第六章 计数原理 章末总结 课件-2025-2026学年高二下学期数学（人教A版）选择性必修第三册

第六章

计数原理培优帮丨章末总结巧梳理

知识框图提能力

专题归纳专题

排列、组合问题的17种解题策略排列、组合是本章学习中的一个重要内容，我们通过平时做的练习题，不难发现排列、组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题型多变，解法独特，数字庞大，难以验证.同学们只要把基本的解题策略掌握熟练，再根据题目的条件,就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,还可以将几种策略结合起来应用，把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础.这里，我们对排列、组合问题的17种常见的解题策略进行归纳总结.1

特殊对象和特殊位置优先策略位置分析法和对象分析法是解决排列、组合问题最常用也是最基本的方法.若以对象分析为主,需先安排特殊对象,再处理其他对象.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置.若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件.例1

(2025·广东省惠州市第八中学段考)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的1个时，它应排在其他数字的前面，这样的不同三位数共有____个（用数字作答）.60

2

相邻对象捆绑策略要求某几个对象必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决，即将需要相邻的对象合并为一个对象,再与其他对象一起排列,同时要注意合并对象“内部”也必须排列.例2

(2025·天津市塘沽二中月考)甲、乙、丙、丁、戊五个人身高互不相同的人排成一排，若要求甲、乙两人相邻，丙、丁两人也相邻，则不同的排法有(

)AA.24种

B.48种

C.96种

D.144种

3

不相邻问题插空策略对于元素不相邻问题，可先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入队列的中间和两端.例3

(2025·天津市第四十二中学月考)七名同学站成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁二人不相邻的不同排法种数为_____.960

4

定序问题倍缩、空位插入策略定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理.

AA.120种

B.180种

C.240种

D.480种

例5

10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求每排从左至右身高逐渐增加，则不同的排法共有_____种（填数字）.252

例6

6个高矮不等的同学站成两行三列,如果每一列前面的同学比其身后的同学矮,则不同的站法共有____种.90

名师点评

对于顺序确定的排列问题，只要选出有序对象所占的位置即可.5

重排问题求幂策略

例7

(2025·湖南省常德市汉寿县第一中学月考)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同站法有_____种（用数字作答）.336

例8

仅使用2,3两个数字，可以组成不同的五位数共有____个.32

以所含2的个数分六类：

6

分排问题直排策略一般地,对于对象分成多排的排列问题,可先转化为一排考虑,再分段研究.例9

8人排成前后两排,每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少种排法?

例10

(2025·湖北省武汉市育才高级中学月考)有两排座位，前排11个座位，后排12个座位.现安排两人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人左右不相邻，那么不同排法的种数是_____.346【解析】

因为前排中间3个座位不能坐，

.

..

..

..

.7

环排问题线排策略

例11

5个小朋友站成一圈，不同的站法一共有(

)DA.120种

B.60种

C.30种

D.24种

例12

5个女孩与6个男孩围成一圈，任意两个女孩中间至少站一个男孩，则不同排法有________种（填数字）.86

400【解析】

因为任意两个女孩中间至少站一个男孩，故有且仅有两个男孩站在一起.

8

对象相同问题隔板策略

（1）要求每盒非空例13

将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（每盒至少装1个小球），则不同的装法有____种.36【解析】将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空中任取2个画上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图6-1所示的是其中一种分法.图6-1

例14

(2025·江苏省南京外国语学校期中)将20个相同的小球全部放入编号为3，4，5的三个盒子中，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，则不同的放法种数为____.45

（3）要求每盒可空例15

将8个相同的小球分别放入4个不同的盒子中，每盒可空，则不同的放法有_____种（填数字）.165

名师点评

实际上，本题等价于“将12个相同的小球分别装到4个不同的盒子中，每盒至少装1个”的问题.9

小集团问题先局部后整体策略小集团排列问题中，先局部后整体，再结合其他策略进行处理.例16

7个人排成一排，甲、乙之间有且只有2人，共有_____种排法.960

10

正难则反总体淘汰策略有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简单易求,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.例17

(2025·河北省保定市月考)把3男2女5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分到的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为____.16

11

先选后排策略先选后排是排列、组合问题最基本的解题思想.此法与相邻对象捆绑策略相似.例18

8人站成一排,要调换其中3人的位置使其均不在原来的位置上,其余5人的位置不动,则不同的调换方法共有_____种.112

图6-2然后3人交换位置，只有2种方法，如图6-2.

12

平均分组问题除法策略

例19

某城市有3个演习点同时进行消防演习,现将5个消防队分配到这3个演习点,若每个演习点至少安排1个消防队,则不同的分配方案种数为(

)AA.150

B.240

C.360

D.540

.

..

.13

合理分类与分步策略解含有约束条件的排列组合问题，可按对象的性质进行分类，按事件发生的连续过程进行分步，做到标准明确，分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，就要贯穿于解题过程的始终.例20

(2025·陕西省西安交大附中月考)有10名演员,其中8人会唱歌,5人会跳舞,现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目,则不同的选派方法共有_____种.199

.

.名师点评

本题还有如下分类标准：（1）以3名全能演员是否选上唱歌人员为标准；（2）以3名全能演员是否选上跳舞人员为标准；（3）以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准.同学们可试着解答一下.14

构造模型策略（1）最短路线模型

图6-3【解析】弄清事件,从结果入手,理解最短路线就是只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,不同的设计将会产生不同的解法.图6-4

（2）爬楼梯模型例22

某人上一个有10级台阶的楼梯，每步可上1级或2级，共有多少种不同的上台阶的方法？

故上台阶的方法共有89种.15

实际操作穷举策略对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，利用穷举法或画出树状图往往会达到意想不到的效果.例23

(2025·天津市红桥区期末)将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字都不相同的填法有(

)BA.6种

B.9种

C.11种

D.23种【解析】

（树状图法）

画出树状图如图6-5所示：图6-5故满足题意的填法有9种.

（分步法）

第一步，先把1填入方格，符合条件的填法有3种；

16

分解与合成策略分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据分解后问题的结构,用分类加法计数原理和分步乘法计数原理将问题合成,从而得到问题的答案.例24

30

030能被多少个不同的偶数整除？

17

化归策略

600图6-6

一题一课·学一题会一类求三项展开式的项数的解法及解法的应用

隔板法是解决计数问题的一种方法，其适用条件是：（1）元素完全相同；（2）将元素有序分组，每组至少一个元素.应用隔板法可以解决诸多类型的计数问题.1

不定方程的解的组数

（1）不定方程正整数解的组数;

（2）不定方程自然数解的组数;

2

一类取数中的计数问题

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..

.

3

名额分配中的计数问题例29

(2025·湖北省武汉市期中)将24个大学生名额分到三个单位，每个单位至少一个名额，且名额数互不相同，则不同的分配方案有多少种？

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.一章一练·学思维知创新例30

数学文化

杨辉三角[多选题](2025·山东省实验中学期中)杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．他在所著的《详解九章算法》中给出了杨辉三角，如图6-7是杨辉三角的数字表示．根据材料，下列说法正确的是(

)图6-7

√√√

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尖子生

强基自招命题点1

计数问题

例34

(2022·北京大学强基计划)将不大于12的正整数分为6个两两交集为空集的二元集合，且每个集合中两个元素互质，则不