北京市大兴区2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市大兴区2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.经过两点，的直线的斜率为（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】由题意可得直线的斜率为.故选：D.2.已知向量，，且，则（）A. B.2 C.4 D.6【答案】A【解析】由题，，又，，解得.故选：A.3.直线的倾斜角等于，则（）A. B. C.1 D.3【答案】A【解析】由题，可得直线的斜率，又，，解得.故选：A.4.圆的半径长为（）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】将圆化成标准方程，所以圆的半径为.故选：A.5.直线与圆的位置关系是（）A.相切 B.相交且过圆心C.相离 D.相交且不过圆心【答案】C【解析】圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.故选：C.6.已知为平面的法向量，点，在直线上，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得或，所以推不出，当时，由于是平面法向量，可得，所以可推出，综上，是的必要不充分条件.故选：B.7.已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由直线方程，令，解得，则直线过，由直线的倾斜角为，则该直线的斜率，故直线方程为：，化简可得：，则点到直线的距离.故选：C.8.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【解析】联立方程，解得，可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为，若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点，可知直线的斜率存在，且为，可得或或，解得或或，所以实数的取值最多有3个.故选：B.9.如图，正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】正八面体由两个相同的正四棱锥组成，其所有棱长为2，正八面体的8个面均为边长是2的等边三角形，面是边长为的正方形，连接交于点，则，，连接，则交于点，即为正八面体的中心，，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，，，，直线和夹角的余弦值为．故选：C．10.已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】直线，整理得，则直线恒过定点，同理，整理得，则直线恒过定点，，，点的轨迹为以为直径的圆，圆心，半径，点不在直线上，点的轨迹方程为，不含点．圆是以为圆心，半径的圆，圆与圆的位置关系如下图所示，连接，，线段是动弦，为中点，，点的轨迹是以为圆心，半径是的圆，方程为，圆心距，剔除点，则，即．故选：D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.经过坐标原点且与直线平行的直线方程为______．【答案】【解析】设与直线平行直线方程为，因为过原点，所以，得，所以所求直线方程为.故答案为：.12.如图，正四面体的棱长为1，，则______．【答案】或0.5【解析】因为点E是棱CD的中点，所以.又因为正四面体ABCD的长为1，所以，所以.故答案为：.13.已知圆与圆有4条公切线，则实数可以取的一个值为______.【答案】3（答案不唯一）【解析】由题可得，圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，因为两圆有4条公切线，所以两圆外离，所以，即，解得或，所以实数可以取的一个值为.故答案为：3.（答案不唯一）14.在正四面体中，点在线段（点不与端点重合）上运动．设直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，平面与平面所成角为，则，，的大小关系是______.【答案】.【解析】如图，取的中点，连接，由点在线段上，结合正四面体性质可得点在平面上的射影在上，连接，则直线与平面所成角为，即，且，同理，直线与平面所成角为，即，且，易知，则，所以，即，由，得，又，所以即平面与平面所成角，则，又，，而，故，即，又，.故答案为：.15.如图，正方体的棱长为2，动点满足，其中，且，，，给出下列四个结论：①当时，平面；②当，时，的最小值为；③当，时，三棱锥的体积为定值；④当，且时，动点的轨迹长为．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③【解析】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，正方体的棱长为2，，对于①，当时，，此时点与重合，即，，设平面的法向量为，则，令，则，，即平面，故①正确；对于②，当，时，点在上，把平面沿翻折到平面内，如下图所示，，故②错误；对于③，当，时，点在上，则，，，，为定值，故③正确；对于④，，，，，化简得，，且，，，，点的轨迹表示平面与球面在第一卦限内的交线圆，球面的球心为原点，半径，平面的法向量为，平面到原点距离为，交线圆半径，交线圆周长，即动点的轨迹长为，故④错误．故答案为：①③．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在棱长为2的正方体中，是线段的中点．（1）求直线与直线夹角的余弦值；（2）求点到平面的距离．解：（1）如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以直线与直线夹角的余弦值为.（2）因为，，结合（1），所以，，设平面的一个法向量为，则，令，得，，，所以点到平面的距离.17.已知圆经过点，，．（1）求圆的方程；（2）求经过点的圆的切线方程．解：（1）设圆的方程为，将三点坐标代入得，，即，解得，所以圆的方程为，即.（2）由（1），可得圆心，则，所以经过点的圆的切线斜率，所以经过点的圆的切线方程为，即.18.已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求边所在直线方程；（2）求点和点的坐标．解：（1）上的高所在直线方程为，斜率为，与其高所在直线垂直，，解得，，根据点斜式得，整理得．（2）是与中线的交点，联立直线与方程得，，设点，是的中线，为中点，，，又在直线上，，整理得，又在上的高所在直线方程上，联立，解得，．19.已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右侧.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且，求实数的值；（3）若直线与圆交于，两点，对于任意直线，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）设圆心，由圆和直线相切，所以，解得或（舍），所以圆的方程为.（2）由题，圆心到直线的距离为，，得.（3）设存在点，，，由，得，则，，，由，所以，，即，整理得，即，即，当时，上式成立；当时，；综上，当点的坐标为时，满足成立.20.如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，平面平面，，，．（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．（1）证明：由题，，，，满足，所以，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，由四边形是正方形，得，又平面，且，所以平面，又平面，所以.（2）解：由（1）得平面，因为平面，所以两两垂直，以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，，则，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，取，得，，，因为平面，所以为平面的一个法向量，，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.（3）解：线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下：设，因为，，所以，，由（2）知平面的一个法向量为，因为平面，所以，得，所以线段上存在点，点为中点，满足平面.21.已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点，，记，．（1）若，求点坐标；（2）若点，点，且，求的最大值；（3）已知点，是直线上的动点，是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由．解：（1）由，得，，解得或，所以点的坐标为或或或.（2）由