人教版数列的概念选择题专项训练单元专题强化试卷检测试卷

人教版数列的概念选择题专项训练单元专题强化试卷检测试卷一、数列的概念选择题1．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n－1）＋F（n－2），，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列，则b2020=（）A．3 B．2 C．1 D．0答案：A解析：A【分析】根据条件得出数列的周期即可.【详解】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b2020=b4=3，故选：A2．已知数列满足：，，则（）A． B．C． D．答案：D解析：D【分析】取特殊值即可求解.【详解】当时，，显然AC不正确，当时，，显然B不符合，D符合故选：D3．已知lg3≈0.477，[x]表示不大于x的最大整数.设Sn为数列{an}的前n项和，a1＝2且Sn+1＝3Sn-2n+2，则[lg(a100-1)]＝（）A．45 B．46 C．47 D．48答案：C解析：C【分析】利用数列的递推式，得到an+1＝3an-2，进而得到an＝3n-1+1，然后代入[lg(a100-1)]可求解【详解】当n≥2时，Sn＝3Sn-1-2n+4，则an+1＝3an-2，于是an+1-1＝3(an-1)，当n＝1时，S2＝3S1-2+2＝6，所以a2＝S2-S1＝4.此时a2-1＝3(a1-1)，则数列{an-1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以an-1＝3n-1，即an＝3n-1+1，则a100＝399+1，则lg(a100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a100-1)]＝47.故选C4．定义：在数列中，若满足（为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，则等于（）A．4×20162－1 B．4×20172－1 C．4×20182－1 D．4×20182答案：C解析：C【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列的通项公式，再利用求解.【详解】由题意可得：，，，根据“等差比数列”的定义可知数列是首先为1，公差为2的等差数列，则，所以，，所以.故选：C【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（）A．184 B．174 C．188 D．160答案：B解析：B【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得.【详解】所以，所以.所以.故选：B【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.6．函数的正数零点从小到大构成数列，则（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】先将函数化简为，再解函数零点得或，，再求即可.【详解】解：∵∴令得：或，，∴或，，∴正数零点从小到大构成数列为：故选：B.【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624 B．1198 C．1024 D．1560答案：C解析：C【分析】设该数列为，令，设的前项和为，又令，则，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为，易得，所以，，进而得，所以，同理：所以，所以.故选：C【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题.8．数列的前项和记为，，，，则（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019答案：A解析：A【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列是周期为6的数列，且，进而可得，计算即可得答案．【详解】解：因为，，，则，，，，，，…，所以数列是周期数列，周期为6，因为，所以．故选：A．【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第个三角形数为，则下面结论错误的是（）A． B．C．1024是三角形数 D．答案：C解析：C【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】∵，，，…，由此可归纳得，故A正确；将前面的所有项累加可得，∴，故B正确；令，此方程没有正整数解，故C错误；，故D正确.故选C【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式.【详解】设所求数列为，可得出，，，，因此，该数列的一个通项公式为.故选：C.【点睛】本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.11．对于实数表示不超过的最大整数.已知正项数列满足，，其中为数列的前项和，则（）A．135 B．141 C．149 D．155答案：D解析：D【分析】利用已知数列的前项和求其得通项，再求【详解】解：由于正项数列满足，，所以当时，得，当时，所以，所以，因为各项为正项，所以因为,,,,.所以，故选：D【点睛】此题考查了数列的已知前项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题.12．已知数列，则该数列第项是（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由观察可得项数为，注意到，第项是第个括号里的第项.【详解】由数列，可发现其项数为，则前个括号里共有项，前个括号里共有项，故原数列第项是第个括号里的第项，第个括号里的数列通项为，所以第个括号里的第项是.故选：C.【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.13．设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A解析：A【分析】根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成立，则，，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题．14．已知数列满足:，，设数列的前项和为，则（）A．1007 B．1008 C．1009.5 D．1010答案：D解析：D【分析】根据题设条件，可得数列是以3为周期的数列，且，从而求得的值，得到答案.【详解】由题意，数列满足:，，可得，可得数列是以3为周期的数列，且所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.15．已知数列中，，且对，总有，则（）A．1 B．3 C．2 D．答案：C解析：C【分析】根据数列的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得的值.【详解】数列中,,且对,总有当时,当时,当时,当时,当时,当时,由以上可知,数列为周期数列,周期为而所以故选:C【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.二、数列多选题16．已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．答案：BCD【分析】根据题意写出，，，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误．【详解】对A，，，故A不正确；对B，，故B正确；对C，由，，解析：BCD【分析】根据题意写出，，，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误．【详解】对A，，，故A不正确；对B，，故B正确；对C，由，，，…，，可得，故C正确；对D，该数列总有，，则，，…，，，，故，故D正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD的判断，即要善于利用对所给式子进行变形.17．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（）A． B．C．当时， D．当时，答案：ABC【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质即可判断选项C；由可得且，即可判断选项D，进而得出正确选项解析：ABC【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质即可判断选项C；由可得且，即可判断选项D，进而得出正确选项.【详解】因为是等差数列，前项和为，由得：，即，即，对于选项A：由得，可得，故选项A正确；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：，若，则，故选项C正确；对于选项D：当时，，则，因为，所以，，所以，故选项D不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由得出，熟记等差数列的前项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.18．设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是（）A．若，则既是等差数列又是等比数列B．若(，为常数，)，则是等差数列C．若，则是等比数列D．若是等差数列，则，，也成等差数列答案：BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A:,得是等差数列，当时不是等比数列，故错;选项B:,,得是等差数列，故对;选项C:,,当时也成立，是等比数列解析：BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A:,得是等差数列，当时不是等比数列，故错;选项B:,,得是等差数列，故对;选项C:,,当时也成立，是等比数列，故对;选项D:是等差数列，由等差数列性质得，，是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前项和公式是解题关键.19．公差不为零的等差数列满足，为前项和，则下列结论正确的是（）A． B．（）C．当时， D．当时，答案：BC【分析】设公差d不为零,由，解得，然后逐项判断.【详解】设公差d不为零,因为，所以，即，解得，，故A错误；，故B正确；若，解得，，故C正确；D错误；故选：BC解析：BC【分析】设公差d不为零,由，解得，然后逐项判断.【详解】设公差d不为零,因为，所以，即，解得，，故A错误；，故B正确；若，解得，，故C正确；D错误；故选：BC20．等差数列中，为其前项和，，则以下正确的是（）A．B．C．的最大值为D．使得的最大整数答案：BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A错误；所以，所以，故B正确；因为，所以当解析：BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A错误；所以，所以，故B正确；因为，所以当且仅当时，取最大值，故C正确；要使，则且，所以使得的最大整数，故D正确.故选：BCD.21．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（）A．在数列中，最大B．在数列中，或最大C．D．当时，答案：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A正确；选项不正确；，所以，故选项C不正确；当时，，即，故选项D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n项和，属于基础题.22．在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．若是等差数列，则是等方差数列B．是等方差数列C．若是等方差数列，则为常数也是等方差数列D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数解析：BCD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；对于C，数列中的项列举出来是，，，，，，，数列中的项列举出来是，，，，，，将这k个式子累加得，，，k为常数是等方差数列，故C正确；对于D，是等差数列，，则设是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.23．记为等差数列的前项和.已知，，则（）A． B．C． D．答案：AC【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差，所以，.故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差，所以，.故选：AC.【点睛】本题考查等