2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第11讲：第二章函数与基本初等函数章节总结(精讲)(学生版+解析)

第11讲：第二章函数与基本初等函数

章节总结

第一部分：典型例题讲解

题型一：函数的定义域

1.（23-24高一卜•河北石家4•期末）函数2+（"—1）0的定义域为（）

A..收）B.荐1卜0,+8）

C.-J=（1,+8）D.-,+=»］

11，

2.（23-24高一上•云南昆明・期末）函数/*）=一二+ln。-1）的定义域为（）

x-2

A.（1,-K»）B.（1,2）7（2,”）

C.y,l）D.（0,2）＜u（2,+00）

3.（23-24高一下•安徽安庆•开学考试）若函数/（2-1）的定义域为卜15，则函数/（logzX-l）

的定义域为

4.（23-24高一上•江苏无锡•期末）已知函数”x）=V77+ln（l-x）,则/（2x）的定义域

为.

5.（23・24高一上•湖北武汉•期末）已知函数“X）的定义域为（-5,4）,则函数

山）=3〃24+1）+1鸣（1+1）的定义域为.

题型二：函数的值域（最值）

1.（23-24高二上•广东广州•期末）函数f（x）=2x+j4-x2的最大值是（）

A.逐B.2石C.2+6D.4

2.（多选）（23-24高一上•山东潍坊・期末）已知函数/⑴的定义域为R,值域为［-2,3］,

则下列函数的值域也为［-2,3］的是（）

A.y=f（x+\）B.y=/（x）+lC.y=/（-x）D.y=-/（x）

3.（2023高三上•全国•专题练习）函数/（x）=r8sx的值域是_____________.

ZCOSX+I

4.（2024高三•全国・专题练习）求函数），=/』+百二7的最大值.

5.（23-24高一上.吉林•期末）已知函数〃力=（，一女口]+k,xe[-l,O],

⑴攵=—1时，求/（X）的佳域；

⑵若/（力的最小值为4,求k的值.

6.（2023高三•全国•专题练习）求函数/（力=的值域.

x+X+I

7.（23-24高一上•重庆南岸•阶段练习）（1）已知函数/（力=J（〃i+l）x2x+〃?—l的定义

域为R，求实数〃?的取值范围；

（2）已知函数/'（工）=小以2+2犬+1的值域为[0,+8）,求实数。的取值范闱.

题型三：求函数的解析式

1.(2024高三•全国•专题练习)己知函数/(1一月=上:“二0),则/("=()

X

A./।\2一1(工工0)B.(

(•1)(I)

4、4

C.--------T-1(x*°)D.；---/一(-1)

(1)(xT)

2.(23-24高一上•天津南开•期中)已知/1一*/+指，则函数/,(X+])的表达式为()

A,仆)W"海—(1卜Y同।

C./(x+l)=x2+2x4-3D./(x+l)=x2+2x+l

3.（多选）（23-24高一上•山西太原•期中）已知函数/（炭+1）=2工+五-1,则（）

A.."3)=9B./(x)=2x2-3x(x>l)

C./（x）的最小值为-1D./（x）的图象与"由有2个交点

'）=（）,请写出一个符合题意的函

4.（23-24高一上•湖北•期末）函数〃力满足/（*）+/

数“X）的解析式.

5.（2024离一•全国•专题练习）已知是二次函数且/（。）=2,f（x+l）-f（x）=x-}t求

/（X）.

6.（23-24高一上•河北•阶段练习）（1）已知/（6+l）=x+2«,求“X）的解析式;

（2）/（A）-2/（-X）=9X+2,求的解析式.

题型四：分段函数问题

1.（23-24高三上•安徽六安・期末）函数/（"=<若/（/+1）”（-10。）一/⑸,

则实数。的取值范围是（）

A.{-1}B.

「

C.[-l,+oo）D.-1,一

.e/

2.（2024・广东深圳•模拟预测）已知函数/（X）=[：2-3X"：3,若叫使得

log3x,x>3

/（事）40,〃+4〉成立，则实数m的取值范围为（）

-9I-]「5八

A.B-[-i'°

（9]「1]（5]「八、

C.u-—,+x>JD.u[0,+8）

3.(2024高三•全国•专题练习)定义域为R的函数/(x)满足/(x+2)=2/(x),当x«0,2)

x2-x,XG0,1)

时，/a".若工目<-2)时，/(x)>-j-l恒成立，则实数f的取值

-匕J,xw[l，2)

范围是()

A.f(x)=xaB.[-2,0)u[l,+cc)

C.(fD.[—2,1]

4.(23-24高一下•广西・开学考试)已知/(戈)=]，〃T卜：2"+l，x<l是R上的单调函数，

则加的取值范围是.

