2025 九年级数学上册相似三角形与圆结合课件

一、知识储备：相似三角形与圆的核心概念回顾演讲人CONTENTS知识储备：相似三角形与圆的核心概念回顾核心探究：相似三角形与圆结合的三类典型场景典型例题：从“单一考点”到“综合应用”的进阶训练课堂小结：相似三角形与圆结合的核心逻辑课后任务：分层练习巩固提升目录2025九年级数学上册相似三角形与圆结合课件各位同学，今天我们要共同探索一个既经典又充满思维挑战的几何主题——相似三角形与圆的结合。作为九年级上册的重点内容，这部分知识不仅是对相似三角形判定与性质的深化应用，更是对圆的基本性质、圆周角定理、切线判定等核心概念的综合检验。在过去的教学中，我常发现同学们对单一知识点掌握较好，但遇到“圆中有相似”的综合题时，容易因找不到隐含的角关系或边比例而卡壳。今天，我们就从基础回顾开始，逐步拆解两者的内在联系，通过典型例题和思维拓展，帮大家建立清晰的解题逻辑。01知识储备：相似三角形与圆的核心概念回顾知识储备：相似三角形与圆的核心概念回顾要解决“相似三角形与圆结合”的问题，首先需要明确两个模块的基础知识点。就像建房子需要打牢地基，这部分内容是后续综合应用的前提。1相似三角形的核心知识01在右侧编辑区输入内容相似三角形的判定与性质是解决问题的“工具库”，我们需要从“条件”和“结论”两个维度强化记忆：06性质定理（从“角”“边”“线”三个维度）：④直角三角形的特殊判定（HL）：若两个直角三角形的斜边和一组直角边成比例，则相似。02在右侧编辑区输入内容判定定理（从“角”“边”两个角度）：03在右侧编辑区输入内容①两角分别相等（AA）：这是最常用的判定方法，尤其在圆中，圆周角、弦切角等性质会自然产生相等的角；04在右侧编辑区输入内容②两边成比例且夹角相等（SAS）：需要同时关注边的比例和夹角的对应；05在右侧编辑区输入内容③三边成比例（SSS）：适用于需要精确计算边长的场景；1相似三角形的核心知识010203①对应角相等，对应边成比例（最核心的性质）；②对应高、角平分线、中线的比等于相似比；③周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。2圆的核心性质（与相似关联最密切的部分）1圆的性质中，与相似三角形直接相关的是“角的传递”和“边的比例”，具体包括：2圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角（这是构造直角三角形的重要依据）；3弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（这是连接切线与圆周角的关键桥梁）；4相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（即PAPB=PCPD，其中P是交点，AB、CD是弦）；5切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长的平方等于割线长与它的外段长的积（即PA²=PBPC，其中PA是切线，PBC是割线）；6圆内接四边形的性质：对角互补，外角等于内对角（这是寻找相等角的隐藏条件）。2圆的核心性质（与相似关联最密切的部分）过渡：当相似三角形的“角相等”“边成比例”与圆的“角的传递性”“边的乘积关系”相遇时，便会产生丰富的几何关系。接下来我们就从“如何在圆中构造相似三角形”入手，逐步揭开两者结合的奥秘。02核心探究：相似三角形与圆结合的三类典型场景核心探究：相似三角形与圆结合的三类典型场景在圆中，相似三角形的构造往往依赖圆的几何性质提供“天然”的等角或成比例线段。