安徽省华师联盟2025~2026学年高二上学期期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省华师联盟2025~2026学年高二上学期期中质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】点关于平面对称的点的坐标为，故选：D．2.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】椭圆中，所以离心率.故选：B．3.过三点的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设圆方程为，则，解得，所以圆的方程为．故选：D．4.如图，在三棱柱中，点在棱上，为的中点，记，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由图可得：，故选:A．5.过定点的直线与圆相交于两点，且，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】圆心，设圆心到直线的距离为，则，当直线与垂直时，取最小值．故选:B．6.已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题可知直线过定点．，，与线段相交，由题意设直线的斜率或．由于在及上均单调递增，直线的倾斜角的范围为．故选:C．7.已知圆与、正半轴分别交于点、，半径为的圆与圆外切，则圆心变动时，的值（）A.不是定值 B.恒为 C.恒为 D.恒为【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径，在圆的方程中，令，可得，解得或，令可得，解得或，则点、，因为圆与圆外切，所以，设，则，.故选：D．8.已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（）A. B. C.2 D.2【答案】A【解析】如图：取中点，则，因为，所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高，因为，所以的面积，设三棱锥的高为，则，所以.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆的方程为为原点，则（）A.圆的半径为定值B.当在圆外部时，C.当圆上的点都在第一象限时，D.当点在直线上时，圆上的点到的距离最大值为【答案】ACD【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为A正确；当在圆外部时或B错误；当圆上的点都在第一象限时，解得，C正确；当点在直线上时，则有，解得，所以圆心的坐标为，圆上的点到的距离最大值为，D正确.故选：ACD．10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若空间向量，则在上的投影向量为B.若空间向量满足，则与的夹角为锐角C.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则D.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为【答案】AC【解析】对于A，在上投影向量为，故A正确；对于B，当向量共线且同向时，也成立，但与的夹角不为锐角，故B错误；对于C，由，即，故，故C正确；对于D，因为向量以为基底时的坐标为，所以．设向量以为基底时的坐标为，则，即.所以，解得所以以为基底时的坐标为．故D错误.故选：AC．11.已知，动点满足直线与的斜率乘积恒为，设点的运动轨迹为曲线，过点的直线与曲线的另一个交点为，则（）A.面积的最大值为B.存点，使得C.若垂直于轴，则的最小值为-2D.若过原点，则的最小值为1【答案】ABD【解析】因为与的斜率乘积恒为，所以，即．的面积，所以当点为与轴的交点时的面积最大，最大为，故A正确；由余弦定理得，因为，当且仅当时等号成立，所以，因为在上单调递减，且，所以，则存在点，使得，故B正确；依题意点，,所以因为，所以当时，取得最小值，故C错误；因点与点关于原点对称，则四边形为平行四边形，则，因，则，当且仅当时等号成立，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________．【答案】【解析】由曲线表示焦点在轴上的椭圆，所以，即的取值范围是．故答案为：.13.已知，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为___________．【答案】【解析】，以为邻边的平行四边形的面积为：14.已知直线，过点的直线与及两坐标轴围成一个四边形，且该四边形有外接圆，若的一个方向向量的坐标为，则___________．【答案】【解析】设为原点，直线与坐标轴分别交于点，当时，记的交点为，直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示：因为，该四边形对角互补，有外接圆，因为斜率为，所以斜率为，所以；当与轴的交点为时直线、直线与两坐标轴围成一个四边形，如图所示：若该四边形有外接圆，则，所以，此时的斜率为，方程为，即，此时，符合题意，．综上得，．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.（1）若经过点的直线在轴上的截距为4，求直线关于轴对称的直线方程；（2）已知直线与直线平行，求与的距离．解：（1）因为经过点的直线在轴上的截距为4，所以其斜率存在，且不为0.即直线在轴上和在轴上截距均存在，且不为零，所以设直线关于轴对称的直线在轴上和在轴上的截距均存在，且不为零.点关于轴对称的点的坐标为，设直线关于轴对称的直线方程为，把代入方程得，所以直线关于轴对称直线方程为，即.（2）由直线与平行，则，解得.所以此时直线，，所以与的距离.16.已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上．（1）求的方程；（2）若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程．解：（1）设半焦距为，因为椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上，所以，解得．所以的方程为.（2）设，，代入椭圆方程得，两式相减可得，即.由点为线段的中点得，则的斜率，所以的方程为，即.所以直线的方程为.17.如图，在三棱锥中，．求：（1）的长；（2）异面直线与所成角的余弦值．解：（1）设则，所以，因为因为，所以.所以.所以的长为1.（2），即，所以所以异面直线与所成角的余弦值为.18.如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，四边形与都是直角梯形，为的中点．（1）棱上是否存在点，使得平面，并证明；（2）若，求：（i）点到平面的距离；（ii）平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：为的中点时，平面，证明如下：取的中点，连接．因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为为中点，为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，平面所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）（i）解：因为平面，平面，所以因为四边形是边长为2的正方形，所以所以两两垂直，因为四边形与都是直角梯形，，所以，故以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系．，设平面的法向量，则，即，取，得，所以所以点到平面的距离为.（ii）解：，得，设平面的法向量，则，即，取，得，设平面与平面夹角为，则所以平面与平面夹角的余弦值为.19.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，分别为的左、右顶点，为上不同于的两点．（1）求的方程；（2）若，关于原点对称，射线，分别与以椭圆长轴为直径的圆交于，两点，记直线和直线的斜率存在且分别为．证明：为定值；（3）记直线和直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．（1）解：由椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，由题意可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）证明：设，，，则，在椭圆上，，即，直线与直线的斜率存在且不为，且，，设，则直线的方程为，联