2025年安徽淮南市第二中学自主招生数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页高一新生综合能力测试数学试卷一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，，则的长度为（

）A． B． C． D．2．若满足，的恰好有两个，则边的取值范围是（

）A． B．C． D．3．如图，在中，，于F，交于E，若，则的大小是（）

A． B． C． D．4．九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（

）A． B． C． D．5．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为 B．的面积为C．周长的最小值为16 D．的最小值为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．6．已知二次函数为常数）的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（

）A．B．对任意实数，都有C．关于的不等式恒成立D．若关于的函数与关于的函数有相同最小值，则的最大值为7．如图，在矩形中，平分，将沿折叠至，点恰好落在上．延长交于点，交于点．则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．8．设正整数，其中、、、只能取0或者1，记，则（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分．9．设矩形的面积为2025，点在边上．则以、、的重心为顶点构成的三角形的面积为．10．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．那么，在不超过2025的所有正整数中，最大的“和谐数”为．11．如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则．12．如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为．则．13．已知、、是非零实数，关于的一元二次方程，，有公共解，则代数式的值为．14．一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次，则至少有2个不同标号的球被取出的概率为．15．设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则的值为．16．若对任意实数都有，则的取值范围．四、解答题：本题共5小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）设，求的值；（2）已知满足，且点不在一次函数的图像上，求与的一次函数关系式；（3）若为正有理数，证明：若为有理数，则为有理数．18．如图1，为圆的直径，是圆上异于的任一点，连接，过点作射线为射线上一点，连接．(1)若点在直线同侧，且，求的长度；(2)若在点运动过程中，始终有，连接．①如图2，当与圆相切时，求的长度；②求长度的取值范围．19．数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为．实验：加入克糖，则糖水的浓度发生了变化．(1)根据生活经验，请你写出一个“糖水不等式”，并验证你写的不等式的正确性；(2)根据上述实验，求证：；(3)证明：．20．已知三角形纸片和中，．(1)如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，当不重合且不共线时，证明：．(2)如图2，在纸片绕点A旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．(3)在纸片绕点A旋转过程中，若为直角三角形，求直角三角形面积的最小值．21．如图，抛物线与轴交于（在的左侧），与轴交于点，点为抛物线上的动点，且在直线的下方，过点作，垂足为，且直线与轴交于点，交抛物线于点．(1)关于的不等式组有解，求的最大值；(2)直线与直线交于点分别为的中点，若长为8，求的面积；(3)当轴时，把绕顶点旋转，得到，再把沿直线平移至，在平面上是否存在点，使得以为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，利用平方根解方程等知识，掌握相关知识点是解题关键．过点作于点．设，由题意得，证明出，得到，由角平分线的性质定理，得到，进而得出，则，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过点作于点．设，是的中线，，和恰好把三等分，，为的高线，，又，，，．，，，，．，．在中，，即，（负值已舍），，．故选：B．2．C【分析】本题考查的知识点是三角形解的个数问题，解题关键是熟练掌握三角形有两个解的条件．设，中，，三角形有两个解的条件是，代入即可求解．【详解】解：设，中，，若此三角形有两个，则有，即，解得且，的取值范围是．故选：．3．D【分析】取的中点，连接，根据平行四边形的性质，可得，结合已知条件可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得，求得，根据直角三角两锐角互余即可求得．【详解】解：如图，取的中点，连接，