5.(23-24高一下•上海•阶段练习)若函数〃”=壮一无最大值，则实数a

[2|x-a|-2,xe(l,3]

的取信范围.

题型五：函数的单调性

1.(2024•陕西西安・二模)已知函数/(x)=gx2—2x+lnx.若f(a+l)2/(2a-l),则。的取

值范围是()

A.(fT]B.(-1,2]C.[2,+oo)D.(g,2

2.(2024・广东•一模)已知/3)=23+/，若/⑷<3,则()

A.£/e(l,+co)B.ae(-l,l)C.aw(v,l)D.«e(0.1)

3.(2024•云南贵州•二模)若函数/")的定义域为R且图象关于)，轴对称，在[0，+?)±

是增函数，且/(-3)=0,则不等式〃x)v0的解是()

A.(-3)B.(3,+8)

C.(—33)D.(YO,-3)53,+8)

4.(2024高一•全国•专题练习)定义R上单调递减的奇函数/(幻满足对任意/eR,若

/(r-2/)+f(2t2-k)<0恒成立，求A的范围____.

5.(2024•四川成都•二模)已知函数/(x)=3.・sinx,若/(〃)+/(/―2)>0,则实数。的

取值范围为.

题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用

1.(2024•山东烟台•一模)已知定义在R上的奇函数/⑸满足/(2-x)W(x),当OMxSl时,

/(x)=2v-I,则〃10g212)=()

111］

A.——B.——C.-D.-

3432

2.(2024•河北沧州•一模)已知定义在R上的函数f(x)满足：

/(x)+/(2-x)=2,/(x)-/(4-x)=0,且/(0)=2.若他N"则£")=()

1=1

A.506B.1012C.2024D.4048

3.(23-24高三下•江苏苏丹•阶段练习)己知定义在R上的偶函数/(M,其周期为4,当工目0.2］

时，/。)=2'-2,则()

A./(2023)=0B.的值域为［T2］

C./(X)在［4,6］上单调递减D./(*)在［-6,6］上有8个零点

4.(多选)(23-24高一下•江西•开学考试)已知/(1)是定义在R上的奇函数，且

/(4-x)=/(x),若对于任意的再，x,e［2,4］,都有(％-々)［/(凡)一/(工2)］<。，则()

A.f(x)的图象关于点(-2,0)中心对称B./(x)=/(x+8)

C./(”在区间［-2,2］上单调递增D./(x)在x=66处取得最大值

5.(多选)(2024•吉林白山•二模)已知函数/(x)的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对

称，若.(X)7(47)="X,则()

4

A./(2-3A)+/(3X)=4B./(x)=/(.r-4)

20

C./(2025)=-4046D.工/3=-340

r-l

6.(23-24高三下•陕西•开学考试)已知定义在R上的函数/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶

函数，当xw［0,l］时，/")=3/-3九则方程在［0,99］上的实根个数为.

题型七：不等式中的恒成立问题

4

1.(23-24高一上•重庆•阶段练习)已知函数"X)=%+—(x)=2,.若

X

叫w[Z3],使得/&)之g(t)成立，则实数。的范围是()

A.a<4B.a<3C.a<0D.a<\

2.(23-24高一上・江苏扬州•阶段练习)己知正实数K)，满足2x+3y=l,且a2一产之工一丁对

任意X,〉，恒成立，则实数，的最小值是.

3.(23-24高一下•上海金山•阶段练习)定义域为R的函数/⑴满足/*+2)=2/(x),当

xz-x,.re[O,l)

若当工目)时，不等式/(力之[恒成

xt[0,2)时,/(6="同7,_27+!

,xe[l,2)

立，则实数/的取值范围是.

4.(23-24高一下•北京延庆•阶段练习)设〃为常数，且0>1,函数/(x)=cos2x+2asinx-l,

若对任意的实数x，都有/(幻工/一4成立，求实数。的取值范围.

