2025 九年级数学上册相似三角形与位似图形关系课件

一、相似三角形：从定义到性质的系统回顾演讲人CONTENTS相似三角形：从定义到性质的系统回顾位似图形：特殊相似的“位置约束”相似三角形与位似图形的关系：从一般到特殊的升华应用实践：相似与位似的协同解题总结与升华：从知识到思维的跨越目录2025九年级数学上册相似三角形与位似图形关系课件各位同学、老师们：今天，我们将共同探索相似三角形与位似图形之间的深层联系。作为初中几何的核心内容之一，相似三角形是研究图形形状关系的基础，而位似图形则是相似的特殊形式，二者的关联既是知识体系的自然延伸，也是解决实际问题的重要工具。接下来，我将结合多年教学经验，从基础回顾、概念解析、关系探究到应用实践，逐步揭开它们的“亲密关系”。01相似三角形：从定义到性质的系统回顾相似三角形：从定义到性质的系统回顾要理解位似图形与相似三角形的关系，首先需要夯实相似三角形的知识基础。在之前的学习中，我们已经接触过相似三角形的核心内容，现在让我们通过“定义—判定—性质”的逻辑链条，进行一次系统的温故。1相似三角形的定义与符号表示相似三角形的本质是“形状相同，大小不一定相同”的三角形。数学上，我们定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似，记作“△ABC∽△A’B’C’”，其中“∽”是相似符号，读作“相似于”。这里需要强调两个关键点：对应性：角的对应和边的对应必须严格匹配，例如△ABC与△A’B’C’相似时，∠A对应∠A’，∠B对应∠B’，边AB对应边A’B’；比例性：对应边的比值（即相似比）是一个固定常数k（k>0），当k=1时，相似三角形退化为全等三角形（全等是相似的特殊情况）。2相似三角形的判定定理0504020301判定两个三角形相似，是解决几何问题的关键能力。我们通过实验、推理总结出以下4类判定方法：AA（角角）判定：两角分别相等的两个三角形相似。这是最常用的判定方法，因为只需证明两组对应角相等，即可绕过边的计算；SAS（边角边）判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。这里“夹角”是关键，若角不是两边的夹角，则无法判定相似；SSS（边边边）判定：三边成比例的两个三角形相似。当已知三边长度时，通过计算比例即可验证；HL（斜边直角边）判定：在直角三角形中，斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。这是直角三角形特有的判定方法。2相似三角形的判定定理以课堂练习为例，曾有一道题目：“在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=50，AB=3，AC=4，DE=6，DF=8，判断两三角形是否相似。”通过计算AB/DE=3/6=1/2，AC/DF=4/8=1/2，且夹角∠A=∠D，符合SAS判定，因此两三角形相似。这道题直观体现了判定定理的应用逻辑。3相似三角形的性质相似三角形的性质是其应用的核心，主要包括：角的性质：对应角相等，即∠A=∠A’，∠B=∠B’，∠C=∠C’；边的性质：对应边成比例，即AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’=k（相似比）；周长与面积性质：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；线段性质：对应高、中线、角平分线的比等于相似比。例如，若两个相似三角形的相似比为2:3，那么它们的周长比是2:3，面积比是4:9，对应高的比也是2:3。这些性质在解决实际测量问题（如利用影子测树高）时尤为重要。02位似图形：特殊相似的“位置约束”位似图形：特殊相似的“位置约束”在相似图形的基础上，我们进一步研究一类特殊的相似——位似图形。它不仅满足相似的基本条件，还存在“位置上的特殊关联”，这使得位似图形在坐标系变换、地图缩放等场景中应用广泛。1位似图形的定义与要素位似图形的定义是：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比又称为位似比。理解这一定义需要抓住三个核心要素：位似中心：所有对应顶点连线的公共交点，是位似图形的“枢纽”；对应边平行（或共线）：这是位似图形区别于一般相似图形的关键特征；位似比：与相似比一致，决定了图形放大或缩小的程度。例如，用投影仪将幻灯片投影到屏幕上，幻灯片与屏幕上的图像就是位似图形，光源（投影仪镜头）就是位似中心，图像的放大倍数即为位似比。2位似图形的分类与性质根据位似中心的位置，位似图形可分为两类：外位似：位似中心在两个图形的同侧，对应点在位似中心的同一侧，此时位似比为正；内位似：位似中心在两个图形之间，对应点在位似中心的两侧，此时位似比为负（表示方向相反）。位似图形的性质是相似性质的“加强版”，除了具备相似图形的所有性质外，还具有：共线性：任意一组对应点与位似中心共线；平行性：对应边平行（或共线），因此对应边所在直线的夹角为0；坐标变换规律：在平面直角坐标系中，若位似中心在原点，位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)（外位似）或(-kx,-ky)（内位似）。2位似图形的分类与性质以坐标系中的位似变换为例：若△ABC的顶点坐标为A(1,1)、B(2,3)、C(4,2)，位似中心在原点，位似比为2，则对应点A’(2,2)、B’(4,6)、C’(8,4)，连接AA’、BB’、CC’，三条直线必交于原点，且AB与A’B’的斜率均为(3-1)/(2-1)=2，说明对应边平行。3位似图形的作图与验证作位似图形是重要的操作技能，步骤如下：确定位似中心O；连接原图形各顶点与O，延长（或反向延长）至对应点，使OO’/OO=位似比k；连接各对应点，得到位似图形。