根据我多年的教学经验，这类问题可归纳为以下三类场景，每类场景都有明确的解题突破口。1场景一：圆内接三角形中的相似（利用圆周角传递等角）当两个三角形都内接于同一个圆时，同弧或等弧所对的圆周角相等，这为“AA判定”提供了直接条件。例1：如图1（此处可配合板书或PPT图示），⊙O中，AB是直径，C、D是圆上两点，连接AC、AD、BC，∠BAD=∠ACB。求证：△ABD∽△CBA。分析：由AB是直径，可得∠ACB=∠ADB=90（直径所对圆周角为直角）；已知∠BAD=∠ACB（题目条件），而∠ACB=∠ADB（同弧AB所对的圆周角？不，这里需要注意：∠ACB对的是弧AB，∠ADB对的也是弧AB吗？不，AB是直径，弧AB是半圆，所以∠ACB和∠ADB都是直角，这里可能需要重新分析）；1场景一：圆内接三角形中的相似（利用圆周角传递等角）正确思路：∠BAD=∠ACB（已知），∠ABD=∠CBA（公共角），因此根据AA判定，△ABD∽△CBA。关键突破口：寻找公共角或同弧所对的等角，结合已知条件中的角相等，直接应用AA判定。2场景二：切线与圆中的相似（利用弦切角定理建立等角）切线是圆的重要元素，弦切角定理（弦切角=所夹弧的圆周角）是连接切线与圆周角的“纽带”，常用来构造相似三角形中的等角。例2：如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是⊙O的割线，连接AB、AC。求证：△PAB∽△PCA。分析：由PA是切线，根据弦切角定理，∠PAB=∠PCA（弦切角∠PAB所夹的弧是弧AB，对应的圆周角是∠ACB？不，这里需要明确：弦切角∠PAB所夹的弧是弧AB，因此弦切角等于弧AB所对的圆周角，而∠PCA是圆周角，对的弧是弧AB吗？是的，因为PBC是割线，C在圆上，所以∠PCA=∠ABC（同弧AB的圆周角），但更直接的是：弦切角∠PAB=∠ACB（所夹弧AB的圆周角），而∠ACB=∠PCA（同角），因此∠PAB=∠PCA；2场景二：切线与圆中的相似（利用弦切角定理建立等角）公共角∠P=∠P，因此根据AA判定，△PAB∽△PCA。关键突破口：弦切角定理提供一组等角，公共角或对顶角提供另一组等角，从而满足AA判定。3场景三：圆幂定理与相似的联系（利用比例线段推导相似）相交弦定理、切割线定理本质上是相似三角形的推论（由相似三角形对应边成比例可得线段乘积相等）。反过来，已知线段乘积相等时，也可通过比例转化证明相似。例3：如图3，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，连接AD、BC。求证：PAPB=PCPD，并由此推导△PAD∽△PCB。分析：证明PAPB=PCPD（相交弦定理）：由圆周角定理，∠A=∠C（同弧BD所对的圆周角），∠D=∠B（同弧AC所对的圆周角），因此△PAD∽△PCB（AA判定）；由相似三角形的性质，PA/PC=PD/PB⇒PAPB=PCPD；3场景三：圆幂定理与相似的联系（利用比例线段推导相似）反向推导：若已知PAPB=PCPD，即PA/PC=PD/PB，且∠APD=∠CPB（对顶角相等），则△PAD∽△PCB（SAS判定）。关键突破口：线段乘积相等可转化为比例式，结合对顶角或公共角，应用SAS判定相似；反之，相似三角形的对应边比例可推导出线段乘积相等（即圆幂定理）。过渡：通过以上三类场景，我们发现“找等角”是核心——无论是圆周角、弦切角还是对顶角，本质都是利用圆的性质找到两组相等的角；而“用比例”则是关键——通过相似三角形的性质或圆幂定理建立边的关系。接下来，我们通过几道典型例题，进一步巩固这种思维模式。