5.(23-24高一上•北京•阶段练习)已知函数

2

/(x)=log|(x4-l)+logI(.v-l),(g(x)=x-av+6(«eR)

22

⑴求函数的定义域.

⑵判断函数/(X)的奇偶性，并说明理由.

⑶对VK€[6,E)，W€[I,2],不等式f(X)Wg(.q)恒成立，求实数”的取值范围.

6.(23-24高一上•北京•期中)若二次函数满足/(x+l)-/(x)=2x,且/(0)=1

⑴确定函数“X)的解析式；

⑵若在区间[-11]上不等式/(x)>2x+m恒成立，求实数5的取值范围.

题型八：不等式中的能成立问题

1.(23-24高一上•河南驻马店•期末)已知定义在R上的函数/(力=噢2(2'+1)+(女+1卜,

且是偶函数.

⑴求/(%)的解析式：

⑵当xe[—3,0]时，记/("的最大值为g(x)=f—2〃u+2,若存在xe[2,4],使

g(x)<Mt求实数m的取值范围.

2.(23・24高一下•黑龙江大庆•开学考试)已知函数/(x)=logi93,8。)=〃?4-2川+3

⑴若y=ig[g(x)]的值域为R，求满足条件的整数机的值：

⑵若非常数函数.“<)是定义域为(-2,2)的奇函数，且Dxe[l,2),lv2e[-lj],

/(%)-8(巧)>一3，求巾的取值范围.

3.(23・24高一下•云南红河.阶段练习)已知函数=户;“一15>0,〃工1)是定义在R上

的奇函数.

(1)求6的值:

⑵若/(1)<0,3xe；,2,使得不等式/(2/)+〃1一次)>0成立，求/的取值范围.

4.2(3-24高一下•河北石家庄•开学考试)已知某函数/(X)=(〃"4〃?+4)•口7在(_8,o)上

单调递减.

⑴求函数/(1)的解析式；

⑵若〃l-2“v〃x+2),求x的取值范围；

⑶若对任意工«1,2],都存在使得/3工〃2一+〃+1成立，求实数.的取值范围.

5.(23-24高一上•江西籽余.期末)己知函数〃力=白焉的图象经过点卜,£].

⑴求。的值，判断/(x)的单调性并说明理由；

(2)若存在彳«-2,-1],不等式/(丁+如)+/12+4)>。成立，求实数m的取值范围.

题型九：函数的图象

1.（23-24高三下•四川巴中•阶段练习）以下最符合函数/（力=互芈号的图像的是（：）

2'-2,

3.（2024,福建•模拟预测）函数/（x）=gY+cosx在［-阳句上的图象大致为（）

4.（2024•内蒙古赤峰•一模）在下列四个图形中，点P从点。出发，按逆时针方向沿周长

为/的图形运动一周，0、尸两点连线的距离》与点尸走过的路程x的函数关系如图，那么

题型十：指数函数，对数函数，募函数

1.（23-24高三上•天津南开•阶段练习）已知〃=e°」，b=\-2\g2,c=2-log310,则

c的大小关系是（）

A.h>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

2.（2024•浙江•二模）若函数〃x）=ln（e'+l）+ar为偶函数，则实数。的值为（）

11

A.--B.0C.-D.1

2

3.（2024•河北沧州•模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的

废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为

2.25g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21g/m）第〃次改良工艺后

排放的废水中含有的污染物数量4满足函数模型，；,=0+«-石）W”CwR,,?eN'），

其中“为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数最，4为首次改良工艺后排放的废水中含

有的污染物数最，〃为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数最不超过0.65g/n?时符

合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参

考数据：怛2=0.30,1g3«0.48）

A.12B.13C.14D.15

4.（2024•河南郑州•模拟预测）函数/（x）=（2x+a『-1。氏（2"+2）是偶函数，则。的值为

（）

I333

A.-B.—C.-D.-

8248

5.（2024•陕西西安•二模）已知定义域为R的函数/（x）满足/（x+2）=-/"）,且当0<工<2时，

/（x）=3Tn.j则/（211）=.

6.（2024•河南•模拟预测）若/（力=1。8（33'3'）+（犬+〃）2是偶函数，则实数.