验证两个图形是否位似，需同时满足：它们是相似图形；对应顶点连线交于同一点（位似中心）；对应边平行（或共线）。例如，判断两个矩形是否位似时，若它们的对应顶点连线交于一点，且对应边平行，则可确定为位似图形；若仅相似但连线不共点，则不是位似图形。03相似三角形与位似图形的关系：从一般到特殊的升华相似三角形与位似图形的关系：从一般到特殊的升华相似三角形与位似图形的关系，本质是“一般与特殊”的关系——位似图形是相似图形的特殊形式，而相似三角形作为相似图形的典型代表，与位似图形的关联尤为紧密。3.1联系：位似图形是特殊的相似图形位似图形首先是相似图形，因此必然满足相似图形的所有性质：角的对应相等：位似三角形的对应角与原三角形相等；边的比例关系：位似三角形的对应边成比例，比例系数即位似比（相似比）；周长与面积关系：位似三角形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。例如，若△ABC与△A’B’C’位似，位似比为3:1，则它们的相似比也是3:1，∠A=∠A’，AB/A’B’=3/1，周长比为3:1，面积比为9:1。2区别：位似图形的“额外约束”与一般相似图形相比，位似图形增加了两个关键约束：对应顶点共线：所有对应顶点的连线必须交于同一点（位似中心），而一般相似图形的对应顶点连线可能不共点；对应边平行（或共线）：位似图形的对应边所在直线要么平行，要么重合，而一般相似图形的对应边可能相交（只要夹角等于对应角即可）。以两个相似但不位似的三角形为例：△ABC与△A’B’C’满足AA相似（∠A=∠A’，∠B=∠B’），但对应顶点连线AA’、BB’、CC’不相交于同一点，此时它们是相似三角形，但不是位似三角形。3转化：从相似到位似的条件要使两个相似三角形成为位似三角形，需要满足以下条件之一：存在位似中心：存在一点O，使得OA’/OA=OB’/OB=OC’/OC=k（位似比），且点O、A、A’共线，O、B、B’共线，O、C、C’共线；对应边平行：若两个相似三角形的对应边平行（或共线），则它们必为位似三角形，位似中心为对应顶点连线的交点。例如，在坐标系中，△ABC的顶点为A(0,0)、B(2,0)、C(0,2)，△A’B’C’的顶点为A’(1,1)、B’(3,1)、C’(1,3)。通过计算可知，AB的斜率为0，A’B’的斜率也为0（平行）；AC的斜率为无穷大（垂直x轴），A’C’的斜率也为无穷大（平行），因此两三角形相似且对应边平行，必为位似三角形。进一步验证，AA’的直线方程为y=x，BB’的直线方程为y=1（x从2到3），3转化：从相似到位似的条件显然不共点？这里可能存在错误，需要重新计算。实际上，正确的例子应为：△ABC(0,0),(2,0),(0,2)与△A’B’C’(0,0),(4,0),(0,4)，此时对应边AB与A’B’共线（都在x轴上），AC与A’C’共线（都在y轴上），对应顶点连线AA’（原点到原点）、BB’（(2,0)到(4,0)）、CC’（(0,2)到(0,4)）均过原点，因此位似中心为原点，位似比为2。04应用实践：相似与位似的协同解题应用实践：相似与位似的协同解题掌握相似三角形与位似图形的关系，最终要落实到解决实际问题中。以下通过三类典型问题，展示二者的协同作用。1坐标系中的位似变换问题例题1：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，以原点O为位似中心，位似比为2，作△ABC的位似图形△A’B’C’，并求A’、B’、C’的坐标。分析：根据位似图形的坐标变换规律，外位似时，对应点坐标为原坐标乘以位似比。因此：A’(1×2,2×2)=(2,4)，B’(3×2,4×2)=(6,8)，C’(5×2,1×2)=(10,2)。验证：连接OA、OA’，OB、OB’，OC、OC’，三条直线均过原点，且AB的斜率为(4-2)/(3-1)=1，A’B’的斜率为(8-4)/(6-2)=1，说明对应边平行，符合位似图形的定义。2测量问题中的相似与位似结合例题2：小明想测量学校旗杆的高度，他在旗杆旁竖立一根1.5米高的标杆，当标杆的影子长为2米时，旗杆的影子长为16米。同时，他发现标杆顶端、旗杆顶端与太阳光线在同一直线上（即位似中心为太阳）。求旗杆的高度。分析：标杆与旗杆可视为位似图形（太阳为位似中心，对应顶点连线共线，对应边平行），因此它们的高度比等于影子长度比（位似比）。设旗杆高度为h，则：h/1.5=16/2→h=12米。这里，位似的“共线性”特征简化了问题——无需证明相似，直接利用位似比等于对应线段比即可求解。3几何证明中的关系应用例题3：已知△ABC∽△A’B’C’，且对应边AB∥A’B’，BC∥B’C’，求证：△ABC与△A’B’C’是位似三角形。证明：由AB∥A’B’，得∠OAB=∠OA’B’（同位角相等），同理∠OBA=∠OB’A’（同位角相等），因此△OAB∽△OA’B’（AA判定），得OA/OA’=OB/OB’=AB/A’B’=k；同理，由BC∥B’C’，可得△OBC∽△OB’C’，得OB/OB’=OC/OC’=BC/B’C’=k；因此OA/OA’=OB/OB’=OC/OC’=k，且点O为AA’、BB’、CC’的交点，故△ABC与△A’B’C’是位似三角形，位似中心为O，位似比为k。3几何证明中的关系应用此证明过程充分体现了“对应边平行→对应顶点共线→位似中心存在”的逻辑链条，是相似与位似关系的典型应用。05总结与升华：从知识到思维的跨越总结与升华：从知识到思维的跨越回顾本节课的核心内容，我们可以用“一个本质，两个维度，三个应用”来概括：一个本质：位似图形是特殊的相似图形，其特殊性在于“对应顶点共线”和“对应边平行”；两个维度：相似三角形是位似图