2024-2025学年高中数学第3章概率31随机事件的概率311随机事件的概率学案新人教A版必修3

3.1.1随机事务的概率

学习目标核心素养

1.了解随机事务、必定事务、不行能事务的

含义.（重点）

通过概率的学习，培育数学抽象

2.会初步列出重复试验的结果.（重点）

素养.

3.理解频率与概率的区分与联系.（难点、

易混点）

课前自主学习自主预习。探新知预习素养感知

Q新知初探口

1.必定事务、不行能事务与随机事务

事务类型定义

在条件S下，肯定会发生的事务,叫做相对于条件S的必

必定事务

定事务，简称必定事务

在条件S下，肯定不会发生的事务,叫做相对于条件S的

不行能事务

不行能事务，简称不行能事务

必定事务与不行能事务统称为相对于条件S的确定事务，

确定事务

简称确定事务

在条件S下，可能发生也可能不发生的事务,叫做相对于

随机事务

条件S的随机事务，简称随机事务

确定事务与随机事务统称为事务，一般用大写字母A,8,

事务

&...表示

2.频率与概率

（1）频数与频率

在相同的条件S下重复〃次试验，视察某一事务力是否出现，称〃次试验中事务4出现

的次数小为事务A出现的频数，称事务A出现的比例/；⑷=£为事务A出现的频率.

（2）概率

随机事务发牛.可能性的大小用概率来度量,概率是客观存在的.对于给定的随机事务人

事务A发生的频率£（冷随着试验次数的增加稳定于概率于力）,因此可用频率£（用来估计概

率户（4）,即P（A）

-------n

思索：两位同学在相同的条件下，都抛掷一枚硬币100次，得到正面对上的频率肯定相

同吗？

［提示］不肯定.

［初试身手］

1.事务“经过有信号灯的路口，遇上红灯”是（）

A.必定事务B.不行能事务

C.随机事务D.以上均不正确

［答案］C

2.下列说法正确的是（）

A.任何事务的概率总是在（0,1］之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，事务发生的频率一般会稳定于概率

I）.概率是随机的，在试验前不能确定

C［由频率与概率的芍关概念知，C正确.］

3.“同时抛掷两枚质地匀称的硬币，记录正面对上的枚数”，该试验的结果共有

种.

3［正面对上的枚数可能为0,1,2,共3种结果.］

4.某人射击10次，恰有8次击中靶子，则该人击口靶子的频率是___.

0.8扁8.］

........................”娴题蛾合作探究。释疑难学科素养形成

事务类型的推断

【例1】（D下列事务：①抛一枚硬币，出现正面朝上；②某人买彩票中奖：③大年初

一太原下雪；④标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中随机事务的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

（2）在1,2,3,…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”

这一事务是（）

A.必定事务B.不行能事务

C.随机事务D.以上选项均不正确

（DC（2）C［（1）①②③可能发生，也可能不发生，是随机事务，④肯定不发生，是不

行能事务，故选C.

（2）从1,2,3,…，10这10个数字中任取3个数字，这三个数字的和可能等于6,也可

能大于6,・••数字之和大于6,可能发生也可能不发生，・•・“这三个数字的和大于6”是随机

事务，故选C.］

厂.......规律C方法..........................

推断事务类型的思路

推断一个事务是随机事务、必定事务还是不行能事务，首先肯定要看条件，其次是看在

该条件下所探讨的事务是肯定发生必定事务、不肯定发生随机事务，还是肯定不会

发生不行能事务.

［跟进训练」

1.给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的

球”是必定事务：②当"X为某一实数时可使六〈0”是不行能事务：③“每年的国庆节都是晴

天”是必定事务；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事

务.其中正确命题的个数是()

A.4B.3

C.2D.1

B［③“每年的国庆节都是晴天”是随机事务，故错误；①②④的推断均正确.］

9*2试验结果的列举

【例2】设集合必={1,2,3,4},aWM(a,/»是一个基本领件.

(1)“a+3=5”这一事务包含哪几个基本领件？

(2)这一事务包含哪几个基本领件？

(3)“直线的斜率4>一1”这一事务包含哪几个基本领件？

［解］这个试验的基本领件构成集合O={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.

(1)“a+Z>=5”包含以下4个基本领件：

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1).

(2)“a=。”这一事务包含以下4个基本领件：

(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

(3)直线ax+by=0的斜率k=V?-l,所以永1.所以水力.

所以包含以下6个基本领件:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).

厂........规^(75法..........................

不重不漏地列举试验的全部可能结果的方法

1结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必需首先明确试验中的条件.