题型十一：函数中的零点问题

1.（2024•陕西•二模）己知啊，”2是函数/"）=（”一2）［【2-1）-6（/2+1）的两个零点，

则9+均=（）

24

A.1B.eC.eD.e

2.（2024・四川•模拟预测）已知函数），=〃x-2）的图象关于直线x=2对称，对任意的xeR,

都有〃x+3）=/（x-l）成立，且当八目一2,0］时，/（x）=-x,若在区间（一2,10）内方程

“x）-log"（x+2）=。有5个不同的实数根，则实数〃的取值范围为（）

A.（2,2x/2）B.（2,2立］C.（2衣2石）D.（2万2句

3.（2024•新疆乌鲁木齐•二模）设x>0,函数），=/+工一7,.丫=2'+,丫-7,丁=10821+4-7的

零点分别为c,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

（X\

4.（2024・陕西榆林•二模）已知函数/（力=12-叙+南恰有3个零点，则整数

机的取值个数是（）

A.1B.2C.3D.4

x-a

5.（2024•广东•一模）已知lOvavl,函数f（x）=-n-e--（xwO）.

x

⑴求/（r）的单调区间.

（2）讨论方程/（幻=°的根的个数.

题型十二：函数模型的应用

1.（2024,宁夏吴忠•模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽

车每小时耗油量。（单位：L）与速度】，（单位：km/h）（0<v<120）的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模

型是（）

A.Q=0.5"+。B.Q=av+b

C.Q=avy+bv2+cvD.Q=Ahg/+〃

2.（2024•四川宜宾•二模）根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型

N

一、（N）其中y（单位：万辆）为第1年底新能源汽车的保有量，〃为年增长率，

1+--IC

1%）

N为饱和度，尤为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，

以后每年的增长率为12%,饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保芍量

约为（）（结果四舍五入保留整数，参考数据：lnO.887a-O.I2/nO.3Oa-1.2）

A.65万辆B.64万辆C.63万辆D.62万辆

3.（23-24高一上,广东东莞•期末）某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，

下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值）（万元）

与新政策实施年数x（年）的关系，现有以下三种函数模型：），=h+"y=（。>0,且

"1）,y=k\o§,（lx+b（〃>0,且〃制）,选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企

业2024年的年产值约为：）（WI：1,113a1.368）

年份20112012201320142015201620172018201920202021

6.（23-24高一上•云南昆明・期末）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产

大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观〃列入《世界遗产名录》，成为全球首个

茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95c的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，

口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时

间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度），（单位：°C）与时间（单位：分钟）的

部分数据如下表所示：

时间/分钟012345

水温/℃95.0088.0081.7076.0370.9366.33

（1）给出下列三种函数模型:①），=々+"〃<0）,@y=ab'+c（a>（）A）<h<\）,③

），=log"（，+A）+cS>0,a>l）,请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型,

简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式.

⑵根据（1）中所求模型，

（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋丁稳定）；

（H）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.

（参考数据：1g3。0.477,1g5=0.699）

第二部分：新定义题

1.(23-24高二下•重庆•阶段练习)对于整系数方程/(力=0,当x的最高次累大于等于3

时，求解难度较大.我们常采用试根的方法求解：若通过试根，找到方程的一个根毛，则

/(x)=(xf)g(x),若晨x)=0已经可以求解，则问题解决；否则，就对g(x)=o再一次

试根，分解因式，以此类推，直至问题解决.求根的过程中常用到有理根定理：如果整系数

方程4产"+4_仔"।+…+a产+4=0(%土0)有有理根x=-,其中厂、seZ,s工0,($,/)=I,

s

那么"4,s|a”.符号说明：对于整数〃？，〃，("[,〃)表示小，〃的最大公约数；表示〃是

小的倍数,即加整除〃.

⑴过点。(3,-1)作曲线)，=V-x的切线，借助有理根定理求切点横坐标；

⑵试证明有理根定理；

⑶若整数“，〃不是3的倍数，且存在有理数％,使得2/+々2f+2〃2%+]=0,求a,儿

2.(23-24高一下•湖北•阶段练习)设xwR,我们常用[目来表示不超过工的最大整数.如:

[-4.1]=-5,[2.3]=2.

⑴求证：[2x]=[x]+x+；；

⑵解方程：f—3一2=0；

⑶已知/(1)=丁+2巾-〃|-15,*(x)=cos2x+sinx,若对V%w[l,2]jx,w一，片，使不等

式成立，求实数〃的取值范围.

