2025 九年级数学上册相似三角形旋转相似问题课件

一、课程导入：相似与旋转的“双向奔赴”演讲人目录01.课程导入：相似与旋转的“双向奔赴”07.课堂互动：小试牛刀，检验掌握程度03.旋转相似的定义与核心特征05.常见旋转相似模型与解题策略02.知识铺垫：相似与旋转的“底层逻辑”04.特征1：“共点等角”的对应边夹角06.解题步骤总结与易错点提醒08.总结提升：旋转相似的“本质与价值”2025九年级数学上册相似三角形旋转相似问题课件01课程导入：相似与旋转的“双向奔赴”课程导入：相似与旋转的“双向奔赴”作为九年级数学教师，我常与学生探讨：“几何问题的魅力，在于图形变换与数量关系的巧妙融合。”相似三角形是初中几何的核心内容之一，而当相似与旋转相遇，便催生出一类独特的问题——旋转相似问题。这类问题不仅考查学生对相似三角形判定与性质的掌握，更要求其具备图形变换的动态思维，是中考几何压轴题的“常客”。今天，我们将从基础出发，逐步揭开旋转相似问题的“神秘面纱”。02知识铺垫：相似与旋转的“底层逻辑”1相似三角形的核心要点回顾要理解旋转相似，首先需夯实相似三角形的基础。相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）与性质（对应角相等、对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方）是解决所有问题的“基石”。以SAS判定为例，若两个三角形有一组对应角相等，且夹这组角的两边成比例，则两三角形相似。这一定理在旋转相似问题中尤为关键，因为旋转常伴随“等角”的生成（旋转角相等），而边的比例关系则可能由相似比直接给出。2旋转的三要素与性质旋转作为图形变换的一种，其核心是“三要素”：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度。旋转的性质包括：对应点到旋转中心的距离相等（即OA=OA'，OB=OB'，其中O为旋转中心，A、A'为对应点）；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角（即∠AOA'=∠BOB'=旋转角）；旋转前后图形全等（若仅考虑旋转），但在旋转相似中，图形还会伴随缩放，因此是“相似变换”。教学反思：我曾在课堂上让学生用透明纸覆盖原图并旋转，观察对应点的位置关系。这种“动手操作”能帮助学生直观理解旋转的性质，为后续分析旋转相似的“对应关系”打下基础。03旋转相似的定义与核心特征1旋转相似的准确定义旋转相似：若存在一个旋转中心O，使得△ABC绕O旋转θ角后，再以O为位似中心缩放k倍（k>0），得到△A'B'C'，则称△ABC与△A'B'C'为旋转相似三角形。此时，两三角形满足：∠AOB=∠A'OB'=θ（旋转角）；OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC=k（相似比）；△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，对应角相等（∠ABC=∠A'B'C'，∠BAC=∠B'A'C'等）。04特征1：“共点等角”的对应边夹角特征1：“共点等角”的对应边夹角在旋转相似中，任意一组对应边（如AB与A'B'）的夹角等于旋转角θ。例如，若AB绕O旋转θ角后得到A'B'，则AB与A'B'的夹角为θ。这一特征是解题的“突破口”，常用于证明角相等或计算角度。特征2：“共线比例”的中心连线对应点与旋转中心的连线（OA与OA'、OB与OB'等）不仅共线（或共点），且长度比为相似比k。这一特征可用于确定旋转中心的位置（如两组对应点连线的交点即为旋转中心），或通过比例关系求解线段长度。典型案例：如图1所示，△OAB与△OCD中，∠AOB=∠COD=60，OA/OC=OB/OD=2，易证△OAB∽△OCD（SAS），且旋转角为60（∠AOC=∠BOD=60），这是最基础的旋转相似模型。05常见旋转相似模型与解题策略1模型一：“手拉手”旋转相似（全等为特例）模型特征：两个相似三角形共顶点，且对应边按相同方向旋转（如△OAB与△OCD共顶点O，∠AOB=∠COD，OA/OC=OB/OD=k）。01结论推导：由SAS可证△OAB∽△OCD，进而可得AB/CD=k，∠OAB=∠OCD（对应角相等），且AB与CD的夹角等于旋转角（∠AOB或∠COD）。02解题关键：找到公共顶点O，证明两组边成比例且夹角相等（即∠AOB=∠COD），从而应用相似三角形的性质。03例题1：如图2，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90，连接BD、CE。