北京市房山区2025-2026学年高一上学期学业水平调研（一）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市房山区2025-2026学年高一上学期学业水平调研（一）数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，而，所以.故选：A.2.已知命题，则为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以为：.故选：B.3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A.由反比例函数的单调性得在上递减，故错误；B.因为定义域为，满足，所以函数是偶函数，故错误；C.由幂函数的定义域为不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故错误；D.因为满足，所以函数是奇函数，且根据一次函数的单调性得函数在区间上单调递增，故正确；故选：D.4.已知，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，取，得，A错误；对于B，由，得，B正确；对于C，由，得，C错误；对于D，取，满足，而，D错误.故选：B.5.函数的零点所在的区间（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的定义域为，而，当时，，令函数，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，又，因此函数的零点在上，所以函数的零点在上.故选：C.6.设，则是的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，所以是的充分条件；令，则，但不成立，所以是的充分而不必要条件.故选：A.7.已知是奇函数，且在上单调递减，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为是奇函数，且在上单调递减，对于A，因为是奇函数，得，故A错误；对于B，因为是奇函数，，不确定正负，故B错误；对于C选项，因为是奇函数，故，又在上单调递减，故，所以，故C错误，D正确；故选：D.8.已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数是上的单调函数，得函数在上单调递减，则在上单调递减，因此，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.9.如图（1），四边形为直角梯形，，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为，的面积为．若的图象如图（2）所示，则的面积为（）A.9 B.12 C.15 D.24【答案】B【解析】当点从点出发运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性增加，所以，由图（2）可知，这段路程为，即，同理，当从点运动到点的过程中，面积保持不变，由图（2）知，这段路程为，即，当从点运动到点的过程中，面积随着点的运动路程线性减少，由图（2）知，这段路程为，即，所以，在直角梯形中，过作于，则四边形是矩形，所以，所以，在中，易得，即所以，的面积为故选：B.10.设全集，集合A，B是的子集，若，则称为优集（如：若，则是一个优集；若，则不是优集），那么所有优集的个数为（）A.15 B.24 C.27 D.32【答案】C【解析】依题意，元素1同时属于集合和集合，元素中每个元素不能同时属于集合和属于，因此中每个元素只能属于集合中的一个，即中每个元素有3种选择情况，则它们共有种选择情况，所以所有优集的个数为27.故选：C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.函数的定义域为___________．【答案】且【解析】根据题意得，，解得且，所以函数的定义域为且．故答案为：且．12.已知函数，则___________；若，则___________．【答案】；【解析】函数，则；当时，由，得，则，当时，由，得，解得，不满足，舍去所以.故答案为：；.13.若是一元二次方程的两个根，则的值为_________的值为___________．【答案】；6【解析】由是一元二次方程的两个根，得，所以.故答案为：；6.14.已知集合．用列举法表示集合，则___________；若，则的取值范围是___________．【答案】；【解析】解方程，得或，因此；由，得或，即或，解得或，因此，所以的取值范围是.故答案为：；.15.设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为___________．【答案】【解析】取，则，而，所以可验证该命题为假命题.故答案为：（答案不唯一）.16.已知函数，给出下列四个结论：①当时，在定义域上是增函数；②当时，的单调递减区间为；③存在实数，使得函数是偶函数；④若方程有三个不等的实根，则．其中正确结论的序号为___________．【答案】①②④【解析】对于①，当时，，的定义域为，且画出的图象如下，显然在定义域上是增函数，①正确；对于②，，其中的开口向上，对称轴为，开口向下，对称轴也为，当时，画出的图象，如下：则的单调递减区间为，②正确；对于③，定义域为R，其中，无论取何值，均不能使恒成立，即不能恒成立，不存在实数，使得函数是偶函数，③错误；对于④，当时，由①知，与只有1个交点，方程只有1个实根，不合要求；当时，由②知，与只有1个交点，方程只有1个实根，不合要求；当时，画出的图象如下：要想方程有三个不等的实根，则，又，解得，④正确．故答案为：①②④.三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知全集为，集合，，．（1）求；（2）求；（3）若，求的取值范围．解：（1）∵，∴，即，∴.（2）或.（3）∵，∴，∴，即.18.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）依据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数；（3）直接写出函数的值域．解：（1）是偶函数，证明如下：的定义域为，，得证.（2）任取，且，则，因为，则，则，即，所以函数在上是减函数.（3）因为的定义域为，且，所以由函数的单调性可得函数的值域为.19.已知函数．（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；（2）当时，求不等式的解集；（3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．解：（1）当时，函数，因为，所以，由二次函数的性质知，当时，有最小值；当时，有最大值，所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为和.（2）当时，函数，所以，不等式的解集即为的解集，因为，解得或，所以，当时，不等式的解集为.（3）因为对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，所以，对任意实数恒成立，当时，，解得，不满足题意；当时，对任意实数恒成立等价于，即：，解得综上，实数的取值范围为20.为改善学生进行体育活动的环境，学校要建造体育馆．在建造体育馆时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为20年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是3万元．每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）的函数关系是（，为常数）．若无隔热层，则每年的能源消耗费用为2.5万元．20年的总维修费用为15万元．记为20年的总费用（总费用＝隔热层的建造成本＋使用20年的能源消耗费用＋使用20年的总维修费用）．（1）求的解析式；（2）当隔热层的厚度为多少厘米时，20年的总费用最小，并求出最小值．解：（1）由题意得，当时，，解得，所以，故，；（2），当且仅当，即时，等号成立，故当隔热层的厚度为厘米时，20年的总费用最小，最小费用为33万元.21.设集合为正整数集的非空子集，对于任意，定义运算，若所有这些运算结果构成的集合记为，则称为集合的倍差集．（1）当时，写出集合的倍差集；（2）设集合，若其倍差集中恰好有两个元素，求的值；（3）若是由4个正整数构成的集合，求其倍差集中元素个数的最小值．解：（1）根据倍差集的定义，，当，时，；当，时，；当，时，.由集合中元素的互异性，可得.（2）已知，由集合中元素的互异性可知，且，当时，的可能取值为1或3.当时，，，，，此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故；当时，，，，，此时，不满足倍差集中恰好有两个元素，故；当时，根据，得，，.由于且，所以且，且，因为倍差集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论：若，此方程无解；若，解得，此时，满足倍差集中恰好有两个元素，故，综上，若其倍差集中恰好有两个元素，则的值为1或8.（3）设，，.根据，，则，，，，，.不妨设，则，，，，，，由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4.下证元素个数不少于4：将，，，，，，这6个值分别记为：，，，，，.从而有：，即，，即.因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值，如果倍差集中只有3个元素，那