3.（23-24高二下•重庆黔江•阶段练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，

牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法，这种求方程根的

方法，在科学界已被广泛采用.设实系数一元三次方程：。4+//+4工+4=。（4工0）一①,

在复数集C内的根为为，/，可以得到，方程①可变为：6（工-%）（工一天乂工一天）二0，

展开得：％/一%（百十9-&）/+6（内七+内七+出^）工一々3%/马=0—②，比较①②可以

4,

x1+x2+x3=——-

%

得到一元三次方程根与系数关系：中2+中3+”3=-

%

%

⑴若一元三次方程：V+Y+x+〃?=0的3个根为＞[,X2,X,,求％;+石+石的值；

⑵若函数Mx）=V+⑪2+以+C,且/?（-1）="（-2）二0（-3）=，，/€（o,3],求c的取值范围；

⑶若一元四次方程or4+从'十婢十小.十金一。（。大0）有4个根为毛，矛2，,，七，仿造上述

过程，写出一元四次方程的根与系数的关系.

第11讲：第二章函数与基本初等函数

章节总结

第一部分：典型例题讲解

题型一：函数的定义域

1.(23-24高一上•河北石家庄•期末)函数/("=万3?+(x-l)"的定义域为()

，3工-2

A.川B.|」卜（1,+8

(2、

C.-Ju(l,+8)D.

I，Z

【答案】C

【分析】根据函数解析式;有意义可得出关于实数”的不等式组，即可解得函数的定义域.

【详解】由题意对于/(耳=4三+(4-1)”,得［3,二2：°,解得工1,故C正确.

yJ3x-2［工一1工03

故选：C.

2.(23-24高一上•云南昆明・期末)函数/*)=一=+值*-1)的定义域为()

x-2

A.(l,+oo)B.(1,2)52")

C.(-00.1)D.(0,2)kJ(2,+oo)

【答案】B

x-1>0

【分析】由题可得。八，即可解出定义域.

x-2^0

【详解】因为/*)=」；+In(x-l),

x-2

所以要使函数有意义，

x-l>0

则〈C八，解得x>l且户2,

x-2^0

所以“X)的定义域为(l,2)u(2,+a)),

故选:B.

3.(23-24高一下•安徽安庆•开学考试)若函数/(2一)的定义域为卜1』，则函数“唾2万-1)

的定义域为

【答案】［&，』

【分析】

由x的取值范围求出2，-1的取值范围，再令-^VlogzxTV1,求出x的范围即可.

【详解】

当工4一覃］时2,所以2-lw1

2

,印一gWlogx-l<1,贝lj!4iog,xW2,

所以log2%-le2

即log?V2<log2x<log24,解得夜W%44，

所以函数/(1限2工-1)的定义域为［&，4］.

故答案为：［&，4］

4.(23-24高一上•江苏无锡•期末)已知函数〃x)=V77+ln(l-x),则/(2x)的定义域

为.

【答案】-4)

【分析】先求出函数/(%)的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解.

x+4>0

【详解】由题意得，一>。’解得―

令Y<2工<1,则-2KX<L

2

故〃2工)的定义域为-2,-1.

故答案为：-2,1

5.(23-24高一上♦湖北武汉・期末)已知函数“X)的定义域为(-5,4),则函数

g（x）=3/（2x+l）+log2（：x+l）的定义域为

【答案】卜2,

【分析】由抽象函数定义域以及复合型对数函数定义域的求法，列出不等式组即可求解.

【详解】由题意函数”封的定义域为(-5,4),所以要使函数g(x)有意义,

[-5<2x+l<4

3

则〈1।八，解得一2<X<9,

-x+l>02

12

的定义域为{21）.

题型二：函数的值域（最值）

1.（23-24高二上•广东广州•期末）函数/（X）=2X+J4-Y的最大值是（）

A.&B.26C.2+6D.4

【答案】B

【分析】

设x=2sina.ae，根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解.

【详解】由4T2“,解得-2W2,故""）的定义域为［-2,2］.

设x=2sina,ac-,

则y=4sina+V4-4sin2a=4sina+2cosa=2\/5sin（a+9）,

甘心2石.石n}

其中，cos^=-,sin^>=—,^>el0,—I,

7tTtlK7T,,7：

'/ae,则一5〈一5+*Wa+945+w<7i,

.WA,71rin-.（兀）2亚（H\.x/5.