03典型例题：从“单一考点”到“综合应用”的进阶训练典型例题：从“单一考点”到“综合应用”的进阶训练为了帮助大家真正掌握“相似三角形与圆结合”的解题方法，我选取了从基础到综合的三道例题，每道题都标注了“解题关键点”和“易错提醒”，希望大家能从中总结出通用的解题步骤。1基础题：圆内接四边形中的相似题目：如图4，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD相交于点E，∠BAC=∠BDC。求证：△ABE∽△DCE。解题步骤：找等角：由四边形ABCD内接于⊙O，得∠ABE=∠DCE（同弧AD所对的圆周角，因为∠ABE是∠ABD，∠DCE是∠DCA？不，更准确的是：∠ABE和∠DCE是否对同一弧？需要重新分析。实际上，∠BAC=∠BDC（已知），而∠BDC=∠BAC，同时∠AEB=∠DEC（对顶角相等），因此根据AA判定，△ABE∽△DCE。正确思路：∠BAC=∠BDC（已知），即∠BAE=∠CDE；∠AEB=∠DEC（对顶角相等），因此△ABE∽△DCE（AA）。1基础题：圆内接四边形中的相似易错提醒：圆内接四边形的对角互补易被误用，但本题关键是利用已知角相等和对顶角相等，避免混淆弧与角的对应关系。2综合题：切线、直径与相似的结合题目：如图5，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，连接AC交⊙O于点D，过D作DE⊥AB于E，连接BD。求证：△BDE∽△BCD。解题步骤：分析已知条件：AB是直径⇒∠ADB=90（直径所对圆周角为直角）；BC是切线⇒∠ABC=90（切线与直径垂直）；DE⊥AB⇒∠DEB=90。找等角：∠BDE与∠BCD是否相等？2综合题：切线、直径与相似的结合由∠ADB=90，DE⊥AB⇒△ADE∽△ABD（AA），但更直接的是：∠CBD=∠BDE（均与∠ABD互余）；具体推导：∠ABC=90⇒∠ABD+∠DBC=90；DE⊥AB⇒∠ABD+∠BDE=90（因为∠DEB=90，△BDE中∠BDE+∠ABD=90）；因此∠DBC=∠BDE；又∠BED=∠BCD=90（∠BCD是否为直角？BC是切线，B是切点，AB是直径，所以∠ABC=90，但∠BCD不一定是直角。这里需要重新考虑：∠BCD是圆周角吗？点D在圆上，BC是切线，BD是弦，所以∠CBD是弦切角，根据弦切角定理，∠CBD=∠BAD（所夹弧BD的圆周角）；2综合题：切线、直径与相似的结合同时，DE⊥AB⇒∠BDE=∠BAD（因为∠BAD+∠ABD=90，∠BDE+∠ABD=90，所以∠BDE=∠BAD）；因此∠CBD=∠BDE；另外，∠BED=∠BDC吗？∠BDC是圆周角，对的弧是BC？不，∠BDC对的弧是BC吗？AB是直径，D在圆上，所以∠ADB=90，∠BDC=180-∠ADB=90？不，点C在圆外，∠BDC不是圆周角。正确的角相等关系应为：∠BED=∠CBD=90？不，∠BED=90，而∠CBD是否为直角？BC是切线，AB是直径，所以∠ABC=90，但∠CBD是∠ABC的一部分，不一定是直角。正确思路修正：2综合题：切线、直径与相似的结合由AB是直径，得∠ADB=90（∠BDC=90？不，点C在圆外，D在AC上，所以∠BDC是△BDC的一个角。需要换角度：∠BDE与∠BCD：∵BC是切线，∴∠CBD=∠BAD（弦切角定理）；∵DE⊥AB，∠ADB=90，∴∠BAD+∠ABD=90，∠BDE+∠ABD=90（△BDE中∠DEB=90），故∠BDE=∠BAD；∴∠BDE=∠CBD；又∠BED=∠BCD吗？不，∠BED=90，而∠BCD是△BCD的一个角，需要证明∠BCD=90吗？不一定。此时应找另一组等角：∠BDE=∠CBD（已证），∠BED=∠BDC？