四边形是平行四边形∴，，，是直角三角形，的的中点，，，，，，∵，，，，，，∴，，，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的两锐角互余，等边对等角，三角形的外角性质，找中点作辅助线是解题的关键．4．C【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，解题关键是通过任意人分数之和不超过分分析得到不含最高分的其余人满足任意三人分数之和不超过．设得分最高的人分数为，则其他人总分为，结合任意人分数和，分析可得包括最高分者时，任意其他三人分数之和不超过，则其他人需满足任意三人分数之和不超过，列出不等式后即可得解．【详解】解：总分，设最高分为，则其他人总分为，又任意人分数和，包括最高分时，任意其他三人分数和，其他人任意三人分数和，其总分，，即，，，当时，其他人分数均为，任意三人之和为，此时任意四人之和为，满足条件，一个人最多得分．故选：．5．D【分析】延长、交于点，过点作直线，由等边三角形的性质可得，，证明四边形为平行四边形，得出为中点，从而可得在直线上运动，证明为等边三角形，得出，连接，则，，求出，从而可得点到直线的距离都为，再由三角形的面积公式即可判断B错误；作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，由勾股定理即可判断D正确；由得出当、、共线时，最小，最小值为的长度，即可判断A错误；过点作于，过点作于，由等边三角形的性质可得，，求出，即可判断C错误．【详解】解：如图，延长、交于点，过点作直线，∵和是位于直线同侧的两个等边三角形，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形，∵为中点，∴为中点，∵在线段上运动，∴在直线上运动，∵，∴为等边三角形，∴，连接，∵点是的中点，∴，，∴，∴点到直线的距离都为，∴的面积为，故B错误；作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，此时最小值为，故D正确；∵，∴，∴当、、共线时，最小，最小值为的长度，∴的最小值为，故A错误；如图，过点作于，过点作于，∵和是位于直线同侧的两个等边三角形，∴，，∴，∴，∴，即，∴，∴周长的最小值为，故C错误；故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．6．ACD【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，函数的最值，函数值大小比较，解题的关键是掌握二次函数图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项进行判断即可．【详解】解：A.由函数图象可知，，当时，，∴，∵，∴，∴，由函数图象可得，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故该项正确；B.当时，函数值最小，为，当时，为任意实数，函数值为，∴，即，故该选项错误；C.根据抛物线可得，距离对称轴越远的点，函数值越大，，，∵，∴，∴，即，故该选项正确；D.∵，∴当时，的最小值为，∵，∴当时，的最小值为，∴当时，两个函数的最小值相同，∴，∴或（正值舍去），∴的最大值为，故该选项正确；故选：ACD．7．BCD【分析】利用矩形的性质和翻折的性质可得，利用证明，由平分可得，得出为等腰直角三角形，得，，得出，可得，故可判断A、B；由得，由折叠得，又，可求出，故可判断C；利用等腰三角形两个底角相等，通过计算角度，可证明，得，可判断D．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵平分，∴，∴，∵将沿折叠至，∴，∴，，,∴，，，∴；又，∴，∴，，∴,又，∴，∴，故选项A错误，选项B正确；∴，∴，故选项C正确；∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故选项D正确；故选：BCD．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用设参数表示出各线段的长是解决问题的关键．8．ACD【分析】本题考查正整数二进制表示中权重函数的性质，即二进制数码中的个数，选项A通过直接计算验证；选项B通过反例判断不成立；选项C利用左移运算不改变权重的性质；选项D通过分析加法运算的低位变化及无进位情况判断相等，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：A、的二进制表示为，故，正确；B、取，则（二进制表示为，即），（二进制表示为，即），，不成立；C、相当于的二进制左移两位（低位补），不改变的个数，故，正确；D、中末两位为，加（二进制表示为）得末两位，无进位，故；中末四位为，加（二进制表示为）得末四位，无进位，故，二者相等，正确；故选：ACD．