求证：BD⊥CE且BD=√2CE。041模型一：“手拉手”旋转相似（全等为特例）分析：以A为旋转中心，△ABD可视为△ACE绕A点逆时针旋转90并缩放√2倍得到（因AB/AC=AD/AE=√2，∠BAD=∠CAE=90+∠CAD）。由旋转相似的性质，BD与CE的夹角为90，且BD/CE=√2，故BD⊥CE且BD=√2CE。2模型二：“反向手拉手”旋转相似模型特征：两个相似三角形共顶点，但对应边旋转方向相反（如△OAB与△OCD共顶点O，∠AOB+∠COD=180，OA/OC=OB/OD=k）。结论推导：此时，对应边的夹角为180-旋转角，需通过补角关系证明角相等，再利用SAS判定相似。解题关键：注意夹角的互补关系，可能需要延长线段或构造辅助线来寻找等角。例题2：如图3，△OAB与△OCD中，OA=2OC，OB=2OD，∠AOB+∠COD=180，连接AD、BC。若CD=3，求AD/BC的值。分析：延长CO至C'，使OC'=OC，则△OAB与△OC'D满足∠AOB=∠C'OD（因∠AOB+∠COD=180，∠C'OD=180-∠COD），且OA/OC'=OB/OD=2，故△OAB∽△OC'D（SAS），相似比为2。2模型二：“反向手拉手”旋转相似由此可得AB/C'D=2，而C'D=CD=3（OC'=OC，OD=OD，∠C'OD=∠COD），故AB=6。再通过△OAD与△OBC的比例关系（OA/OC=OB/OD=2，∠AOD=∠BOC），可证△OAD∽△OBC（SAS），相似比为2，因此AD/BC=2。3模型三：“一线三直角”旋转变形模型特征：原“一线三直角”模型（如三个直角在同一直线上）中，若其中一个直角三角形绕某点旋转，与另外两个三角形形成相似关系。结论推导：旋转后，直角的位置改变，但“等角”（90）与“互余角”的关系仍存在，可通过AA判定相似。解题关键：抓住直角不变的特性，寻找两组对应角相等（如一个直角+一组锐角相等）。例题3：如图4，矩形ABCD中，E为AD上一点，将△ABE绕B点逆时针旋转90得到△CBF，连接EF交BC于G。若AB=3，AD=5，求BG的长。分析：由旋转可知△ABE≌△CBF（旋转角90，相似比1），故BE=BF，∠EBF=90，△BEF为等腰直角三角形。过E作EH⊥BC于H，易证△EHG∽△FBG（AA，∠EHG=∠FBG=90，∠EGH=∠FGB），结合EH=AB=3，FB=BE=√(AB²+AE²)=√(9+AE²)，AE=AD-ED=5-ED（需补充ED长度？题目可能需调整条件），最终通过相似比求解BG。06解题步骤总结与易错点提醒1通用解题步骤观察图形：寻找公共顶点（可能为旋转中心）、相等角（可能为旋转角）、成比例的边（可能为相似比）；确定旋转要素：通过两组对应点连线的交点确定旋转中心，计算旋转角（对应点与中心连线的夹角）；证明相似：利用AA、SAS或SSS判定定理，结合旋转性质证明三角形相似；应用性质：通过相似比求线段长度、面积比，或通过对应角相等求角度、证明平行/垂直关系。010302042常见易错点忽略旋转角与对应边夹角的关系：例如，误认为对应边的夹角等于旋转角，而实际可能是其补角（反向旋转时）；混淆相似比与旋转缩放比例：相似比k是对应边的比值，而旋转缩放比例也是k，需注意对应点的顺序（如△ABC∽△A'B'C'的相似比为k，则A'B'/AB=k）；遗漏辅助线构造：当旋转中心不明显时，需连接多组对应点并延长，寻找交点作为旋转中心。教学建议：我常要求学生在草稿纸上用不同颜色标注对应边和对应角，并用箭头标出旋转方向，这能有效减少“对应关系混乱”的错误。321407课堂互动：小试牛刀，检验掌握程度课堂互动：小试牛刀，检验掌握程度互动1：如图5，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=α，AB/AD=AC/AE=k，连接BD、CE。请说出BD与CE的数量关系及夹角，并证明你的结论。（提示：从旋转相似的角度分析）互动2：若将互动1中的α改为120，k=2，且BD=6，求CE的长度及BD与CE的夹角。（要求：写出完整推理过程）（学生思考5分钟后，邀请2-3名同学分享思路，教师点评并总结）08总结提升：旋转相似的“本质与价值”总结提升：旋转相似的“本质与价值”相似三角形与旋转的结合，本质是“图形变换”与“相似关系”的统一。通过旋转，我们将分散的条件集中（如将线段AB旋转后与CD形成比例关系）；通过相似，我们将角度与边长的关系量化（如用相似比计算未知线段）。解决旋转相似问题的关键在于：用“动态眼光”观察图形，想象旋转过程；用“对应思维”锁定旋转中心、旋转角