•・当a+0=］,U|Jsma-sin——-cos^=—,cos^-cos|^——-sin^?-HHjt

），=26sin（c+夕）取最大值2不，即函数/（.v）的最大值是2石.

故选:B.

2.（多选）（23-24高一上•山东潍坊•期末）已知函数/Ct）的定义域为R,值域为［-2,3］,

则下列函数的值域也为［-2,3］的是（）

A.y=f（x+\）B.y=f（x）+\c.y=/（-x）D.y=-fM

【答案】AC

【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案.

【详解】对于A,），=/（*+1）的图象可看作由/（力的图象向左平移一个单位得到的，故值

域不变，正确：

对于B,由），=/（司«-2,3］可得），=/（司+14一1,4］,即广f（x）+l的值域为［-1,4］,错误;

对于C,函数），=/（-X）与函数），=/（"的图象关于），轴对称，

故函数y=〃T）的值域与函数y=/（x）的值域相同.为［-2.3］.正确：

对于D,由尸/37-2.3]可得），=-/（幻£卜3,2],即），=-/*）的值域为[-3,2],错误.

故选：AC

3.（2023高三上•全国•专题练习）函数/*）=.“S',的值域是_____________.

2COSX+1

【答案】（-oo,1]u[l,+oo）

【分析】

将），=/*）=产=7化为8sx=/二，利用余弦函数的有界性，即|cosM<l,解不等式

2cosx+ll-2y

即可得答案.

CCSY

【详解】由y=/（x）j,，可得（l-2y）cosjv=y,

ZCOSA+l

当y时等式不成立，yw：,则有cosx==^-.

22l-2y

/|COSA|<1,/.Y<1,3/-4y+l>0,yW2或yzl,

l-2y3

函数COS]的值域是（一00』51”），

2cos.v+l3

故答案为：J<^|h+°o）

4.（2024高三・全国•专题练习）求函数y=+7的最大值.

【答案】2>/2

【分析】通过将两个根式换元为用,”,函数即为北=川+〃,利用析+/=4,建立函数与

等式的关系即可求得其最大值.

【详解】不妨设=X/5^7=/t>0,则），=阳+〃，

因"*+〃2=4,由4=〃『+〃222〃"7可得0K""?K2,当且仅当〃?=〃时等号成立，

由）3=（〃?+〃）2=nr+n~4-2mn=4+2mn<8,因），>0,

故得：）'a=20，当且仅当x=3时函数取得最大值•

5.（23-24高一上.吉林•期末）已知函数/3=仁）-+3xe[-l,0].

⑴A=T时，求“X）的值域；

⑵若/"）的最小值为4,求k的值.

【答案】（1）[2/4]

⑵&二一3

【分析】(1)设/=f口可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得;

(2)设，可将原函数转化为二次函数，对攵的取值进行分类讨论，结合二次函数性质

计算即可得.

【详解】(1)由题意得，/(x)=+k,xe[-l,O]

令,士,问1,3],8(/)="-2K+kjc[l,3],

当人二一1时，g(t)=t2+2t-\,/e［l,3］,g。)在［1,3］上单调递增,

故g(%)由=g⑴=2,g⑺皿=g(3)=14,

故g(x)的值域为［Z14］；

(2)由(1)^g(t)=t2-2kt+k,re［l,3］,对称轴［=*,

①当攵＜1时，g«)在［1冏上单调递增,

以初而=履1)=1乂=4,解得左=-3；

②当1£心3时，g(l)在［I闺上单调递减，在化3］上单调递增，

g(x)min=且(女)=女一攵2=4无解，舍去；

③当Q3时,g⑺在［1,3］上单调递减,

8(人).=F(3)=9-54=4,解得"=1,舍去；

综上所述，k=-3.

6.(2023高三・全国•专题练习)求函数/(力=：+2的值域.

6-2>/36+26

【答案】

【分析】先分离常数，再分类讨论x=l与XH1,结合换元法与对勾函数的性质即可得解.