9．225【分析】本题考查了三角形的重心的性质、矩形的性质，通过建立坐标系，设矩形边长，利用重心坐标公式求得三个重心点坐标，再计算所构成三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，设，，则矩形面积为，∵点在上，∴设点的坐标为．由的顶点为，，，可得其重心坐标为，即．由的顶点为，，，可得其重心坐标为，即．由的顶点为，，，可得其重心坐标为，即；∵点和的纵坐标相同，∴线段平行于轴，其长度为，∵点的纵坐标为，与的垂直距离为．因此，的面积为．代入，得面积为，故答案为：．10．1946【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，根据“和谐数”的定义，设两个连续奇数为和，其中为整数，则和谐数为，化简得，要求不超过2025的最大和谐数，即求最大使得，熟练掌握“和谐数”的定义是解此题的关键．【详解】解：设两个连续奇数为和，其中为整数，则“和谐数”为，由于的值仅与有关，故只需考虑为非负整数的情况即可，由题意可得：，∴，∴，∴，且为整数，∴当时，和谐数为，此时最大，故最大和谐数为1946，故答案为：1946．11．【分析】在网格中找到格点M，证明CM平分∠ACB，再求∠ACM的正弦值即可．【详解】解：如图：连接格点MA，由图可知，∠MAC=90°，作MN⊥BC，垂足为N，连接BM，，，，，∵，∴，∴MN=，∴MN=AM，∴∠ACM=，；故答案为：【点睛】本题考查了求锐角的三角函数值，勾股定理，解题关键是找到恰当的网格点，平分∠ACB，并且能够构建直角三角形，求三角函数值．12．【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先利用反比例函数求出点的坐标，进而求出点，再根据三角形的面积公式求出，求出和，找到规律，据此即可求解，正确识图是解题的关键．【详解】解：∵点为反比例函数图象上的点，∴当时，；当时，；当时，，∴，，，∵轴，∴，，∵，∴，，∴，依题意，，∴同理可得，，∴，，，∴，，，∴，∴故答案为：．13．或【分析】设公共解为，代入三个方程后相加得到关于和的关系，分两种情况讨论，分别代入代数式计算其值即可．【详解】解：设公共解为，则，，，三式相加得，即，∵，∴或，当时，即时，原式；当时，分别代入三个方程可得，，联立两式解得，此时；综上所述，代数式的值为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，因式分解的应用，求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．14．##【分析】本题主要考查了概率的计算，解题的关键是求出符合题目对立事件的可能数．每次取球有4种选择，有放回地取三次，总可能结果数为，至少有2个不同标号的球被取出的对立事件为3次都取同一个球，3次都取同一个球有4种可能，即至少有2个不同标号的球被取出的可能结果数为，进而求出概率．【详解】解：∵一个箱子里有4个除标号外其余均相同的球，分别以1、2、3、4进行标号，若每次取一个，有放回地取三次，∴总可能结果数为：（种），∵至少有2个不同标号的球被取出的对立事件为：3次都取同一个球，又∵3次都取同一个球有4种可能，∴至少有2个不同标号的球被取出的可能结果数为：（种），∴至少有2个不同标号的球被取出的概率为：．故答案为：．15．或【分析】先联立两函数解析式，得到关于x的三次方程，把此方程的一边分解因式，化为一个一元一次方程和一个一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式为一个完全平方数分类求解即可．【详解】解：联立，消去y得，即，拆项添项，得，提公因式，得，提公因式，得①．∴当时，，是方程①的一个根，是两个函数的图象恒有的一个交点．当②，，∵两个函数的图象的交点都是整点，∴方程②的两个不相等的实数根都是整数，∴是一个完全平方数．设（其中k为非负整数），则，即．∴与的奇偶性相同，且，，∵，∴，或，或，解得，或，或，∵a是正整数，∴只可能，或，当时，方程②为，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和．当时，方程②为，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和．故答案为：或．【点睛】本题考查的是二次函数与反比例函数综合．熟练掌握二次函数的图像和性质、反比例函数的图象和性质，二次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根的判别式、完全平方数，分解因式，整数的奇偶性，分类讨论，是解题的关键．16．【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，一次函数的性质．设，则，然后分三种情况，结合一次函数的性质解答即可．【详解】解：，∴，设，则，，当时，此时，，满足；当时，此时，若，，此时y随x的增大而减小，若，，此时y随x的增大而减小，若，，此时y随x的增大而增大，∴此时当时，y取得最小值；当时，此时，若，，此时y随x的增大而减小，若，，此时y随x的增大而减小，若，，此时y随x的增大而增大，∴此时当时，y取得最小值；综上所述，当时，取得最小值，最小值为，∴，解得：．