2025 九年级数学上册二次函数图像平移的函数表达式推导课件

二、知识铺垫：从“基本抛物线”到“平移的起点”演讲人01知识铺垫：从“基本抛物线”到“平移的起点”02单一方向平移的表达式推导：从特殊到一般03复合平移的表达式推导：从单一到综合04规律总结与验证：从“数”到“形”的双向印证05总结升华：从“平移”看函数图像与表达式的内在联系目录2025九年级数学上册二次函数图像平移的函数表达式推导课件一、课程导入：从“形”到“数”的桥梁——为什么要研究二次函数图像的平移？各位同学，我们已经学习了二次函数的基本形式(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)），也通过顶点式(y=a(x-h)^2+k)认识了二次函数的顶点坐标((h,k))。今天我们要探讨的是：当二次函数的图像在平面直角坐标系中平移时，其对应的函数表达式会如何变化？这一问题的本质，是建立“图像位置变化”与“代数表达式变化”之间的对应关系。就像我们用坐标描述点的位置一样，函数图像的平移也可以通过坐标变换的规律来推导表达式。理解这一过程，不仅能帮助我们快速根据平移要求写出新的函数式，更能深化对“函数图像是函数关系的直观体现”这一核心思想的理解。接下来，我们从最基础的情况出发，逐步推导。01知识铺垫：从“基本抛物线”到“平移的起点”知识铺垫：从“基本抛物线”到“平移的起点”2.1二次函数的“基准图像”——(y=x^2)的图像特征在二次函数家族中，(y=x^2)是最基础的成员，我们称其为“基准抛物线”。它的图像是以原点((0,0))为顶点，开口向上，对称轴为(y)轴的抛物线。其图像上任意一点的坐标((x,y))都满足(y=x^2)。2平移的定义与分类数学中的“平移”指的是图像上所有点按照同一方向、同一距离移动的变换。平移不改变图像的形状、大小和开口方向，仅改变其位置。根据移动方向，平移可分为：水平平移（沿(x)轴方向左右移动）；垂直平移（沿(y)轴方向上下移动）；复合平移（水平与垂直平移的组合）。我们的推导将从单一方向的平移开始，逐步过渡到复合平移。02单一方向平移的表达式推导：从特殊到一般1垂直平移（上下移动）的表达式推导问题1：将(y=x^2)的图像向上平移(k)个单位（(k>0)），新图像的函数表达式是什么？1垂直平移（上下移动）的表达式推导1.1从具体例子入手先取(k=2)，观察图像变化：原图像上的点((0,0))向上平移2个单位后变为((0,2))，点((1,1))变为((1,3))，点((-1,1))变为((-1,3))。设新图像上任意一点的坐标为((x,y'))，则该点是由原图像上的点((x,y))向上平移2个单位得到的，因此(y'=y+2)。由于原图像满足(y=x^2)，代入得(y'=x^2+2)，即新函数表达式为(y=x^2+2)。1垂直平移（上下移动）的表达式推导1.2推广到一般情况若向上平移(k)个单位（(k>0)），则新图像上任意一点((x,y'))与原图像上对应点((x,y))的关系为(y'=y+k)。原函数满足(y=x^2)，故(y'=x^2+k)，即新函数为(y=x^2+k)。同理，若向下平移(k)个单位（(k>0)），则(y'=y-k)，代入得(y=x^2-k)。结论1：将(y=x^2)向上（下）平移(k)个单位，得到的函数表达式为(y=x^2+k)（(y=x^2-k)）。2水平平移（左右移动）的表达式推导问题2：将(y=x^2)的图像向右平移(h)个单位（(h>0)），新图像的函数表达式是什么？2水平平移（左右移动）的表达式推导2.1从具体例子分析取(h=3)，原图像上的点((0,0))向右平移3个单位后变为((3,0))，点((1,1))变为((4,1))，点((-1,1))变为((2,1))。设新图像上任意一点的坐标为((x',y))，则该点是由原图像上的点((x,y))向右平移3个单位得到的，因此(x'=x+3)，即(x=x'-3)。由于原图像满足(y=x^2)，代入(x=x'-3)得(y=(x'-3)^2)。去掉撇号（因为(x')是新图像的自变量，仍用(x)表示），新函数表达式为(y=(x-3)^2)。2水平平移（左右移动）的表达式推导2.2推广到一般情况若向右平移(h)个单位（(h>0)），则新图像上任意一点((x,y))对应的原图像点为((x-h,y))（因为(x=(x-h)+h)）。原函数满足(y=(x-h)^2)，因此新函数为(y=(x-h)^2)。同理，若向左平移(h)个单位（(h>0)），则新图像上的点((x,y))对应原图像的点((x+h,y))，代入得(y=(x+h)^2)。结论2：将(y=x^2)向右（左）平移(h)个单位，得到的函数表达式为(y=(x-h)^2)（(y=(x+h)^2)）。2水平平移（左右移动）的表达式推导2.3关键辨析：水平平移的“左加右减”规律这里容易混淆的是：向右平移(h)个单位，表达式中是((x-h))，而向左平移(h)个单位是((x+h))。这是因为水平平移改变的是自变量(x)的取值。