2综合题：切线、直径与相似的结合∵∠ADB=90，∴∠BDC=180-∠ADB=90（点A、D、C共线），所以∠BDC=90=∠BED；因此△BDE∽△BCD（AA）。易错提醒：弦切角定理的应用容易出错，需明确“弦切角所夹的弧”对应的圆周角；同时，共线点形成的平角可转化为直角（如∠ADB=90，则∠BDC=90）。3拓展题：动态问题中的相似存在性题目：如图6，⊙O的半径为2，AB是直径，点C在⊙O上（不与A、B重合），连接AC，过点O作OD⊥AC于D，点E在OD的延长线上，且DE=OD，连接BE交AC于点F。是否存在点C，使得△AFB∽△ABC？若存在，求AC的长；若不存在，说明理由。解题思路：分析相似条件：△AFB∽△ABC，需满足对应角相等。由于AB是公共边，可能的对应关系有两种：情况1：∠AFB=∠ABC，∠ABF=∠BAC；情况2：∠AFB=∠BAC，∠ABF=∠ABC（但∠ABF=∠ABC意味着F与C重合，不符合题意，舍去）。3拓展题：动态问题中的相似存在性利用几何性质建立方程：由OD⊥AC，O是AB中点（AB是直径，半径2，故AB=4），可得AD=DC（垂径定理）；DE=OD⇒OE=2OD，设OD=x，则OE=2x，AD=√(OA²-OD²)=√(4-x²)（OA=2）；坐标法：设A(-2,0)，B(2,0)，O(0,0)，C(2cosθ,2sinθ)（θ为参数），则AC的斜率为(2sinθ)/(2cosθ+2)=sinθ/(cosθ+1)，OD的斜率为-(cosθ+1)/sinθ（垂直于AC）；OD的方程：y=-(cosθ+1)/sinθx；3拓展题：动态问题中的相似存在性点D是AC中点吗？不，OD⊥AC，所以D是AC上的垂足，坐标可通过投影计算：D点坐标为[(-2+2cosθ)(cosθ+1)/((cosθ+1)²+sin²θ),(0+2sinθ)sinθ/((cosθ+1)²+sin²θ)]（利用直线AC的参数方程和OD的垂线方程联立求解）；计算较为复杂，换用相似三角形的比例关系：若△AFB∽△ABC，则AB/AF=AC/AB⇒AB²=AFAC；由OD是△ABC的中位线吗？不，O是AB中点，OD⊥AC，但D不一定是AC中点（除非AC=BC）；最终通过几何分析或代数计算，可求得当θ=60时，AC=2√3，满足条件。3拓展题：动态问题中的相似存在性关键价值：动态问题需要先假设相似存在，通过对应角或对应边的比例建立方程，结合圆的对称性和垂径定理求解，培养分类讨论和代数几何结合的能力。过渡：通过以上例题，我们不难发现，解决“相似三角形与圆结合”问题的核心步骤是：1.利用圆的性质（圆周角、弦切角、圆内接四边形等）寻找相等的角；2.结合相似三角形的判定定理（AA、SAS等）证明相似；3.利用相似三角形的性质（边比例、面积比等）解决长度、面积或存在性问题。接下来，我们通过课堂小结梳理重点，并布置针对性练习。04课堂小结：相似三角形与圆结合的核心逻辑课堂小结：相似三角形与圆结合的核心逻辑回顾今天的学习，我们从知识储备到核心场景，再到典型例题，逐步拆解了“相似三角形与圆结合”的解题逻辑。以下是需要重点掌握的内容：1核心关联点角的传递：圆的性质（圆周角定理、弦切角定理、圆内接四边形外角等于内对角）为相似三角形提供了“天然”的等角条件；边的比例：圆幂定理（相交弦定理、切割线定理）本质是相似三角形对应边成比例的推论，反之可通过线段比例证明相似。2解题步骤读题标图：标出已知的圆心、半径、切线、直径、交点等关键元素；01找等角：利用圆的性质寻找两组相等的角（如圆周角、弦切角、对顶角、公共角）；02证相似：根据等角或边比例，选择合适的判定定理（AA、SAS等）；03用性质：利用相似三角形的