦》的概率是27D．若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为73．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（

）A．12 B．24 C．64 D．81题型二数字的排列问题（共3小题）4．(25-26高三上·四川成都郫都区·)【多选】用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（

）A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数5．(24-25高二下·湖北孝感高级中学·)用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数．(1)比20000大的五位偶数共有多少个；(2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？(3)能被6整除的五位数有多少个．6．将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有（

）．A．576种 B．720种 C．864种 D．900种题型三图形的染色问题（共3小题）7．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第一二二中学校·月考)如图所示，现要给固定位置的四棱锥P−ABCD的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（

）

A．360 B．420 C．480 D．6608．(24-25高二下·湖南衡阳·期末)某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（

）A．413 B．521 C．5139．(24-25高二下·江苏南京雨花台中学·期中)用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8题型四特殊元素/特殊位置优先法（共3小题）10．（广西柳州市2026届高三第一次模拟考试数学试题）甲、乙等5人站成一排，若甲和乙之间恰好有2人，且甲不在两端，则不同排法共有（

）A．8种 B．12种 C．16种 D．20种11．(25-26高三上·上海中学东校·)将a,b,c,d,e,f排成一列，a不在首位且b不在末位的不同排法共有种.12．(25-26高三上·辽宁大连部分高中学校·)某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的4×100m接力比赛，已知甲不能站在第一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（

A．8种 B．14种 C．18种 D．24种题型五相邻问题捆绑法（共3小题）13．(25-26高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中)有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为．14．(25-26高三上·云南曲靖会泽县实验高级中学校·期中)若甲､乙､丙､丁､戊随机站成一排，则甲､乙相邻的种数为（

）A．48 B．60 C．72 D．9015．(25-26高三上·江苏镇江·)某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（用数字作答）种.题型六不相邻问题插空法（共3小题）16．(25-26高二上·上海宜川中学·期中)5人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是．17．(25-26高三上·广东佛山顺德区北滘镇莘村中学·月考)现将2本不同的数学书、3本不同的物理书、1本化学书放在一个单层的书架上，且同类的书各不相邻，则不同的放法有（

）A．120种 B．144种 C．96种 D．160种18．（山东省实验中学2026届高三10月一诊数学试题）现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻的站法总数为.（结果用数字作答）.题型七相邻与不相邻综合（共3小题）19．(25-26高三上·贵州部分学校·)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有种．20．(25-26高三上·重庆兼善中学·月考)6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是．21．(25-26高一上·北京首都师范大学附属中学·期中)某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有种.（用数字作答）题型八定序问题倍缩法（共3小题）22．(25-26高三上·江西吉安西路七校·)育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有种插入方法（用数字作答）.23．7名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他6名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有种排法．24．5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有种情况.题型九正难则反间接法（共3小题）25．(25-26高一上·上海向明中学·期中)某小组共有10名学生，其中女生3名，现任选2名代表，则至少有一位女生当选的选法有种．26．(25-26高三上·内蒙古部分学校·)某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工，从该部门选3人组成一个项目组，要求该项目组男、女员工都有，则不同的选法种数为（

）A．84 B．90 C．96 D．10027．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)已知某车库有一类车库a,b,c,d四个，二类车库e,f两个，（1）若从这6个库中挑3个不同的库，至少有1个二类库的概率是；（2）若这6个车库每个库至多可停2部车，现有4辆车需同时停在库中，有种不同停车方案（用数字作答）.题型十相同元素隔板法（共3小题）28．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（

）种不同分配方案．A．9 B．36C．84 D．12029．不定方程x1+x2+30．（1）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，每班至少1人，名额分配方案共有种.（2）某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12人由8个班的学生组成，名额分配方案共有种.题型十一完全平均分组问题（共3小题）31．（广东省部分学校2026届高三上学期开学联考数学试题）某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战．为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（

）A．60种 B．120种 C．180种 D．720种32．现有登山运动员10人，要平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需分配到2人，那么不同的分组方法有种.33．（湖南省永州市宁远县第二中学2025届高三下学期高考押题卷数学试题）将6个不同的球分给3个不同的盒子（每个盒子至少有一个球），则不同的分配方法的种数为．题型十二部分平均分组问题（共3小题）34．(25-26高三上·重庆巴蜀中学校·月考)某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作.每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（

）A．300种 B．90种 C．240种 D．150种35．（2025届新高考数学原创卷（5））2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（

）A．1800 B．16800 C．14280 D．2520036．(24-25高二下·陕西咸阳永寿县中学·期末)六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为.题型十三先分组再分配问题（共3小题）37．(24-25高二下·新疆乌鲁木齐第101中学·期末)某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（

）种A．150 B．180 C．360 D．54038．(24-25高二下·江苏启东中学·月考)某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（）A．90种 B．150种 C．300种 D．360种39．(24-25高二下·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期末)4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（

）A．180 B．240 C．288 D．360题型十四圆桌排列问题（共3小题）40．（辽宁省部分示范性高中2025届高三下学期4月模拟联合调研数学试题）已知甲、乙、丙以及其他9个人围坐在圆桌旁，则甲和乙之间相隔的人数不超过3个人且甲和丙之间相隔的人数不超过2个人的概率是.41．（2025届高三数学信息检测原创卷（二））现有9位同学围着圆桌坐成一圈，他们的衣服上分别标有号码1，2，3，…，9，若任意相邻两个号码之积不小于4，则不同的坐法有种．42．(24-25高二下·湖北云学部分重点高中·月考)某学校图书室内，有10位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法（

）A．A1010 B．A99 C．题型十五配套问题（共2小题）43．（山西省朔州市怀仁市第一中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题）某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为（

）A．37 B．38 C．2744．（广东省江门市2023届高三一模数学试题）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（

）A．25 B．45 C．815题型十六多条件叠加综合复杂题型（共3小题）45．(25-26高三上·福建福州台江区九校·期中)来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点．他们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少选择1个，则不同的打卡方案种数为．46．(24-25高二下·广东深圳大学附属中学·期末)