故答案为：．17．（1）（2）（3）见详解【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，二次根式的性质，一次函数的应用，因式分解的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）分别化简得出，再代入进行计算，即可作答．（2）先根据，整理得到，则或，因为点不在一次函数的图像上，即，故，整理得，即可作答．（3）先设，结合，得，则为有理数，设，建立，两式子相加得；两式子相减得；故都是有理数，所以都是有理数，即可作答．【详解】解：（1）；．．（2）∵，∴，则或，∵点不在一次函数的图像上，∴即，∴，∴∴，∴与的一次函数关系式为；（3）依题意，设，∵为有理数，∴为有理数，且不为0，则，∴∴，∵为正有理数，为有理数，且不为0，∴为有理数，设，依题意，为有理数，则两式子相加得，即；两式子相减得，即；∵,为有理数，∴都是有理数，即都是有理数．∴若为有理数，则为有理数．18．(1)6(2)，【分析】本题考查了圆的综合题，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，点和圆的位置关系，解题的关键是根据题意得出点是在定圆上运动，从而根据点和圆的位置关系确定的取值范围．（1）只需证四边形是平行四边形即可；（2）连接，根据角所对的直角边等于斜边的一半，先求出，再根据勾股定理求出，最后在中求出即可;根据点运动过程中，始终有，确定点在圆上运动，然后确定定圆圆心的位置并求出半径，然后根据点到圆的最近距离及最远距离确定的取值范围．【详解】（1）解：是的直径，，，，，在中，，在中，，，，四边形是平行四边形，；（2）连接，与圆相切，，，在中，，，，，是等边三角形，，在中，，，，，，在中，；，，即，在点运动过程中，始终有，点在一个定圆上运动，又是的一条弦，当点与点重合时，弦的最大，此时是定圆的直径，设定圆的圆心为，当时，，，即，的直径为，半径为，如图所示，连接，，的最短距离为，最大距离为，．19．(1)，验证见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】本题考查了分式的混合运算，不等式的性质，理解题意是解决本题的关键．（1）根据题意写出新的分式和不等式，然后根据加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用作差法即可；（2）令，，，代入“糖水不等式”，即可求证；（3）设，，求出的值，再根据不等式的性质即可求证．【详解】（1）解：，证明如下：由题意得，加入克糖后，糖水浓度为，则糖水浓度的变化为，，，，即，；（2）证明：令，，，代入“糖水不等式”，得由（1）可得，∵，∴，∴不等式得证．（3）证明：设，则，∴，假设∴，不符合实际，∴，∴，∴，∵，，且，∴，即，∴，则不等式得证．20．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）根据全等三角形的判定定理得到，则，，即可证；（2）连接，延长交于点Q，根据（1）得，，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，证得四边形为矩形，再利用勾股定理求得，设，则，，证明，在中，求得，再证明，三角形相似的判定和性质计算即可；（3）在纸片绕点A旋转过程中，当C，D，E三点能构成直角三角形时，分四种情况：①当在上时，，此时是直角三角形；②当在的延长线上时，，此时是直角三角形；③当时，是直角三角形；④当时，是直角三角形；分类作图，求出相关线段长，由三角形面积公式代值求解即可得到答案．【详解】（1）证明：在和中，，∴，∴，，∴，，∴，∴；（2）解：连接，延长交于点Q，连接交于P，延长交于N，如图2：同（1）得，，∴，在中，，，由勾股定理得：，∴，∵是中线，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，，，，∴，，∴，∴，设，则，，在和中，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，解得；∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．（3）解：分四种情况：①当在上时，，此时是直角三角形，如图3，∴；②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图4：∴；③当时，是直角三角形，过点A作于点Q，如图5，∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，则，解得，∴；④当时，是直角三角形，过点A作于点Q，交于点，如图6，∵，∴，∴，∵，，∴，∴是的中位线，∴，，∵，，∴，∴，则，∴，在中，由勾股定理可得，则，解得，∴，，∴，∴；∵，∴直角三角形面积的最小值为．【点睛】本题主要考查三角形相似的综合应用，涉及旋转的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．