2023考研线性代数常考知识点梳理

线性代数这一块儿，学得好的同学觉得特别简洁，后E就是套公式。但是学得不好的同学遇到线代

题就发愁。但它作为考研数学必考科目，不会做的话损失真的很大。则该怎么复习这一科并且能有所提

高呢文章中整理了线代五个部分的重点要点，吩望能对大家有所扶植。

1,行列式

该部分的基本考点可以分为两大部分：

首先第一部分考点就是行列式的计算，要求大家驾驭行列式概念，性

质和绽开定理，以及计算行列式的公式，包括三部分：

一是特别的行列式，如上（下）三角行列式，低阶行列式，范得蒙行列

式；

二是方阵的行列式，主要告知我们在矩阵的各类运算下行列式的变更

状况，包括矩阵的转置，数乘，乘法以及分块矩阵下行列式的计算公式,

还包括逆矩阵和伴随矩阵的行列式；

三是结合特征值，矩阵全部特征值的乘积就等于矩阵的行列式，所以

计算矩阵行列式的另一思路是求出矩阵全部的特征值。

其次部分考点是行列式的应用，也即线性代数后续章节中须要我们计

算行列式的考点。主要有三方面：

一是矩阵可逆的充要条件；

二是线性方程组的克莱姆法则，假如线性方程组的系数矩阵是方阵，

则可以考虑运用克莱姆法则，对非齐次线性方程组来说，方程组有唯一解

的充要条件是系数矩阵行列式不为零。

换言之，方程组无解或是有无穷多解时都有系数矩阵的行列式为零，

对齐次线性方程组来说，方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵的行列式

不为零;

三是特征值的计算。

2,矩

该部分是线性代数的核心学问，它是后面其他各章节的基础，在向量

组，线性方程组，特征值，二次型中均有体现。

首先要求大家熟识常见矩阵，娴熟驾驭矩阵的运算以及法则（特别是不

成立的运算法则：交换律和消去律），这是考试的最基本的要求。其次是对

特别矩阵的考察，包括可逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵，正交矩阵。

对于可逆矩阵是我们须要驾驭其定义和性质，可逆性的探讨以及计

算逆矩阵的方法;对于伴随矩阵须要驾驭定义，性质，以及秩的公式;对

于初等矩阵我们须要驾驭三类初等矩阵以及它们对应的逆矩阵和左行右列

的定理即可;对于正交矩阵我们须要驾驭其定义，性质。

秩是线性代数中最为常用的也是最好用的工具之一，它既是重点也是

难点，比较抽象，秩是贯穿线性代数始终的一个核心概念，整个线性代数

的核心理论体系都是通过秩来串联和表达的。这里不仅仅要求要我们记住

相关的定理和结论，更要求我们驾驭及之相关的思想方法。

3,线性方程组和向量

考试中线代第一道解答题通常状况下出自两个部分的内容，用矩阵表

示的线性方程组的求解问题，用向量表示的线性方程组的解法，但是从本

质上向量和矩阵都可以转化为线性方程组的问题，所以这里核心要驾驭线

性方程组的解法。

首先关于线性方程组我们须要关注三个问题：解的存在性，唯一性,

解的结构；同学们确定要驾驭解的存在性及唯一性的判别，充要条件以及性

质;解得结构重点要驾驭和理解基础解系的概念。

这个部分常见的题型如下：（1）线性方程组的求解；（2）方程组解向量的

判别及解的性质;（3）齐次线性方程组的基础解系；⑷非齐次线性方程组的

通解结构；（5）两个方程组的公共解，同解等问题。

其次关于向量这一部分，它既是重点又是难点，主要是因为其比较抽

象，进而就会导致我们同学们在学习理解以及做题上的困难。

这一部分主要是要驾驭两个核心概念：线性表示和线性相关。关于这

两个核心概念重点驾驭其定义，充要条件（及秩的结合）以及性质，关于这

两类题型我们一般是及非齐次线性方程组和齐次线性方程组一一对应来求

解。

4,特征值及特征向量，相像，二次型

考试中线代其次道解答题通常状况下出自这三个部分内容，首先特征

值和特征向量是作为这三个部分的基础工具而存在，对于特征值及特征向

量我们须要驾驭定义，性质；其次是相像，关于相像必需驾驭相像的定义以

及性质，这一块常考的是相像对角化的内容。

关于相像对角化的定义，充要条件确定要驾驭，这是这一块的一个难

点也是重点，这两部分考试常考的题型有：（D数值型矩阵的特征值和特征

向量的求法；（2）抽象矩阵特征值和特征向量的求法；⑶判定矩阵是否能够

相像对角化；（4）由特征值或特征向量烦求矩阵；（5）有关实对称矩阵的问题

（性质）。

5,二次型

二次型是及其二次型的矩阵对应的，因此有关二次型的许多问题我们

都可以转化为二次型的矩阵问题，所以正确写出二次型的矩阵是这一章节

最基础的要求，而且结合实对称矩阵的性质的考察，也是一个重点。

本章节的常见题型如下：（1）二次型表示成矩阵形式；（2）化二次型为标

准形；（3