2依据日常生活阅历，依据肯定的依次列举出全部可能的结果，可应用画树状图、列

表等方法解决.

［跟进训练］

2.下列随机事务中，一次试验各指什么？试写出试验的全部结果.

（1）抛掷两枚质地匀称的硬币；

（2）从集合4={a,b,c,M中任取3个元素组成集合力的子集.

［解］（D一次试验是指“抛掷两枚质地匀称的硬币一次"，试验的可能结果有4个：

（正，反），（正，正），（反，反），（反，正）.

（2）一次试验是指“从集合月中一次选取3个元素组成集合力的一个子集”，试验的结果

共有4个：（a,b,c},{a,b,M，（a,c,d\,{b,c,d\.

M整3二随机事务的频率与概率

［探究问题］

1.随机事务的频率与试验次数有关吗？

［提示］频率是事务4发生的次数与试验总次数的比值，当然与试验次数有关.

2.随机事务的概率与试验次数有关吗？

［提示］概率是客观存在的一个确定的数，与试验做不做，做多少次完全无关.

3.试验次数越多，频率就越接近概率吗？

L提示］不是.随着试验次数的增多（足够多），频率稳定于概率的可能性在增大.在事

务的概率未知的状况下，我们常用频率作为概率的估计值.即概率是频率的稳定值，频率是

概率的估计值.

【例3】某险种的基本保费为a（单位：元），接着购买该险种的投保人称为续保人，续

保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次

0123425

数

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险状况，得到如下统计表:

出险次数0123425

频数GO5030302010

（D记力为事务“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求〃（4）的估计值;

（2）记8为事务”一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求

P（而的估计值.

思路点拨：（1）由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数（一年内出险次数

小于2的频数），进而可得尸（冷的估计值；（2）由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费

但不高于基本保费的160串的频数（一年内出险次数大于1且小于4的频数），进而可得P⑦的

估计值.

［解］(1)事务A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数

小于2的频率为当鬻=0.55,故P［A)的估计值为0.55.

(2)事务8发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次

30-1-30

数大于1且小于4的频率为蜂］=0.3,故M的估计值为0.3.

［母题探究］

1.(变条件)某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成果记录如卜.:

射击次数n100120150100150160150

击中飞碟数HA819512081119127121

(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)

(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？

［解］⑴计算多得各次击中飞碟的频率依次约为0.R10,

0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.

(2)由于这些频率特别地接近().80(),且在它旁边摇摆，所以运动员击中飞碟的概率约为

0.800.

2.(变结论)本例条件不变，记C为事务“一续保人本年度的保费高于基本保费的1£0舟”，

求P(。的估计值.

［解］事务。发生当且仅当一年内出险次数大于或等于4,由表中数据知，一年内出险

次数大于或等于4的频率为喘^=0.15,

故尸(。的估计值为0.15.

厂.......规制方法...........................

随机事务概率的理解及求法

1理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事务发生的可能性

的大小.当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率.当次数足够多时，所得频率就近

似地看作随机事务的概率.

2求法：通过公式乙月=£=今十算出频率,再由频率估算概率,

课堂却邙■套笑课堂小结。提素养双星克息扫除

匚必备素养口

1.辨析随机事务、必定事务、不行能事务时要留意看清条件，在给定的条件下推断是肯

定发生（必定事务），还是不肯定发生（随机事务），还是肯定不发生（不行能事务）.

2.随机事务在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的状况下，

随机事务的发生呈现肯定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事务发生的频率去

估算概率.

3.写试验结果时，要按依次写，特殊要留意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“依

次”“放回”“不放回”等.

［学以致用

1.推断下列结论的正误（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）“抛掷硬币五次，均正面对上”是不行能事务.（）

（2）在平面图形中，三角形的内角和是180°是必定事务.（）

（3）频率与概率可以相等.（）

［答案］⑴X（2）7⑶J

2.下列事务中的随机事务为（）

A.若a,b,。都是实数，则a（0c）=（a/?）c

B.没有水和空气，人也可以生存下去

C.抛掷一枚硬币，反面对上

D.在标准大气压下，温度达到60C时水沸腾

C［A中的等式明显对随意实数a,b,c是恒成立的，故A是必定事务；在没有空气和

水的条件下，人是肯定不能生存下去的，故B是不行能事务；抛掷一枚硬币时，在没得到结

果之前，并不知道会是正面对上还是反面对上，故C是随机事务；在标准大气压的条件下，

只有温度达到100°C,水才会沸腾，当温度是60°C时