专题训练：利用勾股定理解决“最短”问题

专题利用勾股定理解决“最短”问题利用平面展开图的知识求“最短”1.为筹备元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示，已知圆筒高108cm，其横截面周长为36cm，如果在圆筒侧面恰好能缠绕4圈油纸，请你求至少需要多长的油纸?2.如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少?3.(2025·新昌模拟)如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是()A.529cmB.25cmC.2194cmD.441cm利用“垂线段最短”求“最短”4.如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB=250m.现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，到AB的距离MN=120m，到喷泉B的距离BM=150m.(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长.(2)求喷泉B到小路AC的最短距离.5.如图等边AABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值.利用轴对称的知识求“最短”6.(2025南京鼓楼区月考)如图所示，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC=2km，BD=4km，CD=8km.要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，求这个最短距离并画出相应的最短路径.7.如图，一个牧童在小河的南200m的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西400m、北350m处，他想把马牵到小河边去饮水，然后回到小屋，请你求牧童完成这件事情所走的最短路程，并画出与之相应的最短路径.8.某岛争端持续，我海监船加大对该岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45nmile，OB＝15nmile，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求我国海监船行驶的航程BC的长．

【详解答案】1.解：将缠绕1圈油纸的圆筒侧面展开后得到一个长方形，则长方形的长为圆筒的横截面周长，长方形的宽为圆筒高度的14，如图所示.根据题意，AB=36cm，BC=1084根据勾股定理，得AC=AB2∴4AC=4×45=180(cm).答：至少需要180cm长的油纸.2.解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF=A'B=20cm，延长BG，过A'作A'D⊥BG于D∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D2=A'B2-BD2=20∴A'D=12∴则该圆柱底面周长为12π3.D解析：如图所示，将长方体展开，连接AB根据题意可知，BD=6+10=16(cm)，AD=20cm，利用勾股定理得：AB=AD2+BD2=2024.解：(1)在Rt△MNB中，MN=120m，BM=150m.根据勾股定理，得BN=BM2∴AN=AB-BN=250-90=160(m).在Rt△AMN中，AM=AN2∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为200+150=350(m).(2)∵AB=250m，AM=200m，BM=150m，∴AB2=BM2+AM2，∴△ABM是直角三角形，且∠AMB=90°.∴BM⊥AC.∴喷泉B到小路AC的最短距离是150m.5.解：∵△ABC是等边三角形，且AD是BC边上的中线∴AD⊥BC，即AD垂直平分BC，AB=6，BD=3，AD=33连接CE，BM+EM=CM+EM=CE根据两点之间线段最短，CE即为所求过点C作CF⊥AB于F，如图4-2所示∵CF=AD=33，AE=2，AF=3，∴EF=1在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE=CF2+即EM+BM的最小值为276.解：如图所示，作A点关于直线MN的对称点A'，再连接A'B，交直线MN于点P，则此时AP+PB最小，为最短路径.过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点E，∵AC=2km，BD=4km，CD=8km.∴BE=CD=8km，AE=4-2=2(km)，AA'=4km，∴A'E=6km，在Rt△A'EB中，A'B=A'E2+BE2=62+7.解：设直线MN表示小河，作A点关于直线MN的对称点A'，AA'与MN相交于点C，连接A'B交MN于点P，则从A点沿线段AP到P点再沿PB到达B点，即为牧童所走的最短路径，如图所示.∴牧童所走的最短路程为AP+BP=A'P+BP=A'B.根据题意，AC=200m，则AA'=2AC=400m，AD=350m，BD=400m.∴A'D=AA'+AD=750m.在Rt△A'DB中，根据勾股定理，得A'B=A'∴牧童完成这件事情所走的最短路程是850m.8.解：(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分