湖南理科高考试卷及答案

湖南理科高考试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<6,x\inN\}\)，则\(A\cupB=(\)\)A.\(\{1,2\}\)B.\(\{1,2,3,4,5\}\)C.\(\{0,1,2,3,4,5\}\)D.\(\varnothing\)2.已知\(i\)为虚数单位，复数\(z=\frac{1+i}{1-i}\)，则\(\vertz\vert=(\)\)A.\(0\)B.\(1\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(2\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec{b}=(3,-2)\)，且\((\vec{a}+\vec{b})\perp\vec{b}\)，则\(m=(\)\)A.-8B.-6C.6D.84.函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2\)在\(x=1\)处有极值\(10\)，则\(a+b=(\)\)A.\(0\)B.\(0\)或\(-7\)C.\(-7\)D.\(7\)5.执行如图所示的程序框图，若输入\(n=10\)，则输出的\(S=(\)\)A.\(\frac{11}{12}\)B.\(\frac{24}{25}\)C.\(\frac{49}{50}\)D.\(\frac{99}{100}\)6.已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，且与椭圆\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)有公共焦点，则\(C\)的方程为\((\)\)A.\(\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{10}=1\)B.\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)C.\(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1\)D.\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1\)7.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，\(\alpha\in(0,\pi)\)，则\(\tan\alpha=(\)\)A.\(-\frac{4}{3}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{3}\)8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为\((\)\)A.\(16+8\pi\)B.\(8+8\pi\)C.\(16+16\pi\)D.\(8+16\pi\)9.设\(a=\log_36\)，\(b=\log_510\)，\(c=\log_714\)，则\((\)\)A.\(c>b>a\)B.\(b>c>a\)C.\(a>c>b\)D.\(a>b>c\)10.已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，且满足\(f(x+4)=f(x)\)，当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=2^x\)，则\(f(-2021)+f(2022)=(\)\)A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.已知\(a,b\inR\)，且\(ab\neq0\)，则下列结论恒成立的是（）A.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)B.\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant2\)C.\(\vert\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\vert\geqslant2\)D.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)3.已知直线\(l\)过点\((1,0)\)且垂直于\(x\)轴，若\(l\)被抛物线\(y^2=4ax\)截得的线段长为\(4\)，则抛物线的焦点坐标为（）A.\((1,0)\)B.\((2,0)\)C.\((0,1)\)D.\((0,2)\)4.下列说法正确的是（）A.命题“\(\forallx\inR,x^2+1>0\)”的否定是“\(\existsx\inR,x^2+1\leqslant0\)”B.若\(a,b\inR\)，则“\(a^2+b^2\neq0\)”是“\(a,b\)不全为\(0\)”的充要条件C.“\(x>1\)”是“\(x>2\)”的必要不充分条件D.若“\(p\landq\)”为假命题，则\(p,q\)均为假命题5.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\varphi)(0<\varphi<\frac{\pi}{2})\)的图象经过点\((0,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，则下列结论正确的是（）A.\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{3}]\)上单调递增C.\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{5\pi}{12},0)\)对称D.\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{6}\)对称6.已知\(a,b\)为非零向量，下列命题中正确的是（）A.若\(\verta+b\vert=\verta-b\vert\)，则\(a\perpb\)B.若\(a\cdotb=\verta\vert\vertb\vert\)，则\(a\)与\(b\)同向C.若\(\verta\vert=\vertb\vert\)，且\(\verta+b\vert=\verta-b\vert\)，则\(a\perpb\)D.若\(a\cdotb=\verta\vert\vertb\vert\)，则\(\verta+b\vert=\verta\vert+\vertb\vert\)7.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，则（）A.\(f(x)\)有两个极值点B.\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上单调递增C.\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极大值D.\(f(x)\)在\(x=2\)处取得极小值8.已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在椭圆\(C\)上，且\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，若\(\triangleF_1PF_2\)的面积为\(\sqrt{3}\)，则下列结论正确的是（）A.\(b=1\)B.椭圆的离心率\(e=\frac{1}{2}\)C.\(\vertPF_1\vert\cdot\vertPF_2\vert=4\)D.\(\vertPF_1\vert+\vertPF_2\vert=4\)9.已知数列\(\{a_n\}\)是等差数列，\(S_n\)是其前\(n\)项和，若\(a_1+a_3+a_5=15\)，\(S_4=16\)，则（）A.\(a_3=5\)B.\(a_2=4\)C.\(d=1\)D.\(S_7=49\)10.已知函数\(y=f(x)\)的图象关于点\((a,b)\)对称，则有\(f(x)+f(2a-x)=2b\)。已知函数\(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\)，其图象关于点\((1,2)\)对称，则（）A.\(f(2)+f(0)=4\)B.\(f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{2})=4\)C.\(f(-x)+f(2+x)=4\)D.\(f(-2)+f(4)=4\)三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(a>b\)，则\(ac^2>bc^2\)。（）2.函数\(y=\sinx\)的图象的一个对称中心是\((\pi,0)\)。（）3.直线\(y=x+1\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切。（）4.若\(a,b\)为实数，则\((a+bi)^2=a^2-b^2+2abi\)。（）5.若\(\{a_n\}\)是等比数列，\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，则\(a_3=4\)。（）6.函数\(y=\log_2x\)在\((0,+\infty)\)上是增函数。（）7.若向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,4)\)，则\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线。（）8.双曲线\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的渐近线方程是\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。（）9.若\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，则\(f(0)=0\)。（）10.抛物线\(y^2=4x\)的准线方程是\(x=-1\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式及前\(n\)项和\(S_n\)。答案：设等差数列公差为\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。前\(n\)项和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n^2\)。2.已知函数\(f(x)=x^3-3x\)，求\(f(x)\)的单调区间和极值。答案：对\(f(x)\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(f^\prime(x)>0\)，得\(x<-1\)或\(x>1\)，单调递增区间为\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)；令\(f^\prime(x)<0\)，得\(-1<x<1\)，单调递减区间为\((-1,1)\)。极大值\(f(-1)=2\)，极小值\(f(1)=-2\)。3.已知\(\triangleABC\)中，\(a=\sqrt{3}\)，\(b=1\)，\(A=60^{\circ}\)，求角\(B\)。答案：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，可得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{1\times\sin60^{\circ}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\)。因为\(a>b\)，\(A=60^{\circ}\)，所以\(B=30^{\circ}\)。4.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。答案：直线\(2x-y+1=0\)斜率为\(2\)，所求直线与之平行，斜率也为\(2\)。由点斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)=(1,2)\)，\(k=2\)），得\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论在高中数学中，函数与方程思想的重要性及应用场景。答案：函数与方程思想很重要。它能将实际问题转化为数学模型求解。在求函数零点、解不等式、数列通项与求和等场景常用。比如求函数零点可转化为方程求解；数列中通过方程求通项公式参数等，帮助学生更好理解和解决数学问题。2.探讨立体几何中证明线面垂直的方法及常见思路。答案：证明线面垂直方法有：定义法；判定定理（证明直线垂直平面内两条相交直线）；面面垂直性质（若面面垂直，在一个面内垂直交线的直线垂直另一个面）。常见思路是先分析条件，找平面内相交直线或利用面面垂直关系，通过转化来完成证明。3.分析在解析几何中，如何利用韦达定理简化计算。答案：在解析几何中，联立直线与曲线方程后得到一元二次方程。韦达定理可得出两根之和与两根之积。求弦长时用弦长公式结合韦达定理；求中点坐标可根据中点