专题05 导数及其应用（3知识10题型2易错）（期末复习知识清单）（原卷版）

②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．【清单03】导数与函数的极值、最值1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号异号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【题型一】导数的计算【例1】．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知函数，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】．（24-25高二下·福建泉州·月考）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【变式1-2】．（25-26高二上·浙江宁波·期中）（多选题）下列导数计算正确的是（

）A． B．C． D．【题型二】导数的几何意义及其应用【例2】．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是．

【变式2-1】．（25-26高二·全国·假期作业）曲线在点处的导数为，在点处的切线方程为．【变式2-2】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（

）A．3 B． C． D．【题型三】证明（判断）函数的单调性【例3】．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数，(1)若曲线与轴相切，求实数的取值；(2)讨论函数的单调区间．【变式3-1】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论单调性．

【变式3-2】．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)讨论的单调性．【题型四】函数单调性的简单应用【例4】．（24-25高二下·云南昭通·期中）若函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-1】．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数的单调递增区间为，则的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．【变式4-2】．（24-25高二下·上海黄浦·月考）若在上单调递增，则的取值范围是．

【题型五】函数的极值【例5】．已知函数，当时，取得极小值5.(1)求的值；(2)当时，求的最小值.【变式5-1】．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数在处有极小值，则的值为（

）A．1或3 B．2 C．3 D．1【变式5-2】．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若是的极小值点，求实数m的取值范围．

【题型六】函数的最值【例6】．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数．(1)当，求在区间上的最大值；(2)讨论的单调性．【变式6-1】．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知函数，其中e是自然对数的底数．(1)求函数在区间上的最大值；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．【变式6-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．(1)求的最值；(2)若，求的取值范围．【题型七】函数中的构造问题【例7】．已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．

【变式7-1】．已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，且，则的解集为.【变式7-2】．已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为．【题型八】不等式的恒成立问题【例8】．（24-25高二下·北京大兴·期中）在下列不等式中，当时，关于x的不等式对任意的不能恒成立的是（

）A． B．C． D．【变式8-1】.当时，恒成立，则实数的取值范围为.【变式8-2】．已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.【题型九】不等式的证明问题【例9】．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.求证：当时，；

【变式9-1】．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)证明：当时，．【变式9-2】．（25-26高三上·安徽·月考）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)设，当时，证明．

【题型十】函数的零点问题【例10】．（25-26高三上·广东河源·月考）已知函数在处有极值.(1)求的值；(2)若函数恰有3个零点，求实数的取值范围.【变式10-1】．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)证明:当时，在上有且仅有一个零点.

【题型一】容易函数的定义域而致错【例1】．（2025·青海·模拟预测）已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若，恒成立，求的取值范围．【变式1-1】．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)若恒成立，求