例如，原函数在(x=0)处取顶点，向右平移3个单位后，顶点出现在(x=3)处，此时需要(x-3=0)即(x=3)，因此表达式为((x-3)^2)。这种“自变量反方向调整”的规律需要通过具体例子反复验证。03复合平移的表达式推导：从单一到综合1先水平后垂直的平移问题3：将(y=x^2)先向右平移(h)个单位，再向上平移(k)个单位，新函数的表达式是什么？根据3.1和3.2的结论，先向右平移(h)个单位得到(y=(x-h)^2)，再向上平移(k)个单位，即在整个表达式后加(k)，得到(y=(x-h)^2+k)。2先垂直后水平的平移若先向上平移(k)个单位得到(y=x^2+k)，再向右平移(h)个单位，此时需要将自变量(x)替换为(x-h)（水平平移的规律），因此新函数为(y=(x-h)^2+k)，与先水平后垂直的结果一致。结论3：将(y=x^2)先水平平移(h)个单位（右(h)左(-h)），再垂直平移(k)个单位（上(k)下(-k)），最终得到的函数表达式为(y=(x-h)^2+k)，其顶点坐标为((h,k))。3一般二次函数的平移推导上述结论基于基准抛物线(y=x^2)，但对于任意二次函数(y=a(x-h_0)^2+k_0)（顶点式），其平移规律是否一致？假设将该函数向右平移(h)个单位，向上平移(k)个单位，则新顶点为((h_0+h,k_0+k))，因此新函数表达式为(y=a(x-(h_0+h))^2+(k_0+k))，即(y=a[(x-h)-h_0]^2+(k_0+k))。这说明，任意二次函数的平移本质上是其顶点的平移，表达式的变化只需调整顶点坐标即可。04规律总结与验证：从“数”到“形”的双向印证1平移规律的表格化总结|平移方向|平移单位|原函数(y=a(x-h_0)^2+k_0)|新函数表达式|顶点变化||----------------|----------|-------------------------------------|-------------------------------|-------------------||向右平移(h)|(h>0)|(y=a(x-h_0)^2+k_0)|(y=a(x-(h_0+h))^2+k_0)|((h_0,k_0)\to(h_0+h,k_0))|1平移规律的表格化总结|向左平移(h)|(h>0)|(y=a(x-h_0)^2+k_0)|(y=a(x-(h_0-h))^2+k_0)|((h_0,k_0)\to(h_0-h,k_0))||向上平移(k)|(k>0)|(y=a(x-h_0)^2+k_0)|(y=a(x-h_0)^2+(k_0+k))|((h_0,k_0)\to(h_0,k_0+k))|1平移规律的表格化总结|向下平移(k)|(k>0)|(y=a(x-h_0)^2+k_0)|(y=a(x-h_0)^2+(k_0-k))|((h_0,k_0)\to(h_0,k_0-k))|2典型例题验证例1：将(y=2x^2)向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求新函数表达式。分析：原函数可视为(y=2(x-0)^2+0)，顶点((0,0))。向左平移3个单位，顶点变为((-3,0))；向下平移1个单位，顶点变为((-3,-1))。因此新函数为(y=2(x+3)^2-1)。验证：取原函数上一点((1,2))，向左平移3个单位得((-2,2))，再向下平移1个单位得((-2,1))。代入新函数：(2(-2+3)^2-1=2(1)^2-1=1)，与结果一致。2典型例题验证例2：已知二次函数(y=-(x-2)^2+5)的图像是由某基准抛物线平移得到的，求原基准抛物线的表达式及平移过程。分析：基准抛物线为(y=-x^2)（(a=-1)不变）。新函数顶点((2,5))，因此是将(y=-x^2)向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到的。3常见误区警示水平平移符号错误：部分同学会误认为“向右平移(h)个单位，表达式加(h)”，需通过顶点坐标验证。例如，(y=(x+2)^2)的顶点是((-2,0))，说明是向左平移2个单位，而非向右。复合平移顺序混淆：无论先水平还是先垂直平移，最终结果仅与总平移量有关，与顺序无关。但推导时需注意每一步的变量替换（水平平移改(x)，垂直平移改(y)）。05总结升华：从“平移”看函数图像与表达式的内在联系总结升华：从“平移”看函数图像与表达式的内在联系通过今天的推导，我们明确了二次函数图像平移的本质是顶点的坐标变换，而表达式的变化则是这种变换在代数上的体现。具体来说：垂直平移直接改变函数值(y)，表现为表达式末尾的加减(k)；水平平移间接改变自变量(x)，表现为括号内(x)的加减(h)（注意“左加右减”的反方向规律）；复合平移是两者的综合，最终表达式为顶点式(y=a(x-h)^2+k)，其中((h,k))是平移后的顶点坐标。这一过程不仅让我们掌握了具体的表达式推导方法，更重要的是体会了“数形