【详解】小)=)+2jf1)=「丁-1,

x~+x+\X+x+\X+x+\

当X=1时，/(x)=l,

当4W1时，""1/+X+］,

A-l

令，=x-i,则ro,x=r+i,

诉/("=/(，+1)=]—r~^—7=1—-

所以(，+1)+，+2t+-+3,

~tI

由对勾函数的值域可知，当r()时，r+y4-3G(-oo,3-273]u[3+2>/3,+oo),

综上所述，函数/(力的值域为［生芋，"I立

7.(23-24高一上•重庆南岸•阶段练习)(1)已知函数/")=JW+1)益—〃及•+〃L1的定义

域为R，求实数〃?的取值范围；

(2)已知函数“力=，以2+2Q+1的值域为［。,+8),求实数。的取值范围.

【答案】⑴悸,+8(2)[0,1]

【分析】(1)由题意可知：(加+1)/-〃21+/〃-120在R上恒成立，分m=-1和加工一1两种

情况，结合△判别式运算求解：

(2)由题意可知：y=+2X+1的值域包含［0,+8),分。=0和。工0两种情况，结合二次

函数运算求解.

【详解】(1)由题意可知：(〃7+1)工2-〃四+〃?-1之。在R上恒成立，

当，〃+1=0,即机=-1时，x-2>0,即x>2,不合题意;

m+1>0解得〃此平

当〃?+1工0,即=+-1时,

A=(-///)'-4(/Z/+1)(/7!-l)<0

综上所述：〃?的取值范围是

(2)由题意可知：y=a/+2x+l的值域包含恨+8),

当a=0时，f(x)=>/2x+\,因为2x+120,可得/(x)=以+1N0,

所以“X)的值域为［0,+8)，符合题意;

a>0

当"0时,解得0<aWl,

A=4-4«>0

综上所述；实数a的取值范围是［05.

题型三：求函数的解析式

1.(2024高三•全国♦专题练习)已知函数〃17)==1(户0),则/")=()

X

A.B.rA?一"")

(x-1)(x-1)

44

C.：-^-1(工工。)D.7-^T(x")

(1)(A1)

【答案】B

【分析】利用换元法令F=l-x,代入运算求解即可.

【详解】令，=1一x,则x=lv,由「xwO,则/工1,

可得〃，)=年飞乙=/二一1，(/工1)，

(1-)(一)

所以〃x)=V7T("小

(I)

故选：B.

2.(23-24高一上•天津南开•期中)已知/1一)=/+千，则函数〃X+1)的表达式为()

+B.2同

C./(.r+l)=.v2+2.r+3D./(.r+1)=.r2+2.r+l

【答案】C

【分析】利用配凑法先求出函数f(x),再整体代入即可求出函数/(1+1)的表达式.

【详解】因为/(x—=r

+U+2

尸IX)

所以/(x)=9+2

所以“x+l)=(x+iy+2.即/(X+1)=*2+2X+3.

故选：C.

3.(23-24高一上•山西太原•期中)已知函数八五+l)=2x+«—1,则()

A./(3)=9B./(X)=ZX-2-3X(X>1)

C.的最小值为-1D.f(x)的图象与x轴有2个交点

【答案】ABC

【分析】B选项，换元法得到函数解析式；A选项，代人求解即可；C选项，配方求出函数

最值；D选项，解方程，求出答案.

【详解】B选项，令/=4+INI，得4=1-1,则工=(1-1)2,

f[^+\)=f(t)=2r-3t,

故/(x)=2f-3x,xe[l,-H»),B正确；

A选项，/(3)=9,A正确，

C选项，/(x)=2x2-3x=2fx-1Y-1,所以/(刈在口,一)上单调递增，

/Wmin=/(1)=T，C正确：

D选项，令2/一31=0,解得x=g或0(舍去)，

故"X)的图象与x轴只有1个交点，D错误.

故选：ABC

4.(23-24高一上•湖北•期末)函数/(到满足/(司+/&)=。，请写出一个符合题意的函

数〃力的解析式.

【答案】/ablogzX(答案不唯一)

【详解】取f(x)=log2X，

门、1(1、

则/(工)+/-=log2x+log2-=log2X-=IogJ=0,满足题意.

故答案为：/(x)=log2X(答案不唯.)

5.(2024高一•全国•专题练习)已知f(x)是二次函数且/(0)=2,/(x+l)-/(x)=x-l,求

/(X).

Ia

【答案】f(x)=-x~--x